आज हम इस मॉडल के भाग ए से कुछ ट्यूटोरियल समस्याओं को प्रदर्शित करने जा रहे हैं जो व्याख्यान 1, व्याख्यान 2 और व्याख्यान 3 पर आधारित हैं।
 तो, पहली समस्या न्यूटन का श्यानता (Newton’s law of viscosity) के नियम पर है।
 समस्या कथन इस प्रकार है।
 आपके पास 2 प्लेटें हैं, नीचे की प्लेट को यहाँ दिखाया गया है, ऊपर की प्लेट को यहाँ दिखाया गया है और इसमें 2 तरल पदार्थ, द्रव 1 और द्रव 2 हैं।
 शीर्ष प्लेट को एक वेग U पर बल F का उपयोग करके स्थानांतरित किया गया है और तरल पदार्थ की पहली परत की ऊँचाई (द्रव 1), इस अंतराल के आधे तक, है और बाकी फिर से है।
 तो, इस समस्या के लिए, ये वे पैरामीटर हैं जो दिए गए हैं।
 वेग U को 1 मीटर प्रति सेकंड के रूप में दिया है, H 0.5 मिलीमीटर है, पहले और दूसरे तरल पदार्थ की चिपचिपाहट को 0.1 पास्कल सेकंड और 0.5 पास्कल सेकंड के रूप में दिया गया है।
 तो, इस दी गई समस्या में दूसरा द्रव पहले वाले की तुलना में अधिक चिपचिपा है।
 इस प्लेट का निचला क्षेत्रफल 1 मीटर वर्ग है।
 तो, हमें क्या खोजना है कि दिए गए वेग जो कि 1 मीटर प्रति सेकंड है, पर प्लेट को हिलाने के लिए कितना बल आवश्यक है और दूसरी बात भी यहाँ दी गई है।
 हम वेग प्रोफाइल को देख सकते हैं कि, प्लेट के लिए लंबवत दिशा में वेग परिवर्तन इन तरल पदार्थ की विभिन्न चिपचिपाहट के कारण निरंतर नहीं है।
 तो, अंतराफलक/इंटरफ़ेस (interface) में वेग की ढाल/ग्रेडिएंट (gradient) में बदलाव होता है।
 यह पता लगाना आवश्यक है कि अंतराफलक में वेग कितना है।
 तो, आइए देखें कि हम इस समस्या को कैसे हल करते हैं।
 हमें 1 मीटर प्रति सेकंड के वेग से शीर्ष प्लेट को स्थानांतरित करने के लिए बल का और इंटरफेस में वेग का पता लगाना है।
 जब हम चर्चा करते हैं, तो यह स्पष्ट होगा कि अंतराफलक पर ढाल मे अनिरंतरता क्यों है।
 तो, इसे देखने के लिए, हम इस अंतराफलक/इंटरफ़ेस (interface) को ओर अधिक बारीकी से देखते हैं।
 यदि हम इस इंटरफ़ेस को देखें, तो दोनों पक्षों पर अपप्रपण तनाव समान होना चाहिए, वहाँ वेग के क्रमिक होना बंद हो सकता है लेकिन अपप्रपण तनाव निरंतर होना चाहिए क्योंकि अपप्रपण तनाव द्रव परतों के माध्यम से स्थानांतरित होता है।
 अपप्रपण तनाव, जो द्रव 1 के द्वारा अंतराफलक पर स्थानांतरित किया जाता है वही अपप्रपण तनाव द्रव 2 में स्थानांतरित हो जाता है।
 या यह वास्तव में उलट है, अपप्रपण तनाव, जो द्रव 2 के द्वारा अंतराफलक पर स्थानांतरित किया जाता है वही अपप्रपण तनाव द्रव 1 में स्थानांतरित हो जाता है।
 तो, अपप्रपण तनाव की निरंतरता इस विशेष ट्यूटोरियल समस्या का सबसे महत्वपूर्ण बात है।
 तो, हम ओर को बनाते हैं, तरल पदार्थ 1 के लिए अंतराफलक में कतरनी तनाव है, तरल पदार्थ 2 की तरफ अंतराफलक में उसी बिंदु पर अपप्रपण तनाव है।
