बेसिक इलेक्ट्रॉनिक्स में फिर से आपका स्वागत है।
 इस व्याख्यान में, हम डिजिटल(digital) सर्किट नामक एक नए विषय के साथ शुरुआत करेंगे।
 हम डिजिटल डोमेन(digital domain) के लिए एक परिचय के साथ शुरू करेंगे और यह देखेंगे कि यह लाभप्रद क्यों है।
 हम बेसिक (basic) तार्किक ऑपरेशन( logical operations) और उसके बाद तार्किक ऑपरेशन(logical operations) और फंक्शन(Function) से संबंधित कुछ पहचानों का पालन करेंगे।
 तो, हम शुरू करते हैं।
 अब हम डिजिटल(digital) सर्किट पर चर्चा करेंगे।
 और शुरू करने के लिए हमें एनालॉग(analog) सिग्नल और डिजिटल सिग्नल(digital signal) के बारे में बात करनी चाहिए।
 T का एक एनालॉग(analog) सिग्नल(signal) x एक निश्चित समय बिंदु पर एक वास्तविक संख्या द्वारा दर्शाया गया है, उदाहरण के लिए, इस विशिष्ट समय बिंदु पर सिग्नल(signal) में, इस संख्या द्वारा सिग्नल वैल्यू(signal value) दिया जाता है इस समय सिग्नल वैल्यू(signal value) इस संख्या द्वारा दिया जाता है और इसी तरह।
 जबकि, एक डिजिटल(digital) सिग्नल प्रकृति में बाइनरी(binary) है, बाइनरी(binary) का अर्थ क्या है, इसका मतलब है कि यह केवल दो वैल्यूज(values) को निम्न या उच्च, एक निम्न वैल्यू(value) या एक उच्च वैल्यू(value)लेता है।
 कम मान को 0 से चिह्नित किया जाता है और उच्च वैल्यू(value) को 1 से चिह्नित किया जाता है।
 आमतौर पर, यह निम्न वैल्यू(value) 0 वोल्ट होता है और उच्च वैल्यू(value) 5 वोल्ट होता है।
 और हमें यह याद रखना चाहिए कि यद्यपि हमने 0 दिखाया है और 1 में इन स्तरों का निरंतर स्तर है; वास्तव में जो वास्तव में आवश्यक नहीं है।
 इस बैंड(band) में किसी भी वैल्यू(value) को यहाँ चिह्नित किया गया है, जिसे निम्न वैल्यू(value) या एक0 के रूप में एक डिजिटल(digital) सर्किट द्वारा व्याख्या किया जाएगा और इस उच्च बैंड में किसी भी वैल्यू(value) को 1. के रूप में व्याख्या किया जाएगा और इन निम्न और उच्च बैंड(band) की परिभाषा इन पर निर्भर करती है तकनीक का इस्तेमाल किया।
 और यहाँ कुछ उदाहरण ट्रांजिस्टर-ट्रांजिस्टर लॉजिक(logic) हैं, जो बीजेटी(BJT) तकनीक पर आधारित है, एमओएस (MOS) तकनीक एमिटर(emitter ) युग्मित(coupled) लॉजिक(logic) पर आधारित पूरक एमओएस (MOS), यह भी बीजेटी(BJT) पर आधारित है और कुछ अन्य हैं।
 और सबसे लोकप्रिय आज पूरक एमओएस(MOS) तकनीक है और हम देखेंगे कि क्यों।
 आइए हम इस बीजेटी(BJT) सर्किट पर एक और नज़र डालते हैं, जिसे हमने पहले देखा है, लेकिन अब हम इसे एक अलग संदर्भ में डिजिटल(digital) सर्किट के रूप में देखेंगे।
 यह इनपुट वोल्टेज है वह आउटपुट वोल्टेज है।
 और यहाँ यह ग्राफ V o को V i के फंक्शन(function) के रूप में दिखाता है।
