सुप्रभात, यह तीसरे सप्ताह का ट्यूटोरियल सत्र है।
 इस सप्ताह में हमने नवीयर-स्टोक्स समीकरण, नवियर-स्टोक्स की व्युत्पत्ति और तरल पदार्थ के घूमने की परिभाषा, भंवरता, भंवरता वेक्टर, स्ट्रीम फ़ंक्शन, पोटैन्श्यल फ़ंक्शन, यूलर और बर्नौली समीकरण को देखा है।
 इसलिए कुछ अवधारणाओं को हम कुछ ट्यूटोरियल समस्या के लिए प्रदर्शित करेंगे।
 इसलिए सबसे पहले हम संवेग समीकरण के अनुप्रयोग करते हैं।
 मूल रूप से, हमारे यहां एक तरल पदार्थ है और द्रव के ऊपर एक प्लेट है, प्लेट को एक वेग U1 में स्थानांतरित किया गया है।
 समस्या का विवरण वेग प्रोफ़ाइल खोजना है।
 यह देखते हुए कि V वेग हर जगह शून्य है।
 तो यह एक दो आयामी स्थिर प्रवाह है, अंसपीड्य प्रवाह और समय के साथ नहीं बदलता है।
 तो आइए देखें कि क्या हम नवी-स्टोक्स समीकरण के सामान्य रूप से शुरू कर सकते हैं और इसे वेग प्रोफ़ाइल के समाधान के लिए प्राप्त कर सकते हैं।
 तो पहली बात यह है कि द्रव्यमान संरक्षण समीकरण या निरंतरता समीकरण है, इसलिए 2-डी स्थिर अंसपीड्य प्रवाह के लिए यह है।
 इस मामले में भी हम देखेंगे कि यह द्रव्यमान संरक्षण समीकरण का उपयोग बहुत महत्वपूर्ण है।
 जैसे कि समानतापूर्वक V सर्वत्र शून्य है, वैसे ही V वेग हर जगह शून्य है, इसका मतलब है कि भी शून्य है।
 एक बात हमें ध्यान रखनी है कि वेग शून्य का मतलब यह नहीं है कि प्रवणता (gradient) शून्य है लेकिन इस विशेष मामले में क्योंकि वेग हर जगह शून्य है, इसका मतलब कि समानतापूर्वक है, फिर प्रवणता शून्य होती है।
 इसलिए हम छोड़ सकते हैं।
 लेकिन नॉनजेरो है।
 लेकिन क्योंकि शून्य है, इसलिए भी शून्य है।
 तो इसका क्या मतलब है, इसका मतलब यह नहीं है कि U स्थिर है क्योंकि यह एक आंशिक अवकल समीकरण है, U, X और Y दोनों का एक फ़ंक्शन है, इसलिए , यदि आप X के साथ U का अवकल लेते हैं, तो यह U शून्य हो सकता है।
 तो सामान्य तौर पर हम यहां से U को Y के एक फ़ंक्शन के रूप में लिख सकते हैं क्योंकि मान लीजिए कि U=Y2 है, यदि आप X के संबंध में Y2 का आंशिक अवकल (partial derivative) करते हैं, तो यह शून्य हो जाएगा।
 तो सामान्य तौर पर हम U को Y के एक फंक्शन के रूप में लिख सकते हैं।
 तो भौतिक रूप से इसका मतलब क्या है, इसका मतलब है कि U, X दिशा के साथ नहीं बदल रहा है।
 तो अगर आप X को यहां किसी बिंदु पर कहते हैं, तो हमें X1 और X2 कहेंगे, U वेलोसिटी और इसका मतलब है कि वेलोसिटी प्रोफाइल ही है क्योंकि यह पूरे प्रवाह में लागू होता है।
 इसलिए X दिशा के साथ वेग प्रोफाइल नहीं बदलता है।
 इस तरह के प्रवाह का एक अलग नाम भी है।
 इसे पूर्ण विकसित प्रवाह (fully developed flow) कहा जाता है।
 जब किसी विशेष दिशा में प्रवाह उस विशेष दिशा के साथ हर जगह नहीं बदलता है तो वह उस दिशा के साथ नहीं बदलता है, तो इसे पूर्ण विकसित कहा जाता है, यह पूरी तरह से विकसित हो गया है।
 वैसे भी हम पाइप पर चर्चा करते हुए यह फिर से बताएँगे।
 तो इसका मतलब है कि वेग गैर-स्थिर है, लेकिन यह भिन्नता केवल Y के साथ है और Y के साथ नहीं है।
 अब हम X गति को देखते हैं।