 अब अगर आप न्यूटन का श्यानता नियम (Newton’s law of viscosity) का उपयोग करते हैं, आप इसे इस प्रकार लिख सकते हैं : आप इस अभिव्यक्ति से देख सकते हैं कि वेग प्रोफ़ाइल में डिस्कौंतिनिटी (discontinuity), इसका मतलब है कि द्रव 1 में रेखा का ढलान द्रव 2 में रेखा के ढलान से अलग होना चाहिए।
 क्योंकि जिस संबंध से यह अभिव्यक्ति बनाई गई है वह अपप्रपण तनाव की निरंतरता है।
 इसलिए, द्रव 1 में , द्रव 2 के के बराबर नहीं हो सकता जब तक कि और लेखित न हो।
 यह इस समस्या का सबसे महत्वपूर्ण बिंदु है, अपप्रपण तनाव मात्रा, वास्तव में कई अन्य चीजें भी हैं जो आप कह सकते हैं।
 जैसे, एक विस्कोसिटी (viscosity) 0 के बहुत करीब है, तब वेग ढलान बहुत छोटा हो सकता है।
 इसलिए, हम यहां उस समस्या के बारे में बात नहीं करेंगे लेकिन आपको बता दें कि यह एक तनाव निरंतरता की स्थिति है।
 अब, इस शर्त को लागू करके, चूंकि प्रोफाइल को रेखीय दिया गया है, हम पहले मध्यवर्ती वेग का पता लगा सकते हैं।
 तो, इसके लिए : एक रेखीय प्रोफ़ाइल के लिए मूल रूप से है, तो, अब इसके बाद आप शीर्ष प्लेट के वेग और चिपचिपापन अनुपात के संदर्भ में इंटरफ़ेस के वेग का पता लगा सकते हैं।
 यदि आप दी गई स्थिति को लागू करते हैं, तो इंटरफ़ेस वेग 5/6 मीटर प्रति सेकंड के रूप में है।
 प्लेट एक मीटर प्रति सेकंड की गति से आगे बढ़ने के लिए, यह 5/6 मीटर प्रति सेकंड है।
 अब हम आवश्यक बल का पता लगा सकते हैं, यह काफी सरल है क्योंकि बल मूल रूप से क्षेत्र में अपप्रपण तनाव है।
 अपप्रपण तनाव हम पहले से ही प्राप्त कर चुके हैं और किसी भी परत में अपप्रपण तनाव समान है।
 यह अपप्रपण तनाव वास्तव में शीर्ष प्लेट से नीचे की प्लेट तक स्थानांतरित होता है।
 आप इसे इस रूप में लिख सकते हैं : और तब आप इस प्लेट को एक मीटर प्रति सेकंड के वेग से स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक बल का मान ज्ञात कर सकते हैं।
 इस अभिव्यक्ति से, एक और बात जो हम टिप्पणी कर सकते हैं, क्योंकि यहाँ U और मध्यवर्ती U के बीच एक पैरामीट्रिक संबंध है, वह यह है कि हम कहें कि, क्या होता है जब , से कम होता है जो कि दिया गया मामला है।
 द्रव 1 की चिपचिपाहट द्रव 2 की चिपचिपाहट से कम है, द्रव 1 की चिपचिपाहट 0.1 है और द्रव 2 की 0.5 है।
 तो, इसका मतलब है कि द्रव 2 में वेग में बहुत कम परिवर्तन होता है क्योंकि वहां चिपचिपाहट अधिक होती है, आप द्रव 1 की तुलना में द्रव 2 में बहुत छोटा परिवर्तन प्राप्त करते हैं।
 तो, वेग प्रोफ़ाइल इस तरह दिखाई देगी।
 इंटरफ़ेस में प्लेट का वेग बहुत करीब है क्योंकि चिपचिपाहट 2 अधिक है।