 यदि V i कम है; इसका मतलब है कि, इस क्षेत्र में कहीं और तो V o अधिक है जैसा कि हम देख सकते हैं यहां 5 वोल्ट है; और यदि V i इस क्षेत्र में कहीं अधिक है, तो V o कम है कुछ इस तरह0.1 वोल्ट या 0.2 वोल्ट ।
 इस कार्यक्षमता के कारण, इस सर्किट को इन्वर्टर (Inverter)कहा जाता है; यह इनपुट के लॉजिक(logic) स्तर को प्रभावित करता है।
 यदि इनपुट 0 है, तो यह आउटपुट 1 और इसके विपरीत बनाता है।
 अब, हमें याद रखना चाहिए कि डिजिटल(digital) सर्किट विभिन्न उपकरणों और प्रौद्योगिकियों का उपयोग करके बनाए जाते हैं।
 और यह सरल बीजेटी(BJT) इन्वर्टर (Inverter)केवल एक चित्रण है; यह सर्किट वास्तव में व्यवहार में उपयोग नहीं किया जाता है, क्योंकि इसकी कई सीमाएं हैं।
 वीएलएसआई(VLSI) सर्किट के अधिकांश आज एमओएस(MOS) प्रौद्योगिकी को रोजगार देते हैं; विशेष रूप से मानार्थ एमओएस(MOS) या सीएमओएस (CMOS) प्रौद्योगिकी, क्योंकि उच्च पैकिंग घनत्व(high packing density) उच्च गति और कम बिजली की खपत है कि यह प्रदान करता है।
 और आप शायद यहां की संख्या से परिचित हैं।
 आधुनिक माइक्रोप्रोसेसर में उच्च पैकिंग घनत्व से हमारा क्या तात्पर्य है, हमारे पास एक ही चिप(chip) में लाखों ट्रांजिस्टर हैं या यहां तक कि सैकड़ों लाखों ट्रांजिस्टर हैं, इसलिए आज पैकिंग(packing) की उच्चता कितनी है और सीएमओएस (CMOS) प्रौद्योगिकी की वजह से यह संभव है ।
 ये आधुनिक चिप(chip) बहुत उच्च क्लॉक(clock) दरों पर काम करते हैं, जिसका अर्थ है, उच्च गति और वे बहुत कम मात्रा में बिजली का उपभोग करते हैं।
 इसलिए, एक चिप(chip) के लिए जिसमें लाखों गेट्स(gates) हैं बिजली की खपत 50 वाट हो सकती है या 100 वाट हो सकती है और यह प्रति ट्रांजिस्टर या प्रति गेट(gate)के आधार पर है कि बिजली बहुत, बहुत छोटी है।
 तो, यही कारण है कि आज सीएमओएस (CMOS) तकनीक बेहद आम और लोकप्रिय है।
 आइए हम उन कुछ फायदों पर चर्चा करते हैं जो डिजिटल(digital) सर्किट यहां पेश करते हैं।
 हम कहते हैं कि हम इस डेटा(data) को 0 यहाँ, 1 यहाँ, 0 यहाँ, 1 यहाँ इत्यादि प्रेषित करना चाहते हैं ।
 और जैसे ही यह डेटा(data) यात्रा करता है, हमें एक ऑप्टिकल फाइबर(optical fiber) या उपग्रह संचार चैनल(satellite communication channel) के माध्यम से कहते हैं, यह कर्रप्ट(corrupt) हो जाता है, ये किनारे कम तेज हो जाते हैं, और बेसिक सिग्नल पर कुछ शोर या पिकअप की राइडिंग(riding) भी होती है।
 और यह तब कर्रप्ट(corrupt) डेटा(data) है।
 यह पता चला है कि हम इस कॉमपरेटर(comparator) के माध्यम से V 2 पास करके विकृत या कर्रप्ट(corrupt) डेटा(data) V 2 से यहां V 1 द्वारा निरूपित अपने बेसिक डेटा(data) को आसानी से पुनर्प्राप्त कर सकते हैं।
 तो, हमारे पास यहाँ क्या है कि कॉमपरेटर(comparator) का ऋण इनपुट इस स्तर V Ref से जुड़ा है जहाँ V Ref कम और उच्च मान के बीच में है और प्लस इनपुट V से जुड़ा है।
