ಮೂರು ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ - ಕೆಂಪು , ಹಸಿರು ಮತ್ತು ನೀಲಿ .
ಇವುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಎಷ್ಟು ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ?
ಕೆಂಪು , ಹಸಿರು , ನೀಲಿ
ಕೆಂಪು , ನೀಲಿ , ಹಸಿರು
ಹಸಿರು , ಕೆಂಪು , ನೀಲಿ
ಹಸಿರು , ನೀಲಿ , ಕೆಂಪು
ನೀಲಿ , ಕೆಂಪು , ಹಸಿರು
ನೀಲಿ , ಹಸಿರು , ಕೆಂಪುಇವುಗಳನ್ನು ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳ ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು (ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಷನ್ಸ್ ) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ .
ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಮಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ .
ಒಂದು ಚೀಲದಲ್ಲಿ n ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ .
ಇವುಗಳಲ್ಲಿ k ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ ಸಾಲಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದರೆ ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ?
ಮೊದಲ ಚೆಂಡನ್ನು n ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ದುಕೊಂಡು ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ .
ಎರಡನೇ ಚೆಂಡನ್ನು ( n - 1 ) ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು .
ಹೀಗೇ ಮುಂದುವರೆಸಿದರೆ ಕೊನೆಯ ಚೆಂಡನ್ನು ( n - ( k - 1 ) ) ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು .
ಹೀಗಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ  ಉದಾಹರಣೆಗೆ n ಎಂಬುದು 5 ಮತ್ತು k ಎಂಬುದು 3 ಆಗುತ್ತದೆ .
ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನೂ ಆರಿಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದರೆ ಒಟ್ಟು ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ .
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ n ಅಥವಾ n !ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ .
ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು 3 ! ಅಥವಾ ಆರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು .
ಈ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು 1,2,3 ಎಂದು ಕರೆದರೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು - ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 3 , 2 ) , ( 2 , 1 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 ) , ( 3 , 1 , 2 ) , and ( 3 , 2 , 1 ) .
ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ಎಂಬ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ತನ್ನ ಲೀಲಾವತೀಯಮ್ ಎಂಬ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಬರೆದಿದ್ದಾನೆ ( ಕ್ರಿ.ಶ .1150 ) .
ಫೇಬಿಯನ್ ಸ್ಟೆಡ್ ಮನ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞ 1677ರರಲ್ಲಿ  ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಕುರಿತು ಬರೆದಿದ್ದಾನೆ .
ಐದು ಅಂಕಿಗಳ ಈ ಕ್ರಮಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ - 2 5 4 3 1 .
ಇದನ್ನು 1 2 3 4 5 ಎಂಬ ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆದಾಗ ನಮಗೆ ತಿಳಿದು ಬರುವ ಅಂಶ ಇದು - 1 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 2 ಇದೆ ; 2 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 5 ಇದೆ ; 5 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 1 ಇದೆ .
ಇವನ್ನೂ ( 1 2 5 ) ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ .
ಇದೇ ರೀತಿ 3 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 4 ಮತ್ತು 4 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 3 ಇದೆ .
ಇದನ್ನು (3 4) ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು .
ಹೀಗಾಗಿ 2 5 4 3 1 ಎಂಬ ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ( 1 2 5 ) ( 3 4 ) ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು .
ಇದನ್ನು ಚಕ್ರ ನಿರೂಪಣೆ ಅಥವಾ ಸೈಕಲ್ ನೋಟೇಶನ್ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ .
