सुप्रभात, और द्रव गतिशीलता और टर्बो मशीनों पर इस पाठ्यक्रम के 4 वें सप्ताह में आपका स्वागत है।
 यह पहले मॉड्यूल के लिए अंतिम सप्ताह है जो द्रव गतिकी भाग से संबंधित है।
 पिछले 3 हफ्तों में हमने द्रव यांत्रिकी का परिचय दिया है और फिर 2 वें सप्ताह में हमने समाकल दृष्टिकोण को देखा, 3 वें सप्ताह में हम द्रव गतिकी के अवकल दृष्टिकोण को देखते हैं।
 इस सप्ताह में हम इन दृष्टिकोणों के कुछ अनुप्रयोगों को देखेंगे और साथ ही हम श्यान प्रवाह (viscous flow) से निपटेंगे।
 इसलिए हमने अध्ययन करने के लिए 3 मामलों को लिया है, हम पहले मामले से निपटेंगे जो एक फ्लैट प्लेट पर प्रवाहित होता है, एक फ्लैट प्लेट पर एक श्यान प्रवाह (viscous flow over a flat plate) जिसके साथ शुरू करना है।
 तो चलिए स्लाइड में चलते हैं।
 तो यह 4 वें सप्ताह का पहला व्याख्यान है, हम शुरुआत करेंगे, जैसे मैंने कहा कि हम एक फ्लैट प्लेट पर प्रवाह के साथ शुरू करेंगे।
 हम देखेंगे कि हम एक फ्लैट प्लेट पर प्रवाह का विश्लेषण करने से पहले सीखी गई अवधारणाओं को कैसे लागू कर सकते हैं और हम एक फ्लैट प्लेट पर श्यान प्रवाह की कुछ विशेषताओं को देखेंगे।
 तो आइए हम एक समरूप प्रवाह (uniform flow) पर विचार करें।
 प्रवाह को बाएं से दाएं निर्देशित किया जाता है, समरूप प्रवाह का मतलब है कि प्रवाह स्थानिक रूप से नहीं बदलता है क्योंकि यह प्लेट की ओर निर्देशित होता है जो प्रवाह की समान दिशा में ही संरेखित है।
 तो मूल रूप से वेग वैक्टर प्लेट के समानांतर होते हैं।
 तो यह श्यान प्रवाह का एक बहुत ही मूल अनुप्रयोग है लेकिन हम इसके साथ शुरू करेंगे ताकि हम श्यान प्रवाह की मूल अवधारणाओं को समझें।
 तो जैसे-जैसे प्रवाह प्लेट की ओर आता है, जैसे-जैसे यह प्लेट के ऊपर की ओर बढ़ता है, क्या होता है? तो क्या होता है, वेग प्रोफ़ाइल, इसका मतलब है कि स्थानिक दिशा के साथ वेग कैसे बदलता है, यहाँ क्या दिखाया गया है, Y दिशा है, Y दिशा में वेग कैसे बदलता है, यह वेग प्रोफ़ाइल है, यह कैसे बदलता है जब यह प्लेट के शीर्ष पर चलता है।
 तो यहां क्या होता है, प्लेट के शीर्ष पर प्रवाह, यह एक निरंतर प्रवाह है, इसे नो-स्लिप स्थिति और फिर वेग को संतुष्ट करना है, इसलिए प्लेट का वेग दोनों दिशा में शून्य है।
 इसलिए यह उस स्थिति को संतुष्ट करता है और जैसे ही हम द्रव में जाते हैं, वेग बढ़ जाता है।
 अब यहाँ क्या हो रहा है? तो यदि आप यहाँ वेग वेक्टर को देखते हैं, जैसा कि यह प्लेट के ऊपर, प्लेट पर चलता है, यह विघटित हो जाता है, इसका वेग कम हो जाता है, यही मुख्य बात है।
 अब वेग में कमी को प्लेट के पार्श्व दिशा में भी प्रेषित किया जाता है जिसका अर्थ है Y दिशा।
 इतना ही नहीं, प्लेट से सटे द्रव की परतें, वेग में मंद हो जाती हैं।
 प्लेट के सीधे संपर्क में आने वाला तरल पदार्थ निरंतरता के दृष्टिकोण से स्थिर हो जाता है।
 जबकि उसके आगे का तरल पदार्थ स्थिर नहीं है, लेकिन यह समरूप प्रवाह की तुलना में कम वेग पर चलता है।
 इसलिए प्रवाह वेग में कमी होती है।
 अब यदि हम देखते हैं कि प्लेट की उपस्थिति की सूचना पार्श्व दिशा में प्रेषित होती है।
 इसका मतलब है कि प्लेट की सतह पर लंबवत दिशा।
 इसलिए जैसा कि यह संचरित होती है, तो ओर अधिक द्रव, समरूप प्रवाह से कम वेग में आता है।
 जैसा कि प्लेट के शीर्ष पर प्रवाह बढ़ता है, वह क्षेत्र जो प्लेट की इस उपस्थिति से प्रभावित होता है।
 उतना अधिक क्षेत्र प्लेट की उपस्थिति के बारे में सूचित हो जाता है।
 इसके बाहर का क्षेत्र वास्तव में प्लेट की उपस्थिति से स्वतंत्र है क्योंकि वे समरूप प्रवाह के समान वेग से जारी रहते हैं।
 तो इस प्लेट में द्रव की यह परत जो प्लेट की उपस्थिति से प्रभावित होती है उसे सीमा परत कहा जाता है।
 यह वह क्षेत्र है जहाँ श्यानता महत्वपूर्ण है, यह वह क्षेत्र है जहाँ श्यानता एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।
 अब हम यहां क्या देख रहे हैं, अगर यह प्रवाह लेमिनार (laminar) है तो लेमिनार से हमारा मतलब है कि अगर यह प्रवाह परतों में होता है, तो यह बहुत यादृच्छिक (random) नहीं है।
 तो अगर यह बहुत संगठित प्रवाहित होता है जैसे कि इस वेग प्रोफ़ाइल में इसे प्रदर्शित किया जाता है, तो यह प्लेट के सतह पर इसके अस्तित्व के प्रारंभिक भाग में लेमिनार का बना रहता है।
 तो यह प्रारंभिक हिस्सा लेमिनार रहता है।
 इसका मतलब है कि यह बहुत व्यवस्थित प्रवाह है।
 यद्यपि वेग कम हो जाता है, लेकिन संपूर्ण प्रवाह लेमिनार बना रहेगा।
 लेकिन जब यह प्रवाह आगे बडेगा तो लेमिनार नहीं रहेगा, यदि प्लेट पर्याप्त लंबी है और प्रवाह इस दिशा में आगे बढ़ता है, तो अंततः एक अशांत प्रवाह (turbulent flow) होगा।
 तो हम जो वेग प्रोफ़ाइल देखते हैं, वह मूल रूप से एक अशांत प्रवाह है।
 हालांकि वेग नो-स्लिप से फ्री-स्ट्रीम वेग स्थिति में बदल जाता है।
 तो यह धराशायी रेखा वास्तव में अशांत सीमा परत को दिखाती है और यह वह क्षेत्र है जो पूरी तरह से अशांत है।
 इसका मतलब है कि यदि आप इस क्षेत्र में एक रंग पेश करते हैं, तो यह एक उतार-चढ़ाव वाला रास्ता लेगा, यह लेमिनार में एक यादृच्छिक मार्ग नहीं लेगा।
 जैसे कि हमने इस पाठ्यक्रम के पहले सप्ताह में प्रदर्शन किया था।
 तो यह पूरी तरह से अशांत हो जाता है और यहां वेग प्रोफाइल, यदि आप देखते हैं कि यह धीरे-धीरे लेमिनार के हिस्से में फ्री-स्ट्रीम वेग में बदल जाता है।
 पूरी तरह से अशांत भाग में वेग नो-स्लिप की स्थिति से जल्दी से उच्च वेग के करीब (बराबर नहीं) फ्री-स्ट्रीम वेग में बदल जाता है।
 इसलिए यह प्रारंभिक परिवर्तन बहुत तेज है, जहां लेमिनार के प्रवाह के मामले में यह अधिक क्रमिक है।
 यह अशांत प्रवाह की कुछ विशेषताओं के कारण है।
 हम इस बात के विवरण में नहीं जाएंगे कि ऐसा क्यों होता है, लेकिन हम एक अवलोकन करते हैं कि वेग प्रोफ़ाइल पूरी तरह से अशांत प्रवाह के मामले में विशिष्ट रूप से भिन्न है।
 अब अगर आप यहां देखें तो हमने 2 संभावनाओं को देखा है, इसलिए शुरू में प्लेट के ऊपर एक लेमिनार प्रवाह है, जो लेमिनार की सीमा परत के विकास के साथ लेमिनार बना रहता है।
 बाद में, प्लेट के शीर्ष पर आगे की यात्रा करने के बाद, यह पूरी तरह से अशांत हो जाता है।
 लेकिन इस पूरी तरह से लेमिनार और पूरी तरह से अशांत (turbulent) क्षेत्र के बीच कुछ होता है और इसे संक्रमण क्षेत्र (transition region) कहा जाता है।
 तो यह मूल रूप से एक ऐसा क्षेत्र है जहां प्रवाह न तो पूरी तरह से लेमिनार है, और न ही पूरी तरह से अशांत (turbulent) है।
 तो यह एक लेमिनार प्रवाह से अशांत प्रवाह में परिवर्तित हो रहा है, निश्चित रूप से यह किसी भी प्राकृतिक घटना की तरह होता है, जो एक संक्रमण काल से गुजरती है।
 इसलिए हमारे पास इस स्थिति के लिए भी संक्रमण क्षेत्र है।
 अब कम या ज्यादा, अगर आप एक फ्लैट प्लेट पर प्रवाह को देखते हैं, तो वेग प्रोफ़ाइल और प्लेट के ऊपर की सीमा परत की वृद्धि कुछ इस तरह दिखाई देगी।
 अब देखते हैं कि इन लाइनों का पता कैसे लगाया जाता है।
 इसका मतलब है कि संक्रमण कहा होता है और संक्रमण क्षेत्र से यह पूरी तरह से अशांत प्रवाह बन जाता है।
 तो उसके लिए जो नंबर बहुत उपयोगी है, उसे रेनॉल्ड्स नंबर (Reynolds number) के रूप में जाना जाता है।
 हमें पहले भी इस नंबर से परिचित कराया गया था, मूल रूप से यह जड़ता बल (inertia force) और श्यान बल (viscous force) का अनुपात है।
 तो यह मूल रूप से इस तथ्य से संबंधित है कि जड़ता बल एक ऐसी चीज है जो प्रवाह को परेशान करती है।
 इसका मतलब है कि यह प्रवाह को अनियमित बनाता है, यह विशेषता है।
 यह वह बल है जो प्रवाह को अशांत बनाता है, जबकि श्यान प्रवाह अधिक फैलने वाला होता है और यह प्रवाह को लेमिनार बनाने की कोशिश करता है।
 तो उस घटनात्मक वर्णन से हम कह सकते हैं कि इन 2 बलों के अनुपात की विशेषता होगी कि कैसे प्रवाह लेमिनार या अशांत है।
 तो कम मान का मतलब उच्च श्यान बल और कम जड़ता बल होगा, इसलिए यह लेमिनार होगा।
 इस प्रकार यह क्षेत्र लेमिनार है।
 अब रेनॉल्ड्स नंबर को एक फ्लैट प्लेट पर प्रवाह के मामले में कैसे परिभाषित किया जाता है? तो यह कुछ इस तरह से परिभाषित किया गया है, यदि आप आयामी विश्लेषण करने की कोशिश करते हैं और इन 2 बलों के इस अनुपात का प्रतिनिधित्व करने वाले एक गैर-आयामी संख्या का पता लगाने की कोशिश करते हैं, तो यह के रूप में सामने आएगा।
 x क्या है, x मूल रूप से वह स्थिति है जहां हम रेनॉल्ड्स नंबर को खोजने की कोशिश कर रहे हैं. तो इसका मतलब है कि यदि आप प्लेट की सतह के साथ चलते हैं, तो रेनॉल्ड्स नंबर अलग-अलग स्थान पर अलग है।
 यह एक फ्लैट प्लेट पर प्रवाह के मामले में रेनॉल्ड्स नंबर को कैसे परिभाषित किया जाता है।
 तो इसका मतलब है कि रेनॉल्ड्स नंबर लगातार बदल रहा है क्योंकि आप प्लेट के साथ आगे बढ़ते हैं और यह यहां एक मान बताता है जिसके लिए प्रवाह अब एक अशांत प्रवाह मे स्थानांतरित होना शुरू कर देगा और इस क्षेत्र में यह एक मान बताता है जहां यह पूरी तरह से अशांत प्रवाह बन जाता है।
 तो एक फ्लैट प्लेट पर प्रवाह, जैसा कि यह प्लेट के साथ चलता है, रेनॉल्ड्स नंबर जो x स्थिति में परिवर्तन का एक फंकशन है और प्रवाह एक संक्रमण से गुजरता है और पूरी तरह से अशांत हो जाता है।
 अब के रूप में भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, इसलिए हम बहुत बार υ इस प्रतीक का उपयोग नहीं करेंगे क्योंकि यह हमें वेग के साथ भ्रमित कर सकता है जिसे V के रूप में दर्शाया गया है लेकिन सिर्फ इस विशेष चीज़ को पेश करने के लिए जिसे हम वास्तव में कीनेमेटिक श्यानता (kinematic viscosity) कहते हैं, जो गतिशील श्यानता और घनत्व ρ का अनुपात है।
 गतिशील श्यानता हम पहले से ही न्यूटोनियन तरल पदार्थ के लिए न्यूटन श्यानता नियम से जानते हैं।
 तो गतिशील श्यानता और घनत्व ρ का अनुपात मूल रूप से कीनेमेटिक श्यानता है।
 बेशक, इसकी एक अलग इकाई है।
 SI इकाई में यह m2/s है।
 जबकि डायनेमिक चिपचिपाहट जैसा कि हमने SI सिस्टम में देखा है, इसमें पास्कल सेकंड या न्यूटन सेकंड प्रति मीटर स्क्वायर की एक इकाई है।
 तो यह कई मामलों में उपयोगी प्रतिनिधित्व है क्योंकि यह 2 मापदंडों के संयोजन से रेनॉल्ड्स नंबर को अधिक कॉम्पैक्ट बनाता है।
 अब संक्रमण, अब हम कुछ संख्याओं को देखते हैं, इस पर संक्रमण वास्तव में 3 से 10 के मान की शक्ति 5 या 5 से 10 तक के आसपास होता है।
 यह बहुत निश्चित मान नहीं है, इसलिए इस मान के आसपास संक्रमण वास्तव में होता है।
 तो इसके बारे में 300,000 या 500,000 इस मान के आसपास संक्रमण होता है।
 तो यह निश्चित रूप से इस बात पर निर्भर करता है कि प्लेट चिकनी प्लेट है या प्लेट की खुरदरापन की डिग्री कितनी है।
 एक बहुत खुरदरी प्लेट के लिए, निश्चित रूप से संक्रमण इस रेनॉल्ड्स नंबर से भी कम पर हो सकता है।
 अब इसने हमें एक विस्तृत तस्वीर दी है कि फ्लैट प्लेट के ऊपर प्रवाह कैसे होता है और फ्लैट प्लेट के ऊपर सीमा की परत कैसे बढ़ती है।
 इसलिए अनिवार्य रूप से जैसा कि हम यहां देखते हैं कि इस क्षेत्र में प्रवेश करते समय यह वेग कम हो जाता है और धीरे-धीरे जैसे ही यह प्लेट पर चढ़ता है, यह लेमिनार से पूरी तरह से अशांत प्रवाह में बढ़ता है।
 जब प्रवाह इस प्लेट पर आ रहा है वह एक लेमिनार प्रवाह होता है।