 जब V 2, V Ref से अधिक है , V 3 उच्च है; और जब V 2 उदाहरण के लिए यहाँ V Ref से कम है, तो V 3 कम है।
 तो, इस तरीके से, हम अपने बेसिक डिजिटल डेटा(digital data) को पुनर्प्राप्त करते हैं।
 तो, यह डिजिटल(digital) सिस्टम(system) का एक महत्वपूर्ण लाभ है, भले ही बेसिक डेटा(data) विकृत हो जाए, इसे आसानी से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।
 डिजिटल(digital)निरूपण(representation)या डिजिटल(digital) सिस्टम का उपयोग करने के कई अन्य लाभ हैं जैसे कि हम कंप्यूटर का उपयोग डेटा(data) को संसाधित करने के लिए कर सकते हैं जो कि एक बड़ा लाभ है, हम कई अलग-अलग तरीकों से कंप्यूटर का उपयोग करते हैं, और जिस डेटा(data) का उपयोग किया जा रहा है वह डिजिटल डेटा(digital data) है।
 हम डेटा(data) को विभिन्न प्रकार के स्टोरेज मीडिया जैसे कि सीडी(C D) या पेन ड्राइव(पेन ड्राइव) या हार्ड डिस्क या एक मैग्नेटिक टेप(Magnetic tape) आदि में स्टोर कर सकते हैं।
 हम उदाहरण के लिए कार्यक्षमता को प्रोग्राम कर सकते हैं, एक डिजिटल(digital) फिल्टर(filter) के व्यवहार को केवल उसके गुणांक को बदलकर बदला जा सकता है; और इन गुणांकों को प्रोग्राम किया जा सकता है, और यह तभी संभव है जब हम डिजिटल(digital)निरूपण(representation)या डिजिटल(digital) सिस्टम का उपयोग करें।
 हमने अब तक देखा है कि डिजिटल(digital) या लॉजिकल वेरिएबल्स(Logical variable) में दो मान 0 और 1. हो सकते हैं और अब हम जो करना चाहते हैं, वह उन ऑपरेशन्स को देखना है जो हम इन डिजिटल(digital) वेरिएबल्स पर कर सकते हैं, तार्किक ऑपरेशन(logical operations) कहलाते हैं।
 और यहाँ कुछ बुनियादी ऑपरेशन(operations) नॉट(NOT) ,ऐण्ड(AND) ,ऑर(OR)।
 आइए हम पहले नॉट ऑपरेशन(NOT Operation)को देखें।
 यहाँ गेट(gate)प्रतिनिधित्व है कि कैसे गेट(gate)का निरूपण(representation)नहीं है।
 A गेट(gate)का इनपुट है जो एक लॉजिकल या डिजिटल(digital) वेरिएबल है और Y आउटपुट है जो एक लॉजिकल वेरिएबल्स(Logical variable) भी है।
 यहां इस गेट(gate)के लिए ट्रुथ टेबल(truth table) है, और इस टर्म (term)का अर्थ क्या है इसका मतलब यह है कि यह मानों की एक तालिका है जैसे कि सभी इनपुट संयोजन समाप्त हो गए हैं।
 इस मामले में, केवल एक इनपुट है, इसलिए हमारे पास एकमात्र इनपुट संयोजन A के बराबर 0 है, और Aके बराबर 1. और तालिका अनिवार्य रूप से इन सभी वैल्यूजू(values) के लिए आउटपुट मानों की एक सूची है।
 तो, यदि A 0 है, तो Y 1 है; और यदि A 1 है, तो Y 9. है।
 इसलिए, इसे नॉट ऑपरेशन (NOT Operation)कहा जाता है और इसे Y के बराबर A बार के द्वारा निरूपित किया जाता है A बार यहाँ इस A के ऊपर है।