 तो इस तरह की समस्या से निपटने के दौरान, हम क्या कर सकते हैं, कम से कम जिस तरह से यहां प्रदर्शन किया गया है, हम X-संवेग समीकरण के पूर्ण रूप से शुरू करते हैं और देखते हैं कि किन पदो की उपेक्षा की जा सकती है।
 इसलिए हम पूर्ण X-संवेग समीकरण के साथ शुरू करते हैं, तो फिर हम देखते हैं कि यहां कौन से पद बहुत छोटे हैं।
 तो सबसे पहले यह एक स्थिर मामला है, इसलिए यह पद बाहर जाता है, तो यह शून्य है।
 फिर देखें कि हम पहले से ही प्राप्त कर चुके हैं, यदि हम उस मानदंड का उपयोग करते हैं, तो यह दूसरा पद भी गायब हो जाता है, यह निकल जाता है।
 फिर देखें V शून्य है, इसलिए यह पद भी निकल जाता है।
 शुरू करने के लिए देखें हम कुछ भी नहीं करते हैं, हम सिर्फ इस तरह की गणितीय समस्या से निपटने के लिए पूर्ण रूप से शुरू करते हैं और देखते हैं कि शर्तें कैसे समाप्त होती हैं।
 तो तीसरा पद भी 0 हो जाता है।
 फिर क्या होता है, तो हमारे पास शून्य के रूप में है क्योंकि अगर हर जगह शून्य है, विशेष बिंदु पर नहीं, हर जगह यह शून्य है।
 तो इसका मतलब है कि यदि आप उस का दूसरा अवकल लेते हैं, तो वह भी शून्य होगा।
 लेकिन फिर से हमें यह याद दिलाने के लिए कि यदि एक विशेष बिंदु पर 0 के बराबर है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि भी शून्य है, लेकिन यह यहां समानतापूर्वक शून्य है, इसलिए यह बाहर निकल जाता है।
 अब यह इस रूप में कम हो जाता है, इसका मतलब है कि अब आप लिख सकते हैं, आपको केवल 2 पद ही मिलते है।
 इस समीकरण के साथ आगे बढ़ने से पहले हम Y-संवेग समीकरण को देखते हैं।
 तो Y-संवेग समीकरण इस तरह दिखता है, जैसा कि यहाँ दिखाया गया है।
 भले ही इस मामले में V वेग शून्य है, इस समीकरण पर विचार करना महत्वपूर्ण है।
 इसलिए क्योंकि V शून्य है, यहाँ वास्तव में सभी पद शून्य हैं।
 अस्थिर प्रवाह के लिए या V=0 के बराबर है, दोनों आपको बताएंगे कि पहला पद शून्य है, दूसरा पद भी शून्य है क्योंकि V हर जगह शून्य है, है, यह तीसरा पद भी शून्य है, क्योंकि V हर जगह शून्य है।
 अतः सभी पद शून्य हैं।
 आपको एक बहुत ही महत्वपूर्ण निष्कर्ष के साथ छोड़ दिया गया है कि है।
 इसका मतलब है कि P=P(X) का एक फ़ंक्शन है, इसलिए जैसा कि आप इस विशेष समस्या में यहां देखते हैं, U=U(Y) का एक फ़ंक्शन है।
 मतलब वेग Y दिशा में परिवर्तन और दबाव केवल X दिशा में बदल रहा है।
 U वेग पूरी तरह से विकसित है, यह X दिशा के साथ नहीं बदलता है, दबाव वास्तव में केवल X दिशा में बदल रहा है।
 इसलिए यह जानकारी अब इस समीकरण को कम करने के लिए महत्वपूर्ण है।
 क्योंकि यदि P पूरी तरह से X का एक फ़ंक्शन है और U विशुद्ध रूप से Y का एक फ़ंक्शन है, तो इसे अब आंशिक डेरिवेटिव नहीं बल्कि कुल डेरिवेटिव के रूप में लिखा जा सकता है।
 तो हम इसे के रूप में लिख सकते हैं।
 अब देखते हैं कि क्या हम इस समीकरण को हल कर सकते हैं।
 इस समीकरण का अनिवार्य रूप से मतलब है कि ।
 हम विश्वास के साथ कैसे कह सकते हैं कि यह एक स्थिरांक होगा? क्योंकि बाईं ओर देखें कि हमारे पास विशुद्ध रूप से Y या इसके अवकल या दूसरा अवकल जो विशुद्ध रूप से Y का फ़ंक्शन है।
 दायीं ओर का हमारा P है जो विशुद्ध रूप से X का एक फ़ंक्शन है।
 वे केवल तभी समान हो सकते हैं यदि दोनों वास्तव में स्थिर हैं।