 अब हम देखते हैं कि यह सीमा परत मोटाई (boundary layer thickness) क्या है? इसलिए मूल रूप से हम देखते हैं कि द्रव के भीतर का कुछ क्षेत्र परेशान है या प्लेट की उपस्थिति के बारे में सूचित करता है।
 तो क्या हम वास्तव में इस मोटाई का अनुमान लगा सकते हैं? यह मोटाई, जिसके माध्यम से प्लेट का प्रभाव महसूस किया जाता है या मोटाई जिसके भीतर श्यानता प्रधान होती है।
 हम इस विशेष मोटाई का अनुमान लगा सकते हैं।
 यहाँ गौर करने वाली महत्वपूर्ण बात यह है कि वेग उपगामी (asymptotically) रूप से फ्री स्ट्रीम वेग तक पहुँचता है।
 इसका मतलब है कि हालांकि हमने वेग प्रोफ़ाइल को इस तरह से खींचा है जैसे कि वेग 0 से फ्री स्ट्रीम वेग U तक, सीमा परत मोटाई के भीतर।
 लेकिन अगर हमें अधिक सटीक समाधान मिलते हैं जो हम इस सप्ताह के उत्तरार्द्ध में पेश करेंगे।
 जब हमें वेग प्रोफ़ाइल का अधिक सटीक प्रतिनिधित्व मिलेगा, तो हम देखेंगे कि वेग वास्तव में सीमा परत की मोटाई के भीतर फ्री स्ट्रीम वेग के बराबर नहीं बनता है।
 यह बाध्य फ्री स्ट्रीम वेग (bound free stream velocity) के बहुत करीब आता है।
 यह प्लेट से एक बहुत बड़ी दूरी पर फ्री स्ट्रीम वेग तक पहुँचता है, इसलिए यह लगभग विषम हो जाता है।
 इसका मतलब है कि आपको फ्री स्ट्रीम वेग तक पहुंचने के लिए असीम रूप से लंबी दूरी की यात्रा करनी होगी।
 लेकिन निश्चित रूप से लेमिनार सीमा की मोटाई के भीतर प्रवाह, फ्री स्ट्रीम वेग के बहुत करीब आता है।
 इस तथ्य के कारण हमें इसे स्पष्ट रूप से परिभाषित करने की आवश्यकता है कि सीमा परत की मोटाई से हमारा क्या मतलब है।
 तो पहली चीज जो हमने पहले ही यहां पेश कर दी है, लेकिन हम इसे और अधिक विशेष रूप से फिर से करते हैं जिसे बाधा की मोटाई (disturbance thickness) के रूप में जाना जाता है।
 इसका मतलब है कि तरल पदार्थ के भीतर का क्षेत्र जो मूल रूप से प्लेट की उपस्थिति से परेशान है।
 तो यह बाधा मोटाई वह मोटाई है जिसके भीतर प्लेट के शीर्ष पर 0 से शुरू होने वाला प्रवाह 99% फ्री स्ट्रीम वेग या फ्री स्ट्रीम वेग के 0.99 गुना तक पहुंच जाता है।
 तो यह मूल रूप से बाधा की मोटाई है, लेकिन सीमा परत की मोटाई के लिए अधिक अभूतपूर्व रूप से संबंधित है, हम सीमा परत की मोटाई को अधिक वैचारिक परिभाषाओं में ला सकते हैं।
 तो अगले एक, जिसे हम सीमा परत मोटाई के मामले में परिभाषित करेंगे उसे विस्थापन मोटाई (displacement thickness) कहा जाता है।
 अब एक विस्थापन मोटाई क्या है? जैसा कि हमने कहा कि बाधा की मोटाई वास्तव में इस बात से संबंधित है कि वेग सीमा की परत में कैसे बदलता है।
 विस्थापन की मोटाई अधिक घटनात्मक रूप से जुड़ी हुई है।
 यह कैसे जुड़ा है? तो हम कहते हैं कि हम उसी प्लेट और प्लेट के पास आने वाले प्रवाह पर विचार करते हैं, प्लेट का अग्र भाग और सीमा परत का विकास होता है।
 अब यदि आप इसे देखें, जैसा कि हमने इस व्याख्यान को शुरू किया था तो हमने कहा था कि प्रवाह वास्तव में प्लेट की सतह पर कम हो जाता है।
 इसका मतलब है कि प्लेट के पास तरल पदार्थ का वेग कम हो जाता है जेसे हि प्लेट की सतह पर द्रव बहता है।
 यह वास्तव में एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा है क्योंकि अगर हम इस सरल बात को ध्यान में रखते हैं तो हम सीमा परत में पेश की गई कठिन अवधारणाओं को बहुत आसानी से समझ सकते हैं।
 यह तरल पदार्थ वास्तव में अपनी गति खो देता है और प्लेट के शीर्ष पर चलते ही यह विघटित हो जाता है।
 तो आइए हम देखें कि हम इस विस्थापन की मोटाई कैसे पा सकते हैं।
 अब अगर यह स्थिति है, तो आप वास्तव में एक समकक्ष स्थिति बना सकते हैं।
 तो हम क्या कर सकते हैं, हम एक क्षैतिज रेखा खींच सकते हैं जिसे प्लेट की ऊपरी सतह के साथ संरेखित किया जाता है।
 एक ओर रेखा जो सीमा परत के किनारे के साथ गठबंधन की जाती है।
 तो सीमा परत के किनारे क्या है? सीमा परत के किनारे को बाधा मोटाई द्वारा परिभाषित किया गया है, जैसा कि इस द्वारा परिभाषित किया गया है, वेग, फ्री स्ट्रीम वेग के 99 प्रतिशत तक पहुंच रहा है।
 तो इसे परिभाषित करने के बाद, अब हम क्या कर सकते हैं, हम इसे एक समतुल्य स्थिति के रूप में सोच सकते हैं।
 इसका मतलब है कि प्लेट ने वेग प्रोफ़ाइल को नहीं बदला है, इसने समरूप प्रवाह को समरूप प्रवाह बना रखा है।
 इसका मतलब है कि प्रवाह वेग जब प्लेट के अग्रणी किनारे के पास पहुंच रहा था तो यह U था, अब यह हर जगह मतलब X दिशा में प्रवाह वेग U है।
 यह हर जगह U है लेकिन वास्तव में प्रवाह कम हो गया है।
 आइए प्लेट की सतह और सीमा रेखा के इस किनारे से होकर गुजरने वाली धारा के बीच की स्ट्रीमलाइन पर विचार करें।
 ठीक है, हम इस पर थोड़े समय के बाद जाएंगे, निश्चित रूप से इस तरह की स्ट्रीमलाइन बनाना मुश्किल है, इसलिए हम इसे बाद में करेंगे।
 इसलिए यदि आप प्लेट की इस सतह और सीमा परत के किनारे को देखते हैं और हम यहां उसी क्षेत्र पर विचार करते हैं, तो हम देखेंगे कि जब प्रवाह प्लेट के पास आ रहा था, तो हर जगह फ्री स्ट्रीम वेग था।
 इस लंबाई डेल्टा में हर जगह फ्री स्ट्रीम वेग था।
 अब आपने प्लेट के पास वेग कम कर दिया है और यह धीरे-धीरे δ बन जाता है, इसलिए मूल रूप से यह कहता है कि प्रवाह दर कम हो गई है।
 तो यह कमी, प्रवाह दर में इस कमी के लिए भी कल्पना की जा सकती है क्योंकि प्लेट को एक दूरी δ* द्वारा थोड़ा विस्थापित किया जाता है।
 जो मूल रूप से एक विस्थापन मोटाई है।
 तो जब आप इसे हटा देते हैं, तो उसके बाद यहां वॉल्यूम प्रवाह दर, पहले मामले में प्रवाह दर के समान होती है।