 यहां ऐण्ड ऑपरेशन(AND Operation) है जो गेट(gate)के लिए प्रतीक है।
 अबऐण्ड गेट(AND gate)में दो इनपुट या अधिक होंगे और यहाँऐण्ड ऑपरेशन(AND Operation)(AND Operation)के लिए ट्रुथ टेबल(truth table) है।
 अब, चूंकि हमारे पास दो इनपुट हैं प्रत्येक इनपुट 0 या 1. हो सकता है, इसलिए, हमारे पास 2 2 संभावनाएं हैं और इसलिए, इस ट्रुथ टेबल(truth table) में 2 2 या चार प्रविष्टियां हैं और आउटपुट Y को निर्दिष्ट करना होगा प्रत्येक इनपुट संयोजन के लिए, इसलिए इस टर्म (term)का अर्थ यहाँ है।
 तो, ऐण्ड ऑपरेशन(AND Operation)(AND Operation)कैसे काम करता है।
 ऐण्ड ऑपरेशन(AND Operation)(AND Operation) का परिणाम 1 है, केवल अगर सभी इनपुट 1 हैं।
 तो, यहां हमारे पास 1 के बराबर A और B के बराबर1 है; और उस स्थिति में Y के बराबर 1है; अन्यथा, यह 0 है, इसलिए 0 यहाँ, 0 यहाँ, 0 यहाँ है।
 ऐण्ड ऑपरेशन(AND Operation)(AND Operation) के लिए अंकन Aडॉट B के बराबर Y है और बहुत बार यह कि डॉट स्पष्ट रूप से नहीं लिखा गया है, और यह समझ में आता है।
 यहां ऑर(OR Operation)ऑपरेशन है जो गेट(gate)के लिए प्रतीक है; और ऑर गेट(OR gate)में दो या दो से अधिक इनपुट भी हो सकते हैं।
 यहाँ सत्य सारणी है।
 फिर से हमारे पास 2 उठाने के लिए 2 या चार संयोजन हैं 0, B के बराबर 0, 0 1 1 0 और 1 1।
 अब ऑर ऑपरेशन(OR Operation)जिस तरह से होता है वह यह है कि आउटपुट 0 है; यदि सभी इनपुट 0. हैं, तो जब Aऔर B दोनों 0 हैं तो आउटपुट 0 है; अन्यथा यह 1 है।
 इसलिए, यदि एक या अधिक इनपुट 1 है, तो आउटपुट 1 है।
 और जिस तरह से ऑर ऑपरेशन(OR Operation)को निरूपित किया जाता है, वह इस प्लस ऑपरेटर(operator) के साथ है, इसलिए यह हमारा या प्रतीक है।
 तो, Y के बराबर A प्लस B या A या B यहां कुछ अन्य द्वार हैं जो हमें नैण्ड गेट (NAND gate)से शुरू करते हैं जो कि गेट(gate)का प्रतीक है।
 और हम ध्यान देते हैं कि यह यहाँ है और यहाँ गेट(gate)है और इस सर्कल के बाद है।
 अब, सर्कल नॉट् ऑपरेशन(NOT Operation)का प्रतिनिधित्व करता है और इसलिए, नैण्ड(NAND) ,ऐण्ड(AND) के समान है और उसके बाद नॉट्(NOT) है और यहां ट्रुथ टेबल(truth table) में भी परिलक्षित होता है।
 आप ध्यान दें कि यहऐण्ड गेट(AND gate)ट्रुथ टेबल(truth table) के बिल्कुल विपरीत है।
 ऐण्ड गेट(AND gate)के लिए हमारे पास 0 0 0 1 था, और अब हमारे पास 1 1 1 0 है।
 यह नैण्ड गेट (NAND gate)A डॉट B और इस पूरी के ऊपर एक बार(bar) है।
 तो, यह ऐण्ड ऑपरेशन(AND Operation) है और फिर वह बार नॉट् ऑपरेशन(NOT Operation)है, और बहुत बार हम डॉट को स्पष्ट रूप से नहीं लिखते हैं तो यह AB और उस पर एक बार बन जाता है।
 यहाँ नॉर गेट(NOR gate) है, और हम देखते हैं कि यह ऑर (OR) का एक संयोजन है जो कि नॉट्(NOT) के बाद प्रतीक का पहला भाग है जो कि यह वृत्त है।