 तो हम इसे आसानी से स्थिरांक के रूप में लिख सकते हैं।
 अब ऐसा करने के बाद, यह करना आसान है क्योंकि यह एक स्थिर है, हम इस समीकरण को आसानी से समाकल कर सकते हैं।
 तो निश्चित रूप से यह इस तथ्य से आता है कि U केवल Y का एक फ़ंक्शन है और P, X का एक फ़ंक्शन है, हमने पहले ही कहा था कि हम इन 2 कारकों के कारण इसे स्थिर लिख सकते हैं।
 अब हम सीमा शर्तें लागू करते हैं।
 सीमा की स्थिति यह है कि Y=0, नो-स्लिप की स्थिति वैध है, U शून्य है और Y के बराबर Y है, फिर से नो-स्लिप की स्थिति मान्य है।
 इसका मतलब है कि यह U1 के बराबर है।
 इसका मतलब है कि प्लेट की निचली सतह को छूने वाले तरल पदार्थ का वेग प्लेट के समान वेग होता है।
 तो वह भी नो-स्लिप कंडीशन है।
 तो दोनों छोरों में हम नो-स्लिप कंडीशन को लागू करते हैं, इसका मतलब है कि तरल पदार्थ और प्लेट के बीच कोई स्लिप नहीं है।
 तो उस स्थिति को लागू करके और हम आसानी से इस समीकरण को समाकल कर सकते हैं, यह इस रूप में आ जाएगा।
 यदि आप इस समाकल को करते हैं, तो यह मूल रूप से एक फ़ंक्शन का दोहरा समाकल है।
 इस विशेष मामले में यह स्थिर के रूप में दिया जाता है।
 इसलिए यदि हम उस विशेष समाकल को करते हैं, तो हम इस सीमा की स्थिति के साथ इस समस्या के विश्लेषणात्मक समाधान के रूप में प्राप्त करते हैं।
 तो विश्लेषणात्मक समाधान का मतलब है कि U को सीधे Y के एक फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है।
 अब आप सीमा स्थिति लागू कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह स्वचालित रूप से संतुष्ट है।
 उदाहरण के लिए यदि आप Y को Y1 के बराबर रखते हैं, तो यह पद शून्य हो जाता है और Y, Y1 के बराबर हो जाता है।
 तो U, U1 हो जाता है और यदि आप Y को 0 के बराबर रखते हैं, तो क्या होता है, तो इस Y के कारण यह पद शून्य हो जाता है और यह दाएँ हाथ का पद भी शून्य हो जाता है।
 तो यह भी इस सीमा की स्थिति को संतुष्ट करता है।
 तो यह किसी भी चीज के लिए एक त्वरित जांच है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि हमने सीमा की स्थिति को उचित रूप से लागू किया है।
 इसलिए अब अगर हम इस समाधान के साथ आगे बढ़ते हैं और वास्तव में यह देखने की कोशिश करते हैं कि वेग की रूपरेखा कैसी है, तो इससे हमें समस्या में कुछ दिलचस्प जानकारी मिलती है।
 इसलिए उदाहरण के लिए हम पहले मामले से शुरू करते हैं जहां शून्य है।
 इसका मतलब है कि कोई दबाव प्रवणता (gradient) नहीं है, केवल प्लेट तरल पदार्थ को खींच रहा है।
 अपप्रपण की मदद से यह वास्तव में द्रव प्रवाह बना रहा है, कोई दबाव प्रवणता नहीं है।
 तो फिर आपके पास इस तरह का एक रैखिक प्रोफ़ाइल है, इसलिए यह मूल रूप से समाधान है।
 दूसरी ओर यदि आपके पास शून्य से अधिक है, इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि यदि आप X दिशा में जाते हैं, तो दबाव बढ़ रहा है।
 तो , शून्य से अधिक है क्योंकि X बढ़ता है, दबाव भी बढ़ रहा है।
 इसलिए यदि दबाव प्रवाह की दिशा में बढ़ रहा है, तो यह वास्तव में प्रवाह का विरोध करने की कोशिश करेगा।
 तो उस प्रकार के एक दबाव प्रवणता को प्रतिकूल दबाव प्रवणता (adverse pressure gradient) कहा जाता है।