 तो अब हम इस डेल्टा स्टार को भी परिभाषित कर सकते हैं जो सीमा परत की उपस्थिति के कारण, द्रव्यमान प्रवाह की क्षति है।
 जैसे इस मोटाई डेल्टा में द्रव्यमान प्रवाह में हानि होती है, तो वह हानि क्या है? जो कुछ भी इस क्षेत्र से होकर बह रहा था वहां से होने वाले क्षति को परिभाषित किया जा सकता है।
 अगर हम घटना प्रोफ़ाइल पर विचार करें, तो इस क्षेत्र में, समरूप प्रवाह वेग U था और जो यहां मौजूद नहीं है, अब यह प्रवाह अनुपस्थित है, तो यह मूल रूप से क्षति है, जो केवल इस क्षेत्र में मौजूद है।
 तो अब आप इस क्षति को ρUδ* के रूप में परिभाषित कर सकते हैं।
 निश्चित रूप से हमने मान लिया है कि मोटाई, स्लाइड के लंबवत प्लेट की चौड़ाई 1 है।
 इसलिए मूल रूप से आप इसे ρUδ*×1 के रूप में कर सकते हैं।
 तो हम कह सकते हैं कि द्रव्यमान प्रवाह की क्षति मूल रूप से ρUδ* है।
 जबकि यह घटना थी, पहले प्रवाह दर क्या थी, प्रवाह दर ρUδ थी, अब ρUδ* एक क्षति है, केवल इस हिस्से की अनुमति है, इसके साथ यह द्रव्यमान प्रवाह दर के बराबर है।
 हम आगे भी इसका प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, मान लीजिए कि प्लेट पर इस वेग प्रोफ़ाइल को देखें जो हमने यहां बदल दिया है।
 तो बस ज़ोर देने के लिए, मान लीजिए कि यह प्लेट मौजूद थी और प्लेट के ऊपर एक स्लिप कंडीशन थी, इसका मतलब है कि यूनिफ़ॉर्म फ़्लो में बदलाव नहीं हुआ, अगर ऐसा होता, तो वेलोसिटी प्रोफ़ाइल पूरे फ़्लो में समरूप प्रवाह की तरह बनी रहती δ दूरी तक।
 तब प्लेट की अनुपस्थिति में प्रवाह दर ।
 इसलिए मूल रूप से यह प्लेट की इकाई चौड़ाई (unit width) के लिए प्रवाह दर होगी।
 लेकिन वास्तव में यह प्रोफ़ाइल है, इसलिए इस क्षति को परिभाषित किया जा सकता है।
 प्रवाह दर प्लेट के बिना क्या होता है और प्लेट के साथ क्या होता है, यही अंतर मुझे द्रव्यमान प्रवाह की क्षति बताता है।
 इसलिए हम इसे घटा सकते हैं और हम विशेष रूप से इस विस्थापन की मोटाई को परिभाषित कर सकते हैं।
 यह एक अंसपीड्य प्रवाह होने के नाते निश्चित रूप से दोनों पक्षों से ρ बाहर आ सकता है और हमें विस्थापन मोटाई की यह परिभाषा मिलती है।
 अब वास्तव में इस विस्थापन की मोटाई को देखने का एक और तरीका है और जो बहुत उपयोगी है।
 तो वह क्या है, अब हम जो देखते हैं वह यह है कि हम वास्तव में यहां एक स्ट्रीमलाइन पर विचार कर सकते हैं।
 यह वही है जो मैंने पहले समझाना शुरू किया था, लेकिन इस स्पष्टीकरण को पहले करना मुश्किल था।
 अब मान लें कि आपके पास प्लेट की सतह पर एक स्ट्रीमलाइन है और आप इस स्ट्रीमलाइन पर विचार करते हैं, तो देखें कि यह स्ट्रीमलाइन इस धराशायी लाइन के साथ नहीं गुजर सकती।
 ऐसा क्यों है, क्योंकि 2 स्ट्रीमलाइन के बीच प्रवाह दर स्थिर रहती है।
 ऐसा क्यों है क्योंकि स्ट्रीमलाइन के लंबवत कोई प्रवाह नहीं है।
 तो स्ट्रीमलाइन के लंबवत अगर कोई प्रवाह नहीं है, तो फिर 2 स्ट्रीमलाइन के बीच आपके पास समान प्रवाह दर होनी चाहिए, इसका मतलब है कि यहां और यहां आपको समान प्रवाह दर होना चाहिए।
 लेकिन प्रवाह दर निश्चित रूप से कम हो गई है, यदि आप प्लेट के समानांतर एक स्ट्रीमलाइन बनाते हैं, तो प्रवाह दर निश्चित रूप से इस खंड में कम हो गई है।
 तो हम कैसे स्थिति की व्याख्या कर सकते हैं, निश्चित रूप से स्ट्रीमलाइन विस्थापित हो गई होगी।
 तो आप बाहरी स्ट्रीमलाइन में विस्थापन के रूप में विस्थापन की मोटाई की कल्पना कर सकते हैं।
 तो मूल रूप से सीमा रेखा के ठीक बाहर की स्ट्रीमलाइन, कितना विस्थापित है, यह भी बताएगा कि विस्थापन मोटाई क्या है।
 और ऐसा इसलिए होता है क्योंकि प्रवाह में गिरावट आती है।
 यह सब होता है क्योंकि प्रवाह घटता है जेसे ही यह प्लेट के शीर्ष पर चलता है।
 लेकिन बाधा मोटाई के साथ यह अधिक घटनात्मक विवरण है।
 सीमा परत की मोटाई को परिभाषित करने का एक और तरीका है जो फिर से घटनात्मक है लेकिन यह किसी अन्य अवधारणा से संबंधित है।
 वह क्या है, यह देखें कि ऐसा नहीं है कि द्रव्यमान क्षति होती है जब द्रव प्लेट के शीर्ष पर चलता है।
 यह एक संवेग की हानि है।
 तो आप उस संवेग हानि पर विचार कर सकते हैं, यदि आप उस पर विचार करते हैं, तो विचार करते हुए आप मोटाई को परिभाषित कर सकते हैं जिसे संवेग मोटाई कहा जाता है।
 अब हम देखते हैं कि हम संवेग मोटाई को कैसे परिभाषित कर सकते हैं।
 तो यह अब की स्थिति है, यह प्लेट है, पहले जेसी ही स्थिति है, U फ्री स्ट्रीम वेग है और यह सीमा परत है और यह सीमा परत के भीतर वेग प्रोफ़ाइल है।
 अब जैसे हमने पहले मामले में एक समानता बनाई थी, हम यहाँ भी वेसी ही समानता बना सकते हैं।
 फिर से हम 2 लाइनों को खींचते हैं, एक सीमा परत के किनारे पर और दूसरा प्लेट के ऊपरी सतह पर।
 अब हम मूल रूप से इसे एक ऐसी स्थिति के रूप में सोच सकते हैं जिसमें प्लेट को एक θ दूरी पर ले जाया गया है।
 और वह दूरी θ क्या है।
 इसे इस तरह से स्थानांतरित किया गया है कि प्लेट के पास आ रहा समरूप प्रवाह के समान इसका भी समरूप प्रवाह है, तो इस परत के संवेग के समान संवेग है।
 बेशक इस परत में आने वाले संवेग की तुलना में कम संवेग है, लेकिन अब अगर आप विचार करते हैं कि संवेग में कमी को पुरा करने के लिए प्लेट विस्थापित हो जाती है।
 तो संवेग में होने वाली हानि की क्षतिपूर्ति के लिए प्लेट को थोड़ा सा हिलाना है, लेकिन प्रवाह को समरूप रखना है।
 तो अब आप संवेग हानि को परिभाषित कर सकते हैं।
 तो वास्तव में द्रव का संवेग क्षति है जेसे ही यह प्लेट के शीर्ष पर चलता है।
 उस संवेग की क्षति की क्षतिपूर्ति संवेग मोटाई करती है।
 तो एक द्रव्यमान प्रवाह हानि है, एक संवेग हानि है।
 ये बुनियादी चीजें हैं जो तब होती हैं जब द्रव प्लेट के ऊपर चलता है।