 तो, नॉर (NOR) ऑपरेशन के लिए ट्रुथ टेबल(truth table) ऑर ऑपरेशन(OR Operation) के बिल्कुल विपरीत है और यह हमारे लिए तालिका में परिलक्षित होता है ऑर (OR) हमारे पास 0 0 1 1 1 था; और किसके लिएनॉर (NOR) ऑपरेशन में हमारे पास 1 0 0 0. है और यह है कि हम नॉर (NOR) ऑपरेशन Y को A या B के बराबर और और फिर शीर्ष पर A बार नॉट् ऑपरेशन(NOT Operation) का प्रतिनिधित्व करने के लिए दर्शाते हैं।
 इसके बाद, XOR गेट(gate)पर नज़र डालते हैं, यहाँ प्रतीक है; और यह ट्रुथ टेबल(truth table) है।
 जब A और B दोनों 0 हैं, Y 0. है।
 A और B दोनों 1 हैं Y फिर से 0है, अन्यथा Y है 1।
 दूसरे शब्दों में Y 1 है, केवल अगर A और B अलग हैं; और यदि A और B समान हैं, तो Y है, 0 तो यह है कि एक्सओआर (XOR)ऑपरेशन कैसे काम करता है।
 यहां XOR ऑपरेशन(Operation)प्लस के लिए एक सर्कल के साथ प्रतीक है, और यह तार्किक रूप से इस समीकरण के बराबर है यहां A B बार प्लस A बार B ध्यान दें कि इसका मतलब A और B बार है और इसका मतलब A बार और B है अब हम तार्किक ऑपरेशन(logical Operation) के कुछ गुणों को देखेंगे, जैसे कि, या।
 ऐण्ड ऑपरेशन(AND Operation) परिवर्तन योग्य है, इसका मतलब है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम Aडॉट B या B डॉट A का मूल्यांकन करते हैं, वे समान हैं।
 ऐण्ड ऑपरेशन(AND Operation) भी सहयोगी है, जिसका अर्थ है, अगर हमारे पास A और B हैं और जो C के साथ समाप्त हो गए हैं, तो यह B और C के समान है और यह A के साथ समाप्त हो गया है और यही बात ऑर ऑपरेशन(OR Operation)पर भी लागू होती है।
 ऑर ऑपरेशन(OR Operation)कम्यूटेटिव(commutative) है; ऑर ऑपरेशन(OR Operation)भी साहचर्य(associative) है।
 अब हम अपने द्वारा देखे गए तार्किक ऑपरेशन(logical Operation) से संबंधित कुछ प्रमेयों को देखेंगे।
 और यह इस बड़े क्षेत्र का एक हिस्सा है बूलियन बीजगणित(Boolean algebra) जो 19 वीं शताब्दी में जॉर्ज बूल(George Boole) द्वारा आविष्कार किया गया था।
 यहां एक प्रमेय है जो कहता है कि एक Aबार बार के बराबर है, और यह थोड़ा तुच्छ लगता है।
 आइए देखें कि इसे कैसे साबित किया जाए।
 ट्रुथ टेबल(truth table) का निर्माण करके प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है।
 इसलिए, हम इनपुट के सभी संभावित वैल्यूजू(values) को सूचीबद्ध करते हैं, यहां केवल एक इनपुट A है, और इसलिए केवल दो संभावनाएं हैं 0 और 1. इसलिए, A या तो 0 या 1 हो सकता है।
 यदि A 0 है, तो A बार 1 है , और यह उसका बार है जो यहाँ यह कॉलम 0 है।
यदि A 1 है, तो A बार 0 है और उस की बार 1. है, इसलिए सभी संभावित मानों के लिए, जिन्हें A 0 और 1 नाम दे सकता है, ये दो A बार हैं बार A के समान है, क्योंकि ये दो कॉलम समान हैं और इसलिए, हम कह सकते हैं कि A बार बार, A के समान है।