 यदि आप को के बराबर देखते हैं समान द्रव अवस्था है, बेशक तब आपके पास एक तरह की रेखीय प्रोफ़ाइल होती है।
 यदि , से अधिक है, इसका मतलब है कि निचले तरल पदार्थ में, शीर्ष तरल पदार्थ की तुलना में अधिक चिपचिपापन होता है।
 इस अवस्था के तहत, आपके पास वेग प्रोफ़ाइल ऐसे होगी जैसा कि यहां दिखाया गया है।
 इसका मतलब है, Uint के दिए गए मान के लिए जिसका अर्थ यह भी है कि अपप्रपण तनाव का दिया मान, यदि चिपचिपाहट, अगर हम को समान रखते हैं और यदि हम एक ही अपप्रपण तनाव के लिए के मान को कम करते हैं।
 इसका क्या मतलब है, आपको एक उच्च वेग से प्लेट को स्थानांतरित करना होगा।
 Uint को प्राप्त करने के लिए उसी अपप्रपण बल को उत्पन्न करने के लिए आप प्लेट को 1 मीटर प्रति सेकंड पर स्थानांतरित नहीं कर सकते हैं।
 आपको इसे स्थानांतरित करने की आवश्यकता है, जो निश्चित रूप से समझने योग्य है क्योंकि उच्च चिपचिपा द्रव अपप्रपण तनाव को अधिक प्रभावी ढंग से स्थानांतरित कर सकता है।
 यदि द्रव 2 की चिपचिपाहट कम है, यह अपप्रपण तनाव को इतने प्रभावी ढंग से स्थानांतरित नहीं कर सकता है।
 तो, यह पहला ट्यूटोरियल है।
 दूसरी समस्या एक सीमा परत में वेग प्रोफ़ाइल के बारे में है, हमने सीमा परत पर विचार किया था जब चिपचिपा/श्यानता (viscous) और इन्विस्किड (inviscid) प्रवाह के बीच अंतर के बारे में बात की थी।
 यह एक ऐसा क्षेत्र है जिसके भीतर चिपचिपा प्रभाव महत्वपूर्ण है।
 अब, हम कहते हैं कि सीमा परत में वेग प्रोफ़ाइल u(y) के रूप में दी गई है।
 U, Y का एक फंकशन (function) है जो इस प्रकार है : डेल्टा () मूल रूप से सीमा परत की मोटाई है।
 इसलिए, यह परिवर्तन जैसा कि हम यहां देख सकते हैं, अगर हम सतह के साथ चलते हैं।
 यह एक घन (cubic) प्रोफ़ाइल है।
 सवाल यह है कि हम a, b और c, इन 3 स्थिरांक का पता लगा सकते हैं।
 कुछ अर्थों में, यह भी 2 अवधारणाओं से संबंधित है, नो-स्लिप सीमा (no-slip boundary) स्थिति का प्रयोग और न्यूटन का श्यानता नियम (Newton’s law of viscosity)।
 तो, नो-स्लिप बाउंड्री कंडीशन बेशक पहली बात है, हम नो-स्लिप के कह सकते हैं कि हम u(0) को प्लेट के वेग के रूप में बनाते हैं, प्लेट यहाँ हिल नहीं रही है, इसलिए यह 0 है।
 u(0) शून्य है और आप तुरंत कह सकते हैं, यदि आप Y के मान में प्लग करते हैं, तो Y यहाँ 0 के बराबर है, आपको तुरंत a मिलता है जो 0 के बराबर है।
 दूसरी स्थिति फ्री स्ट्रीम कंडीशन से है।
 फ्री स्ट्रीम कंडीशन (free stream condition) क्या है? यह मुक्त प्रवाह में वेग से मेल खाता है, मुक्त धारा (free stream) का मतलब वह वेग है जिस पर द्रव प्लेट की ओर आ रहा है।
 तो, सीमा परत के किनारे पर समान वेग होना चाहिए।
 यदि आप इस शर्त को लागू करते हैं, तो आपको जो मिलता है, वह यह है कि u(δ) के बराबर है, इसका मतलब है कि y=δ ओर δ पर u=U।