 तो अब इस संवेग क्षति के परिमाण (magnitude) का कैसे पता लगाया जाए।
 तो सीमा परत में गति की क्षति, हम इसे फिर से उस तरल पदार्थ की गति के रूप में परिभाषित कर सकते हैं जो इस क्षेत्र से गुजर रहा है जो कि घटना प्रवाह में है।
 ताकि ρUUθ हो जाएगा, यह U फ्री स्ट्रीम वेग है, θ विस्थापन मोटाई।
 इसे फिर से परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि हमने यहाँ द्रव्यमान पैमाने पर प्रवाह के मामले में किया, विस्थापन के मामले में।
 जिसका अर्थ है कि प्लेट के बिना संवेग क्या होगा और प्लेट के साथ संवेग क्या होगा।
 अब यह संवेग हानि केवल संवेग हानि के लिए होनी चाहिए, न कि द्रव्यमान प्रवाह के क्षति के लिए, हम बहुत जल्द ऐसा महसूस करेंगे।
 तो प्लेट के बिना प्रवाह का संवेग, मान लीजिए कि आप प्लेट को हटा देते हैं, तो संवेग क्या था।
 प्लेट के बिना प्रवाह का संवेग घटा प्लेट के साथ प्रवाह का संवेग ।
 तो इन 2 के बीच अंतर मुझे संवेग हानि देगा।
 तो यह अभिव्यक्ति है, अब हम इन दोनों विवरणों को एक अभिव्यक्ति देने का प्रयास करेंगे।
 प्लेट के बिना प्रवाह का संवेग, आप इसे कैसे खोज सकते हैं? मूल रूप से हम एक स्ट्रीमलाइन पर विचार करते हैं, जैसा कि हमने यहां देखा कि जो बाउंड्री लेयर के किनारे से खींची गई स्ट्रीमलाइन लाइन से गुजर रही थी, वह विस्थापित हो जाएगी।
 लेकिन हमें इस पॉइंट, मतलब है कि सीमा परत के किनारे से एक स्ट्रीमलाइन खींचनी है।
 मैं एक स्ट्रीम लाइन बनाना चाहता हूँ।
 तो आप इसे कैसे करेंगे? तो आप इसे इस तरह से खींचते हैं, आप सीमा के किनारे के माध्यम से एक स्ट्रीमलाइन पास करते हैं और यह स्ट्रीमलाइन समानांतर नहीं होगी क्योंकि इसमें द्रव्यमान के प्रवाह को संतुष्ट करना होता है, इसलिए इसे इस तरह झुकना पड़ता है।
 तो बाहरी स्ट्रीमलाइन इस तरह झुक गई है।
 सीमा परत के किनारे से गुजरने वाली स्ट्रीमलाइन को भी झुकना चाहिए, इसलिए यदि हम अभी इस पर विचार करते हैं, तो यह मूल रूप से विवरण का अर्थ है कि प्लेट के बिना समान प्रवाह का संवेग।
 अब इस प्लेट के बिना इस प्रवाह में इस तरह का संवेग होगा।
 तो एक समान वेग के साथ आने वाले द्रव का यह संवेग।
 यहाँ ध्यान दें कि यह संवेग केवल इस क्षेत्र से संबंधित है न कि संपूर्ण बाधा मोटाई δ से।
 यदि समान प्रवाह दर प्लेट के ऊपर से गुजरती है, तो संवेग में क्या कमी है? यह केवल हिसाब है, तो यह केवल विशुद्ध रूप से विचार करता है, इस परिभाषा को देखें विशुद्ध रूप से द्रव्यमान प्रवाह दर हानि को छोड़कर यह संवेग हानि पर विचार करता है।
 तो आइए देखें कि इसका वर्णन कैसे किया जा सकता है, इसलिए इसे इस रूप में वर्णित किया जा सकता है कि इस तरल पदार्थ जो आ रह है का संवेग क्या है? इस पर हम बाद में आएंगे।
 लेकिन जो द्रव्य द्रव्यमान प्रवाह दर में आ रहा है, वह है।
 हम यह कैसे प्राप्त करते हैं? यहां देखें कि U वास्तव में यहाँ वेग है, इस प्रवाह के लिए द्रव्यमान प्रवाह दर ज्ञात करने वाली समस्या देखें, इसका कारण यह है कि हम यहाँ मोटाई नहीं जानते हैं।
 हम उस स्थान पर सीमा परत डेल्टा की मोटाई जानते हैं जहां हम संवेग मोटाई का पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं।
 लेकिन हम यह नहीं जानते कि यह कितना झुकता है जबतक विस्थापन मोटाई की परिभाषा नही करते।
 हम उस परिभाषा को यहां नहीं लाना चाहते हैं।
 तो इसमें लाए बिना आप कह सकते हैं कि इस द्रव्यमान प्रवाह दर का पता कैसे लगा सकते हैं।
 आप कैसे पता लगा सकते हैं, क्योंकि यह द्रव्यमान प्रवाह दर इस द्रव्यमान प्रवाह दर के बराबर है।
 क्योंकि ये एक ही प्रवाह से बंधे हुए हैं, इसलिए यह द्रव्यमान प्रवाह दर वास्तव में है, इसलिए मूल रूप से यह द्रव्यमान प्रवाह दर है।
 यह द्रव्यमान प्रवाह दर लेकिन इस वेग पर नहीं, दोनों द्रव्यमान प्रवाह दर समान हैं।
 इस प्रवाह के लिए प्रति यूनिट द्रव्यमान प्रवाह दर क्या है? यह U है, इसलिए आप इसे U के साथ गुणा करते हैं, आपको प्रवाह का संवेग मिलता है।
 तो मूल रूप से आने वाले प्रवाह के संवेग से प्लेट के साथ प्रवाह के संवेग को घटाया गया है।
 प्लेट के साथ प्रवाह का संवेग क्या है? यदि प्लेट मौजूद है, तो यह लिखना बहुत मुश्किल नहीं है क्योंकि यह है।
 u निश्चित रूप से उस स्थान पर वेग है जहां हम संवेग मोटाई का पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं।
 तो यह अंतर मुझे सीमा परत में संवेग क्षति प्रदान करेगा।
 इसलिए देखें कि द्रव्यमान के मामले में विस्थापन की मोटाई, इसके साथ जो अवधारणा जुड़ी हुई है, वह द्रव्यमान प्रवाह क्षति है।
 संवेग मोटाई के मामले में जो अवधारणा इसके साथ जुड़ी है वह सतह के शीर्ष पर तरल पदार्थ की संवेग क्षति है।
 अब यह एक असंपीड्य प्रवाह है, ρ को रद्द करके हम इसे संवेग मोटाई की परिभाषा के रूप में लिख सकते हैं।
 व्याख्यान के अगले भाग में यह हमारे लिए बहुत उपयोगी होगा।
 तो अब हमें एक और महत्वपूर्ण अवधारणा पर नजर डालते हैं कि सीमा परत की मोटाई का पता कैसे लगाया जाए।
 तो यह सीमा परत के भीतर संवेग के समाकल से संबंधित है।
 तो यह सीमा परत है जैसा कि पहले वर्णित है, हम जो कर सकते हैं वह यह है कि हम सीमा परत के भीतर समाकल दृष्टिकोण की अवधारणाओं को लागू कर सकते हैं।
 तो हम ऐसा कैसे करते हैं, हम एक नियंत्रण मात्रा लेते हैं।
 तो यह लाल सीमा द्वारा दिखाया गया मेरी नियंत्रण मात्रा है।
 यदि हम इस नियंत्रण मात्रा को लेते हैं तो हम यहां बल संतुलन कर सकते हैं, जैसे हमने समाकल दृष्टिकोण के मामले में किया था।