 यहाँ कुछ और प्रमेय A ऑर(OR) 0 है A, A और 1 है A, A ऑर(OR) 1 है 1, A और 0 है0, A ऑर(OR) A है A, Aऔर A भी Aहै, A ऑर(OR) A बार है 1, A और Aबार है 0।
 यह प्रमेय हमारे लिए उपयोगी होगा जब हम तार्किक व्यंजकों (expressions)का मूल्यांकन करते हैं या लॉजिकल व्यंजकों(Logical expressions) को कम करते हैं।
एक्सप्रेशन(expressions) और इतने पर।
 इसलिए, उन पर फिर से जाना एक अच्छा विचार है।
 ध्यान दें कि ऑर(OR) और ऐण्ड ऑपरेशन(AND Operation) के बीच एक द्वंद्व(duality) है, और 1 और 0. के बीच भी है।
 आइए देखें कि हम इसका क्या मतलब है।
 मान लीजिए,इस मामले में हम केवल इस प्रमेय को जानते हैं और ऐसा नहीं है कि हम वास्तव में इस सिद्धांत को द्वैत के इस सिद्धांत का उपयोग करके यहां से प्राप्त कर सकते हैं।
 यह कैसे काम करता है, हम ऑर(OR) को ऐण्ड(AND) से और प्लस को डॉट के साथ बदलते हैं।
 तो, हमें A डॉट मिलता है और फिर हम 0 को 1 के साथ बदल देते हैं।
 इसलिए, हमारे पास A डॉट(dot) 1 है और यह A है और यहां यह प्रमेय है।
 आइए हम कुछ और उदाहरण लेते हैं, यह वाला।
 यह क्या कहता है, यह कहता है कि A डॉट 0 के बराबर0 है, हम इस डॉट को प्लस के साथ बदलते हैं और इस 0 को 1 के साथ, इस 0 को भी 1 के साथ, फिर हमें ए प्लस 1 के बराबर 1 मिलता है और यही प्रमेय है।
 तो, यह द्वंद्व(duality) एक बहुत महत्वपूर्ण सिद्धांत है और यह उपयोगी हो सकता है।
 आइए अब हम डी मॉर्गन के प्रमेयों(De Morgan's theorems) पर चर्चा करते हैं जो एक लॉजिकल व्यंजकों(Logical expressions) को संभालने में बहुत उपयोगी हैं।
 और हम दो वेरिएबल्स(Variable) A और B को देखते हैं।
 यहां हम A और B के सभी संभावित संयोजनों को सूचीबद्ध करते हैं, A के बराबर0, B के बराबर 0, 0 1 1 0 और 1 1. और अब हम इनमें से प्रत्येक कॉलम का निर्माण करेंगे।
 A OR B केवल 0 है यदि A और B दोनों यहां 0 हैं, अन्यथा यह 1 है।
 A प्लस B बार सिर्फ इस 1 0 0 0 का प्रतिलोम(Inverse) है; A बार की तरह 1 1 0 0 होगा।
 B बार 1 0 1 0 जैसा होगा।
 एक बार और B बार यह केवल 1 होगा जब A बार 1 होगा, और B बार 1 है; अन्यथा यह 0. होगा, तो यह यहाँ 1 होगा और अन्यथा 0होगा।
 A और B यह 1 होगा, अगर A है 1, और बी है 1; और अन्यथा 0होगा।
 क्या एB बार के बारे में सिर्फ इस स्तंभ का उलटा; इसलिA 1 1 1 0. A बार प्लस B बार के बारे में क्या होगा यह केवल 0 होगा, यदि A बार(bar) 0 है और B बार(bar) 0 है और जब ऐसा होता है तो यहां एक बार 0 होता है और B बार 0. होता है।
 अन्यथा यहाँ 0 और 1 होगा।
 अब, हम इस कॉलम को देखते हैं और इनमें से कुछ स्तंभों की समानता का पता लगाते हैं और इससे हमें डी मॉर्गन की प्रमेय(De Morgan's theorems) मिलेगा।