 पहली स्थिति से a पहले से ही शून्य है, तो b+c=U के बराबर है।
 तीसरी स्थिति अधिक दिलचस्प स्थिति है, आपको सीमा परत के किनारे (boundary layer edge) पर शून्य अपप्रपण लागू करना होगा, सीमा परत के किनारे पर शून्य अपप्रपण तनाव होना चाहिए।
 ऐसा क्यों है, क्योंकि सीमा की परत के बाद यह इन्विस्किड (inviscid) है, सीमा की परत के अंदर से बाहर तक कोई अपप्रपण तनाव स्थानांतरित नहीं होता है।
 इसलिए अपप्रपण तनाव यहां शून्य होना चाहिए।
 यदि कतरनी तनाव शून्य है, तो न्यूटन का श्यानता नियम (Newton’s law of viscosity) को लागू करके हम क्या कह सकते हैं कि वेग का ढलान शून्य है।
 μ()=0, जब y=δ है।
 μ शून्य नहीं हो सकता है इसलिए शून्य के बराबर है।
 यदि हम इस शर्त को लागू करते हैं, तो आपको एक तीसरी शर्त b+3c=0 के बराबर है, अब आप इन 2 समीकरणों के बीच हल कर सकते हैं, और a, b और c के मान प्राप्त कर सकते हैं।
 तो, यह समस्या प्रदर्शित करती है कि सीमा स्थिति को कैसे लागू किया जाए नो स्लिप, फ्री स्ट्रीम कंडीशन और जीरो शीयर कंडिशन को वेलोसिटी प्रोफाइल पर।
 दिए गए शर्तों के लिए वेलोसिटी प्रोफाइल इस तरह दिखाई देगा।
 हम एक तीसरी समस्या प्रदर्शित करेंगे, यह तीसरी समस्या प्रवाह से संबंधित है, प्रवाह दृश्य की अवधारणा, स्ट्रीमलाइन और पथ रेखा।
 आइए हम इस वेग क्षेत्र पर विचार करें, अब हमारे वेग क्षेत्र की व्याख्या से, हम यहाँ बता सकते हैं कि यह एक दो-आयामी (2-D)वेग क्षेत्र है क्योंकि, Z दिशा मे वेग शून्य है और यही नहीं, X और Y दिशा वेग Z से स्वतंत्र हैं।
 तो, यह वेग क्षेत्र एक दो आयामी वेग क्षेत्र है और यह एक अस्थिर क्षेत्र है क्योंकि यह समय के साथ बदलता रहता है, समय के बढ़ने के साथ-साथ दोनों X और Y घटक का वेग कम हो जाता है।
 अब समस्या, अलग-अलग समय में बिंदु 0.1, 0.5 से गुजरने वाली एक स्ट्रीमलाइन के समीकरण को ढूंढने की है और उसी बिंदु से गुजरने वाली पथ रेखा के समीकरण का भी पता लगाएं जब T, 1 सेकंड के बराबर होता है।
 जैसा कि हमने देखा था कि एक स्ट्रीमलाइन वास्तव में एक अस्थिर प्रवाह के लिए बदलती है।
 लेकिन यह एक बहुत ही विशेष स्थिति है, हम देखेंगे कि यहाँ क्या होता है, हमें अलग-अलग समय में इस बिंदु से गुजरने वाली स्ट्रीमलाइन का पता लगाना होगा।
 तो, X घटक जैसे हमने यहां देखा, प्रवाह वेग है ओर Y घटक - है।
 स्ट्रीमलाइन द्वारा हमें वेग सदिश (velocity vector) के लिए स्पर्श रेखा के एक समीकरण को लिखना है।
 इसलिए, यदि हम इन 2 का अनुपात लेते हैं, ( ), यह उस स्थान पर स्ट्रीमलाइन का ढलान (slope) देता है।
 तो, मूल रूप से स्ट्रीमलाइन का ढलान है जिसे आप करके प्राप्त कर सकते हैं और आप कुछ दिलचस्प देखते हैं कि t गायब हो जाता है।