 तो हम नियंत्रण की मात्रा लेते हैं, एक और बात देखते हैं कि यह नियंत्रण मात्रा एक बहुत छोटी लंबाई के रूप में है और हम इसे स्ट्रीमलाइन के रूप में मानते हैं जो नियंत्रण मात्रा के शीर्ष किनारे से गुजर रहा है।
 यह ऊपरी स्ट्रीमलाइन के साथ विलय हो जाता है।
 और हमारी पिछली स्लाइड से हम जानते हैं कि स्ट्रीमलाइन इस तरह झुक जाएगी।
 हमने इस पाठ्यक्रम के 2 वें सप्ताह में समस्या करते हुए भी इसे पेश किया था।
 ठीक है स्ट्रीमलाइन का झुकना समझ में आता है।
 अब यह मेरा कंट्रोल वॉल्यूम है ओर यह कंट्रोल वॉल्यूम का एक आवर्धित दृश्य (magnified view) है और कंट्रोल वॉल्यूम की मोटाई ∆x बहुत कम है।
 यह बहुत छोटा है, हमने इसे केवल बड़ा कर दिया है ताकि हम यहां प्रदर्शित होने वाली शर्तों को स्पष्ट रूप से लिख सकें।
 कंट्रोल वॉल्यूम के एक छोर पर सीमा परत की मोटाई δ है, जैसा कि यहां दिखाया गया है और दूसरे छोर पर यह δ+∆δ है, इसलिए यह मूल रूप से नियंत्रण मात्रा की मोटाई में एक छोटी वृद्धि है।
 तो हमें एहसास होता है कि, यह मोटाई वास्तव में बदल जाती है जब हम नियंत्रण मात्रा के साथ आगे बढ़ते हैं, बाधा मोटाई।
 यह δ बाधा मोटाई है, जब भी हम δ का उपयोग करते हैं तो इसका मतलब होगा कि यह बाधा मोटाई है, δ* एक विस्थापन मोटाई है और θ का अर्थ होगा संवेग मोटाई।
 इसलिए हम इस अध्याय से गुजरते समय इन शब्दावली को अपने दिमाग में रखेंगे।
 तो यह बाधा की मोटाई है।
 इन सभी मोटाई की तरह जैसे संवेग मोटाई और विस्थापन मोटाई, बाधा की मोटाई प्लेट की लंबाई के साथ बदलती हैं।
 इसलिए प्लेट की अलग-अलग स्थिति में बाधा मोटाई स्वाभाविक रूप से भिन्न होती है।
 जैसा कि हम इस आंकड़े के माध्यम से देख सकते हैं, विस्थापन मोटाई भी अलग होगी और संवेग मोटाई भी अलग होगी।
 इसलिए हम इस नियंत्रण मात्रा को रेखांकित करते हैं और रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय को लागू करने का प्रयास करते हैं, गति संरक्षण से निपटने के लिए मूल रूप से समाकल दृष्टिकोण।
 तो हम यहां कंट्रोल वॉल्यूम निकालते हैं और देखते हैं कि कंट्रोल वॉल्यूम में क्या बह रहा है।
 मूल रूप से रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय हमें बताता है कि X के साथ, यह X दिशा है, निश्चित रूप से X दिशा के साथ।
 इसलिए शुद्ध बल जो कि मूल रूप से है, इसलिए इस नियंत्रण मात्रा पर काम करने वाला शुद्ध बल मूल रूप से नियंत्रण मात्रा में से बाहर निकलने वाली संवेग मे से नियंत्रण मात्रा मे आने वाली संवेग को घटाने के बाद बचने वाले घटक के बराबर है।
 तो आइए देखते हैं कि वह नियंत्रण मात्रा में से बाहर निकलने वाली, नियंत्रण मात्रा मे आने वाली संवेग कौन सी है और इस नियंत्रण मात्रा पर काम करने वाली ताकतें क्या हैं।
 तो उस में जाने के लिए, जो हम पहले कहते हैं, इनलेट संवेग है, हम कहते हैं कि MM1 है।
 इस इनलेट संवेग का क्या अर्थ है, यह इनलेट संवेग उन्ही 2 स्ट्रीमलाइन से बंधे हुए द्रव के बीच में स्थित संवेग है।
 जैसा कि हम इस कंट्रोल वॉल्यूम को कहते हैं, कंट्रोल वॉल्यूम के शीर्ष किनारे को एक विशेष स्ट्रीमलाइन के साथ मर्ज किया जाता है और ऐसा करना संभव है क्योंकि ∆x, कंट्रोल वॉल्यूम की मोटाई बहुत छोटी है।
 तो अब अगर आप इस स्ट्रीमलाइन को बढ़ाते हैं, तो यह इस तरह से बनेगी, यह समान प्रवाह में प्लेट से थोड़ी दूरी पर होगी और बता दें कि इनलेट संवेग MM1 है।
 इसलिए तरल पदार्थ का इनलेट संवेग जो इन 2 विशेष स्ट्रीमलाइन्स से होकर गुजर रहा है MM1 है।
 अब क्या होता है, क्योंकि यह कंट्रोल वॉल्यूम के सामने के किनारे पर पहुंच जाता है ओर इनलेट संवेग कम हो जाता है।
 तो यह कितना कम होता है? अब हम जानते हैं कि संवेग मोटाई क्या है।
 संवेग क्षति के आधार पर मोटाई को परिभाषित करने का लाभ अब देख सकते है, अब हम आसानी से इस संवेग के लिए एक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं।
 तो यह मूल रूप से MM1 है और यह (ρU2θ) संवेग में क्षति है, यह मूल रूप से संवेग क्षति है।
 तो इस नियंत्रण मात्रा में आने वाले तरल पदार्थ का संवेग है।
 अब संवेग जो नियंत्रण की मात्रा से बाहर जा रही है, हम फिर से इसे कर सकते हैं।
 यह क्या है, मूल रूप से θ संवेग मोटाई है, यह लंबाई X के साथ बदल रहा है।
 तो यह कर सकते हैं अब एक टेलर श्रृंखला में विस्तार किया जा सकता है और हम इसे के रूप में लिख सकते हैं।
 तो मूल रूप से यह बाहर निकलने वाला संवेग है।
 क्या निचली सतह से कोई संवेग होती है? नहीं, क्योंकि यह प्लेट की सतह है और शीर्ष सतह पर से भी नहीं क्योंकि यह स्ट्रीमलाइन है।
 तो स्ट्रीमलाइन के लंबवत कोई प्रवाह नहीं हो सकता है और प्लेट के लंबवत भी कोई प्रवाह नहीं हो सकता है।
 तो ये 2 संवेग हैं जिन्हें हम मानते हैं।
 इसलिए यदि हम इन्हे घटाते हैं, तो हमें X दिशा के साथ बाहर निकलने वाले संवेग की शुद्ध दर मिलती है।
 अब, बल क्या हैं? बल, विचार करने वाला पहला बल प्लेट पर अपप्रपण तनाव होगा।
 देखें कि प्लेट वास्तव में एक अपप्रपण तनाव को लागू कर रही है जो मूल रूप से दीवार अपप्रपण तनाव होगा।
 हम इस अध्याय के दौरान इसका उपयोग करते रहेंगे मूल रूप से दीवार से आने वाला दीवार तनाव (wall stress) है।
 तो इस मामले में प्लेट की सतह पर यह ∆x से गुणा किया जाता है।
 यह तनाव × क्षेत्रफल, निश्चित रूप से फिर से हमने यूनिट लंबाई (unit length) ली है।
 यह वास्तव में यह 1 से गुणा होता है।
 तो स्लाइड के लंबवत यूनिट लंबाई।
 यह वास्तव मे यूनिट चौड़ाई है, यूनिट लंबाई नहीं है, वास्तव में प्लेट की यूनिट चौड़ाई है, लंबाई हम X दिशा में कहते हैं, चौड़ाई स्लाइड के लंबवत है।
 तो एक बल निश्चित रूप से इस नियंत्रण मात्रा पर काम कर रहा है।