 उदाहरण के लिए, ए प्लस बी पूरे बार की ट्रुथ टेबल(truth table) की तुलना करना जो यहां है और A बार और B बार, जो यहां है।
 हम निष्कर्ष निकालते हैं कि ये दोनों समान हैं यह कॉलम 1 0 0 0 है, यह कॉलम भी 1 0 0 0 है, इसलिए, ये दोनों बराबर हैं।
 और इसी तरह यह एक्सप्रेशन(expressions) AB का पूरा बार A बार प्लस B बार है जो हमें चेक करते हैं कि यह कॉलम यहाँ 1 1 1 0 है, और यह कॉलम यहाँ 1 1 1 0, समान है।
 तो, इसलिए, ये दो एक्सप्रेशन(expressions) समान हैं।
 इसी तरह के संबंध दो से अधिक वेरिएबल्स(Variables) के लिए भी हैं, उदाहरण के लिए, इस प्रमेय को तीन वेरिएबल्स(Variables) के लिए एक तक बढ़ाया जा सकता है।
 तो, ABC पूरा बार A बार प्लस B बार प्लस C बार है।
 इसी प्रकार इस प्रमेय को दो से अधिक वेरिएबल्स(Variables) तक विस्तारित किया जा सकता है, यहाँ हमारे पास चार वेरिएबल्स(Variable) हैं ए प्लस बी प्लस सी प्लस डी पूरे बार A बार और B बार और सी बार और डी बार हैं।
 और हम इन प्रमेयों को दो और जटिल प्रमेयों के लिए भी लागू कर सकते हैं, हम इसे एक वेरिएबल्स(Variable) के रूप में मानते हैं, और फिर हम इस प्रमेय को लागू कर सकते हैं।
 इसलिए, A के बजाय, हमारे पास अब A प्लस B है; और बी यह C है जब हम इस प्रमेय को लागू करते हैं तो हमें A प्लस B पूरे बार प्लस C बार मिलता है।
 और अब हम डी मॉर्गन के प्रमेय(De Morgan's theorems) को एक बार फिर से लागू कर सकते हैं कि A प्लस B बार यहां A बार डॉट B बार क्या है, इसलिए A बार डॉट B बार प्लस C बार है।
 तो, यह एक्सप्रेशन(expressions) यहाँ इस एक्सप्रेशन(expressions) के बराबर है।
 बूलियन(Boolean) बीजगणित में वितरण का नियम (Distributive's law) भी हैं।
 यहाँ उनमें से एक Aऔर B या C, A और B या A और C के बराबर है, या हम इसे A,B प्लस C के बराबर AB प्लस A C के रूप में पढ़ सकते हैं और यह विशेष कानून हमारे अन्य बीजगणित सामान्य बीजगणित की तरह है जो हम उपयोग करते हैं, लेकिन हमें बूलियन संदर्भ में यह साबित करने की आवश्यकता है।
 हम यह कैसे करते हैं, आइए हम इस सत्य सारणी(truth table) का निर्माण करें और हम यह जाँचने जा रहे हैं कि क्या यह कॉलम जो बाएँ हाथ की ओर है, वही इस कॉलम का है जो दाहिने हाथ का है।
 तो, चलिए शुरू करते हैं।
 पहले हमें सभी इनपुट संयोजनों(combinations) को समाप्त करने की आवश्यकता है और इस मामले में प्रत्येक इनपुट में दो मान 0 और 1. हो सकते हैं और चूंकि तीन इनपुट हैं, हमारे पास 2 से 3 संभावनाएं हैं जो 8 संभावनाएं हैं और यह व्यवस्थित रूप से करना अच्छा है और ऐसा करने का एक अच्छा तरीका निम्नलिखित है।
 C को 0 1 0 0 1 0 1 0 1 के रूप में बदलते हैं, B में दो 0 और उसके बाद दो 1 और फिर दो 0 और दो 2 हैं; और A चार 0 और चार 1 ।