 तो, , t से स्वतंत्र है।
 इसलिए, भले ही वेग, एक अस्थिर क्षेत्र है, स्ट्रीमलाइन बदलती नहीं है क्योंकि यह स्थिति समय के साथ नहीं बदलती है।
 हम आसानी से बिंदु 0.1, 0.5 से गुजरने वाली स्ट्रीमलाइन के समीकरण का पता लगा सकते हैं।
 इसका समाकल (integrated) किया जा सकता है, यह ओर है, यदि आप इसे एक साथ लेते हैं, तो यह =0 के बराबर है, जब आप इसका समकाल करते है तो x, y को स्थिर (constant) के बराबर प्राप्त कर सकते हैं और आप इन मानों का उपयोग करके स्थिरांक के मूल्य का पता लगा सकते हैं जिसके माध्यम से स्ट्रीमलाइन गुजरती है।
 स्ट्रीमलाइन 0.1, 0.5 से होकर गुजरती है, आप इन मूल्यों को यहां रख सकते है, आपको 0.05 मिलता है, तो इसका मतलब है कि xy= 0.05 के बराबर है यह स्ट्रीमलाइन का समीकरण है।
 इस स्थिति में, यहाँ प्रदर्शित बिंदु पर, भले ही प्रवाह अस्थिर हो, समय के साथ स्ट्रीमलाइन नहीं बदलती।
 पथ रेखा के लिए, हम यहाँ से देख सकते हैं कि यूलरियन वेग क्षेत्र से पथ रेखा के समीकरण को कैसे प्राप्त किया जाए जैसे कि हमने युलरियन वेग क्षेत्र का वर्णन किया था।
 इसका अर्थ है किसी विशेष बिंदु पर वेग, एक कण का वेग नहीं।
 पथ रेखा के लिए हम कह सकते हैं कि : इसलिए मूल रूप से उस बिंदु से गुजरने वाले किसी भी कण का उस विशेष बिंदु के समान वेग होगा।
 यदि हम इन 2 समीकरणों को समाकल करते हैं, तो हमें पथ रेखा के समीकरण को प्राप्त कर सकते है।
 इसलिए, यदि आप ऐसा करते हैं, तो ओर एक स्थिर के बराबर है।
 इसलिए, यदि आप पथ रेखा के समीकरण को देखते हैं, तो इन 2 बिन्दु का उपयोग करके, यह समान है, XY= 0.05 के बराबर है।
 बेशक यह समझ में आता है कि समय के साथ स्ट्रीमलाइन नहीं बदल रही हैं, कोई कण जो किसी बिंदु पर पेश किए जाए तो उस कण के पास स्ट्रीमलाइन का अनुसरण करने के अलावा और कोई विकल्प नहीं है क्योंकि स्ट्रीमलाइन के लंबवत कोई प्रवाह नहीं है।
 लिहाजा, इसे केवल स्ट्रीमलाइन का पालन करना होगा।
 तो, इस समस्या में जिन चीजों का प्रदर्शन किया गया है, वह यह है कि भले ही यूलरियन प्रवाह क्षेत्र अस्थिर हो, स्ट्रीमलाइन समय के साथ नहीं बदलती है और स्ट्रीमलाइन और पाथ लाइन एक दूसरे के साथ मेल खा सकते हैं।
 तो, यह वह रेखा-चित्र है जो स्ट्रीमलाइन प्रदर्शित करता है, इस विशेष प्रवाह क्षेत्र के लिए सभी स्ट्रीमलाइन।
 और लाल रंग में चिह्नित लाइन उस विशिष्ट स्ट्रीमलाइन को दिखाती है जो इस समस्या में पूछी जाती है, जो xy= 0.05 के बराबर है।
 इसके साथ हम इस पाठ्यक्रम के पहले मॉड्यूल के भाग ए के अंत में आते हैं।
 अगले भाग में, भाग बी, हम द्रव प्रवाह के समाकल विश्लेषण (integral analysis) के साथ शुरू करेंगे।
 धन्यवाद।