 अब दबाव बल (pressure force) क्या है? हम जानते हैं कि यह दबाव बल के बारे में भी है, इस पूरे नियंत्रण मात्रा पर कार्यर्त दबाव क्या हैं।
 तो उस पर विचार करने के लिए, हम इस प्लेट से दूर एक स्ट्रीमलाइन को देखते हैं।
 यदि हम इस प्लेट से दूर एक स्ट्रीमलाइन को देखते हैं, तो आप कह सकते हैं कि स्ट्रीमलाइन के साथ यह ∆U शून्य है।
 इसका मतलब है कि यदि आप प्रवाह के साथ चलते हैं, तो वेग नहीं बदल रहा है, यह एक समरूप प्रवाह है क्योंकि यह सीमा रेखा के बाहर है।
 तो इसका मतलब यह भी है कि यदि आप अब इसके लिए यूलर समीकरण लागू करते हैं, तो आपको ∆P 0 के बराबर मिलेगा।
 इसकी ऊंचाई में कोई बदलाव नहीं है या यदि आप गुरुत्वाकर्षण को भी अनदेखा कर सकते हैं, भले ही आप गुरुत्वाकर्षण को शामिल करें, यदि यह क्षैतिज के समानांतर है, या यदि यह लगभग क्षैतिज है तो हम कह सकते हैं ∆P भी शून्य है।
 तो ∆U शून्य है, ∆P शून्य है, तो इसका क्या मतलब है, कि एक फ्लैट प्लेट के मामले में, दबाव प्रवणता वास्तव में सीमा परत के बाहर शून्य है।
 तो यह एक सीमा परत है, सीमा परत के बाहर दबाव प्रवणता (pressure gradient) शून्य है, जो आसानी से यहाँ से स्थापित है।
 वास्तव में बाउंड्री लेयर पर भी समान प्रेशर ग्रैडिएंट लगाया जाता है।
 इसका मतलब है कि यदि आप बाउंड्री लेयर में भी जाते हैं, तो प्रेशर ग्रैडिएंट शून्य है।
 इसलिए हम फिलहाल इसे स्वीकार करते हैं, हम वास्तव में यह साबित करेंगे कि एक फ्लैट प्लेट के लिए सीमा परत के भीतर दबाव प्रवणता वास्तव में शून्य है।
 हमने पहले ही यह बताया है कि सीमा रेखा के बाहर दबाव प्रवणता शून्य है, अब सीमा परत के अंदर, आइए हम मानते हैं कि वही दबाव प्रवणता, सीमा परत के भीतर लगाया जाता है, सीमा परत के बाहर जो बाहरी दबाव प्रवणता है वही सीमा परत के भीतर लगाया जाता है।
 वास्तव में यह सभी सीमा परत प्रवाह के लिए सच है, न केवल एक फ्लैट प्लेट पर।
 जो कुछ भी सीमा परत के बाहर है वही दबाव प्रवणता सीमा परत में लगाया जाता है।
 निश्चित रूप से हम बाद में इस बारे में अधिक कठोर प्रमाण देंगे।
 तो इसका क्या मतलब है कि दबाव प्रवणता अगर यहां शून्य है, तो इसका मतलब है कि दबाव हर जगह समान है।
 इसलिए यह नियंत्रण मात्रा पर काम करने वाली ताकतों पर यह कोई शुद्ध प्रभाव नहीं डालता है।
 इसका मतलब है कि आपके पास अपप्रपण तनाव है और आपके पास ये 2 संवेग पद हैं, एक नियंत्रण मात्रा से बाहर निकलना और दूसरा नियंत्रण मात्रा में आना।
 तो अब हम इसे को में लिख सकते हैं, केवल संकेत को ध्यान में रखते हुए और हम इस अभिव्यक्ति को प्राप्त करेंगे।
 यह निश्चित रूप से रद्द हो जाएगा और जो हमारे पास बचेगा वो है।
 यह पद रद्द कर देंगे और जो बचेगा वो के बराबर है।
 इसे वास्तव में संवेग समाकल प्रमेय (momentum integral theorem) कहा जाता है जो सीमा परत विश्लेषण (boundary layer analysis) में एक बहुत महत्वपूर्ण प्रमेय है।
 अब हम देखेंगे कि यह प्रमेय कितना शक्तिशाली है।
 यह वास्तव में उस मामले तक बढ़ाया जा सकता है जहां सीमा परत के बाहर दबाव प्रवणता गैर-शून्य है।
 सीमा परत के बाहर एक गैर-शून्य प्रेशर ग्रेडिएंट है लेकिन हम इस तरह के सामान्य मामले के लिए ऐसा नहीं कर रहे हैं ।
 हम सिर्फ फ्लैट प्लेट के लिए कर रहे हैं।
 तो दीवार अपप्रपण तनाव संवेग मोटाई से संबंधित है।
 यह समझ में आता है क्योंकि अपप्रपण तनाव वास्तव में उत्पन्न होता है जब एक संवेग क्षति होती है।
 यह हमने द्वितीय अध्याय में एक समस्या को हल करते हुए देखा है।
 X दिशा के साथ संवेग मोटाई कैसे बदलती है यह निश्चित रूप से अपप्रपण तनाव को प्रभावित करेगा।
 तो यह अभिव्यक्ति ली गई है या यह इस अभिव्यक्ति का भौतिक वर्णन है।
 तो अब हम देखते हैं कि हम इसके साथ आगे नहीं बढ़ सकते हैं जब तक कि हम वेग के कुछ प्रोफ़ाइल को नहीं मानते हैं।
 क्योंकि यह प्रोफ़ाइल अभी भी अज्ञात है।
 हम कहते हैं कि हम एक द्विघात प्रोफ़ाइल मानते हैं, इसलिए यदि हम ऐसा करते हैं, तो हम θ के लिए एक अभिव्यक्ति पा सकते हैं, θ वेग पर निर्भर है u/U, हमने आखिरी स्लाइड में देखा था कि यह वेग प्रोफ़ाइल द्वारा परिभाषित किया गया है ।
 मूल रूप से हम कहते हैं कि हम इस तरह की प्रोफ़ाइल को मानते हैं और हम जानते हैं कि यह वास्तव में सीमा परत का प्रतिनिधित्व करेगा।
 हमने पहले अध्याय में देखा है कि इस तरह की एक वेग प्रोफ़ाइल प्लेट के शीर्ष पर नो-स्लिप स्थिति को संतुष्ट करती है।
 सीमा के दूसरे किनारे पर फ्री स्ट्रीम वेग और सीमा परत के किनारे पर शून्य प्रवणता स्थिति, क्योंकि यहाँ कतरनी तनाव सीमा परत से सीमा परत के बाहर संचारित नही होता है।
 ऐसा क्यों है क्योंकि यदि यह संचरित होता है तो सीमा परत के किनारे से सटे वेग भी बदल जाएंगे।
 क्योंकि अपप्रपण तनाव वह तंत्र है जिसके माध्यम से वेग कम हो जाता है या प्रवाह कम हो जाता है।
 तो यह मूल रूप से हमारी वेलोसिटी प्रोफाइल है।
 अब अगर हम θ की परिभाषा में इसका उपयोग करते हैं, तो θ मूल रूप से हमारी संवेग मोटाई है।
 इसलिए यदि हम इसका उपयोग करते हैं तो हम वास्तव में इस अभिव्यक्ति को समाकल कर सकते हैं और यदि हम ऐसा करते हैं तो हमें द्विघात प्रोफ़ाइल के लिए मिलता है।
 हम इसे यहां प्लग कर सकते हैं, ऐसा करने से पहले हम यह भी लिख सकते हैं, दीवार अपप्रपण तनाव देखें, न्यूटन के श्यानता नियम से यह है।
 यदि आप ऐसा करते हैं, तो और हम वेग प्रोफ़ाइल को जानते हैं, हमें इस तरह की अभिव्यक्ति मिलती है।
 हमने द्विघात प्रोफ़ाइल को माना है, यह दीवार अपप्रपण तनाव होगा, द्विघात प्रोफ़ाइल के साथ, यह संवेग मोटाई होगी।
 अब हम इस θ को यहां प्लग-इन कर सकते हैं और देख सकते हैं कि क्या होता है।