 यदि आप ऐसा करते हैं तो आप देखेंगे कि हम सभी संभावित इनपुट संयोजनों(combinations) को समाप्त कर रहे हैं।
 आइए अब इन कॉलम को B प्लस C. से शुरू करते हुए एक-एक करके पूरा करें।
 B प्लस C. के बराबर0 है, यह 0 है, यदि B 0 है और C 0 है और यह यहाँ और यहाँ पर होता है।
 तो, इन दो स्थितियों में, हमारे पास Bप्लस C के बराबर 0होगा; और अन्य सभी स्थितियों में हमारे पास B प्लस C के बराबर 1होगा जैसा कि यहां दिखाया गया है।
 इस कॉलम(column) A का B प्लस C के साथ क्या अंत हुआ,, यह 1 है, अगर A 1 है और B प्लस C भी 1 है।
 आइए हम पहले A को देखें इन चार पदों के लिए A 1 है; और उन पदों में से B प्लस C इन तीन स्थितियों के लिए 1 है, तो इसका मतलब है कि हमारे यहां तीन 1 होंगे और अन्य सभी 0 के समान होंगे।
 इस कॉलम A का B के साथ क्या अंत हुआ, यह 1 है, अगर A 1 है और B भी 1. इन चार पदों के लिए A 1 है।
 और उन पदों में से, B इन दो पदों के लिए 1 है।
 तो, इसलिए, हमारे पास यहां 1, यहां 1 और अन्य सभी 0 जैसे हैं।
 AC के बारे में क्या है, A को 1 होना चाहिए, और C को 1 होना चाहिए और यह यहां और यहां होता है।
 तो, हम 1 के रूप में उन दो प्रविष्टियों हैं और अन्य सभी 0 है AB प्लस AC जो कि 1 है, यदि AB, 1 या AC, 1 है या दोनों 1 हैं और जैसा कि हम इन तीन स्थानों में देख सकते हैं, ऐसा होता है उस कॉलम में हमें क्या मिलता है।
 और अब अगर हम तुलना करते हैं, तो ये दो कॉलम(column) समान हैं और यही इस पहचान को साबित करते हैं।
 यहाँ अन्य वितरण का नियम (Distributive law) है जो A प्लस BC, A प्लस B और Aप्लस C के बराबर है और यह वितरण का नियम (Distributive law) की तुलना में थोड़ा अलग है जिसे हम अपने सामान्य बीजगणित में उपयोग करते हैं।
 ।
 और वास्तव में, यह पहले वितरण का नियम (Distributive law) से द्वैतता के सिद्धांत का अनुसरण करता है जिसे हमने आखिरी स्लाइड में देखा था।
 और आपको निश्चित रूप से जांच करनी चाहिए।
 अब हम इस मामले में एक ही प्रक्रिया का पालन करते हैं और बाएं हाथ की ओर का निर्माण करते हैं जो कि यहां है और दाएं हाथ की तरफ है, जो यहां है।
 और फिर हम इन दो स्तंभों की तुलना करते हैं।
 आइए हम देखें कि हम प्रत्येक कॉलम से गुजरने वाले नहीं हैं और इसका निर्माण कैसे किया जाता है इत्यादि।
 हम केवल BCA प्लस BCA प्लस BA प्लस Cऔर अंत में दाहिने हाथ की ओर होने वाली प्रक्रिया का सिग्नल(signal) देंगे।
 और अगर हम इन दो स्तंभों की तुलना करते हैं, तो वे समान हैं और यह इस पहचान को साबित करता है।
 निष्कर्ष में, हमने डिजिटल(digital) या तार्किक वेरिएबल्स(Variable) और उनसे जुड़े कार्यों का अर्थ देखा है।
 हमने कुछ प्रमेयों या पहचानों पर भी गौर किया है जो तार्किक कार्यों में हेरफेर करने में उपयोगी हैं जो अब के लिए हैं।
 फिर मिलते हैं।