 इसलिए अब एक बार हम δ के संदर्भ में θ को लिखते हैं, यह है।
 इस अभिव्यक्ति को अब समाकल किया जा सकता है क्योंकि हम यहां से δ ले जा सकते हैं और यह बन जाता है।
 तो इसे समाकल करें, आपको यह अभिव्यक्ति मिलती है कि है।
 स्थिर अंक आसानी से प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि हम जानते हैं कि X = 0 तब δ=0 है।
 ठीक इसी तरह भी शून्य है, क्योंकि सीमा परत की मोटाई, बाधा मोटाई शून्य के बराबर है x=0 पर।
 इसका मतलब है कि स्थिर अंक भी शून्य है।
 हम इस स्थिति को लागू करते हैं तो अब हम इस एक्सप्रेशन को फिर से लिख सकते हैं के बराबर है।
 जो है।
 अब Ux क्या है? तो अब आप देखते हैं कि हमने कीनेमेटिक श्यानता (kinematic viscosity) का उपयोग किया है जो यहाँ है और यहाँ पर हमने यही किया है, हमने को υ लिखा है।
 तो अब यह मूल रूप से रेनॉल्ड्स नंबर है, जिसे हमने पहले परिभाषित किया था।
 तो यह ।
 अब देखें कि हमने यहां एक प्रत्यय X का उपयोग किया है, इस तथ्य पर जोर देने के लिए कि यह रेनॉल्ड्स नंबर, उस विशेष बिंदु या स्थान पर निर्भर नही है।
 तो हमारी सीमा परत की मोटाई भी X से किस प्रकार संबंधित है।
 वास्तव में आप यहां एक और महत्वपूर्ण बात देख सकते हैं कि यदि आप इस वक्र को खींचना चाहते हैं, तो आप आसानी से बना सकते हैं।
 निश्चित रूप से मान लिया गया वेग प्रोफ़ाइल जो द्विघात है और जो बहुत गलत नहीं है, हम उस पर आएँगे।
 तो हम देख सकते हैं कि δ बनाम X , यह कैसे तबदील होता है।
 , x के समानुपातिक है।
 यह मूल रूप से वास्तविक वक्र है।
 तो यह वास्तविक वक्र है जो सीमा परत का प्रतिनिधित्व करता है।
 अब यह सीमा परत की मोटाई का एक रूपांतर है, मूल रूप से है।
 और यह निश्चित रूप से एक लेमिनार प्रवाह के लिए है क्योंकि यह प्रोफ़ाइल लेमिनार प्रवाह का अधिक प्रतिनिधि है।
 वेग प्रोफाइल जो हमने पहली स्लाइड में देखा है, इससे पहले की स्लाइड, जो इस तरह की धारणा का उपयोग करके अधिक प्रतिनिधित्व कर सकती है।
 इसके अलावा देखें कि इस पूरे व्युत्पत्ति में लेमिनार या अशांत प्रवाह के लिए कोई धारणा नहीं है।
 इसलिए यदि आप प्रोफ़ाइल बदलते हैं और इस गणना को दोहराते हैं, तो आप अशांत प्रवाह के लिए भी संबंध प्राप्त कर सकते हैं।
 यह अभिव्यक्ति इस वजह से अशांत प्रवाह के लिए नहीं है कि वेग प्रोफ़ाइल अशांत प्रवाह की स्थिति का बहुत अच्छा प्रतिनिधि नहीं है।
 इसलिए अब यह मूल रूप से मेरी भिन्नता है और यह काफी सटीक है, क्योंकि यह वास्तव में वॉन कारमेन (Von Carmen) द्वारा व्युत्पन्न किया गया था और यह बहुत अधिक मजबूत समाधान बनाने के बाद भी काफी सटीक पाया गया था, जिसे हम सीमा परत प्रवाह के अगले व्याख्यान में चर्चा करेंगे।
 तो यह समाधान वास्तव में इस का अधिक सटीक मान 5 है।
 तो आप लगभग 10 प्रतिशत सटीकता मे प्राप्त करते हैं जो कि बहुत ही सरल द्विघात प्रोफ़ाइल है।
 यह वास्तव में द्विघात प्रोफ़ाइल नहीं है, इसलिए हम अगले व्याख्यान में देखेंगे कि सीमा परत के भीतर एक वेग प्रोफ़ाइल कैसे प्राप्त किया जाए, इसका उपयोग किए बिना वेग प्रोफ़ाइल का अधिक कठोर विश्लेषण है।
 लेकिन यह अपने आप में काफी सटीक है जैसा कि हम यहां देख सकते हैं।
 अब आपके पास यह सीमा परत है, आप दीवार अपप्रपण तनाव के लिए अभिव्यक्ति भी प्राप्त कर सकते हैं।
 तो दीवार कतरनी तनाव कैसे प्राप्त करें, या दूसरे शब्दों में स्कीन घर्षण गुणांक (skin friction coefficient)।
 इसलिए आमतौर पर जो किया जाता है वह कुछ गुणांक के माध्यम से संबंधित होता है।
 यह मूल रूप से दीवार अपप्रपण तनाव और का अनुपात है।
 तो अगर आप प्रयोग करते हैं तो आपको स्कीन घर्षण गुणांक का पता चलता है जो रेनॉल्ड्स नंबर और इस तरह की चीजों से संबंधित हो सकता है।
 तो हम इसे ड्रैग गुणांक (drag coefficient) के मामले में भी देखेंगे, जो बाद में आएगा लेकिन अब इस समाधान से हम स्कीन घर्षण गुणांक के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं।
 इसलिए यदि आप उस प्लग-इन करते हैं, दीवार अपप्रपण तनाव मान अब ध्यान देने योग्य है और यह है और δ पहले से ही रेनॉल्ड्स नंबर के संदर्भ में जाना जाता है, इसलिए यदि आप ऐसा करते हैं, तो आपको स्कीन घर्षण गुणांक (Cf) है।
 एक प्लेट द्वारा एक प्रवाह को दिए गए प्रतिरोध का पता लगाने के लिए यह एक बहुत ही उपयोगी अभिव्यक्ति है।
 इसलिए मूल रूप से यह हमें पहले व्याख्यान के अंत में लाता है और इस विशिष्ट व्याख्यान में हमने जो चर्चा की है उसे दोहराने के लिए हमने एक प्लेट पर सीमा परत की मूल संरचना के साथ शुरुआत की है और दिखाया है कि इंस्टेंट लेमिनार प्रवाह एक लेमिनार सीमा परत से जाता है, लेमिनार की सीमा परत एक संक्रमण से गुजरती है और पूरी तरह से अशांत हो जाता है और इस संक्रमण से अशांति को रेनॉल्ड्स नंबर के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है।
 हमने एक सीमा परत की मोटाई को परिभाषित करने के विभिन्न तरीकों को भी देखा, बाधा मोटाई, संवेग मोटाई और विस्थापन मोटाई ।
 हमने एक मामले के लिए संवेग समाकल प्रमेय (momentum integral theorem) भी निकाला है, जिसका अर्थ है कि संवेग समाकल संबंध जो मूल रूप से फ्लैट प्लेट सीमा परत प्रवाह के मामले के लिए रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय का एक अनुप्रयोग है और हमने सीमा परत की मोटाई के संदर्भ में एक अभिव्यक्ति प्राप्त की है।
 रेनॉल्ड्स नंबर।
 अब हम कह सकते हैं कि प्लेट के अलग-अलग हिस्से पर चलते हुए मूल रूप से सीमा परत की मोटाई कैसे बदलती है।
 हम इसे अगले व्याख्यान में नवीयर-स्टोक्स समीकरण के दृष्टिकोण को लेंगे।
 धन्यवाद।