 तो शून्य से अधिक है तो यह एक प्रतिकूल दबाव प्रवणता है और हमें एक वेलोसिटी प्रोफाइल मिलता है।
 तो इस वेग प्रोफ़ाइल का वास्तव में मतलब है कि यहां X अक्ष पर हमने U/U1 प्लॉट किया है और Y अक्ष पर, ऊर्ध्वाधर अक्ष पर, हमने UY/Y1 को प्लॉट किया है।
 तो जैसा कि आप यहाँ देख सकते हैं इसका मतलब है कि सीमा की स्थिति Y/Y1 =0 के बराबर है, U शून्य है, U/U1 शून्य है और Y/Y1 , 1 के बराबर है, U/U1 1 के बराबर है, के सभी 3 मामलों में प्रवाहित होता है।
 तो हम प्रतिकूल दबाव प्रवणता के बारे में बात कर रहे थे, इसलिए यह क्या करता है मूल रूप से यह प्रवाह का विरोध करने की कोशिश करता है और आपको इसके लिए एक वेग प्रोफ़ाइल मिलती है।
 हम अगले अध्याय में देखेंगे कि मूल रूप से यह प्रतिकूल दबाव प्रवणता कुछ है जो प्रवाह पृथक्करण (flow separation) के लिए जिम्मेदार है।
 इसलिए इसे हम बाद में देखेंगे।
 और एक तीसरी स्थिति है जिसे अनुकूल दबाव प्रवणता (favorable pressure gradient) कहा जाता है, जब शून्य से कम है।
 तो यह शून्य से कम है, इसका मतलब है कि यह नकारात्मक है, इसका मतलब है कि यदि आप इस दिशा में जाते हैं, तो दबाव कम हो रहा है।
 तरल पदार्थ की उस दिशा मे प्रवाह की स्वाभाविक प्रवृत्ति होगी, जिस दिशा में स्थिर दबाव कम होता है।
 तो यह प्रवाह में मदद करता है, इसीलिए इसे अनुकूल दबाव प्रवणता कहा जाता है।
 हम देखेंगे कि यह अनुकूल दबाव प्रवणता कभी भी प्रवाह को अलग नहीं करेगा, इसका मतलब है कि सतह से अलग नहीं करेगा।
 इसलिए हम इस पर चर्चा करेंगे कि, यह तब उपयोगी होगा जब हम अगले अध्याय में सीमा परत के प्रवाह से निपटेंगे।
 लेकिन कुल मिलाकर यह प्रवाह इस समस्या को दर्शाता है कि कैसे हम एक विशेष प्रवाह स्थिति को निरंतरता और संवेग समीकरण के सामान्य रूप में लागू कर सकते हैं।
 ट्यूटोरियल में दूसरा मामला यह विशेष समस्या है।
 यह बर्नौली के समीकरण के अनुप्रयोग को प्रदर्शित करता है।
 तो आइए देखते हैं कि समस्या का कथन क्या है? पारा मैनोमीटर रीडिंग से जांच करके प्रोब (पिटोट ट्यूब) स्थान पर वेग ज्ञात करें।
 तो चलिए हम आपको यहाँ समस्या बताते हैं।
 तो हम कहते हैं कि यह 2 समानांतर प्लेटों के बीच या फिर एक चैनल के माध्यम से एक प्रवाह है, हम वेग का पता लगाना चाहते हैं।
 तो यह वास्तव में वेग को मापने के लिए एक जांच है।
 यह कैसे वेग को मापता है? हम क्या कर सकते हैं यदि हम यहां एक विशेष ट्यूब डालते हैं, जिसे पिटोट ट्यूब कहा जाता है।
 यदि हम इस ट्यूब को यहां डालते हैं, तो प्रवाह इसके सामने स्थिर हो जाएगा।
 फिर यदि आपके पास मैनोमीटर है, इस विशेष मामले में एक पारा मैनोमीटर (mercury manometer) है, तो यह गतिरोध दबाव वास्तव में पारा हैड को नीचे धकेल देगा और फिर दूसरी तरफ यदि यह प्रवाह से जुड़ा हुआ है, तो यह ऊपर जाएगा और इसकी रीडिंग, यह एड्ज रीडिंग से हम इस स्थान पर वेग के परिमाण का पता लगा सकते हैं।
 यह वेग इस किनारे से कैसे संबंधित है।
 तो आइए देखें कि क्या हम बर्नौली समीकरण का उपयोग कर इसे प्राप्त कर सकते हैं।
 तो इसके लिए हम जानते हैं कि बर्नौली समीकरण स्ट्रीमलाइन के साथ लागू है।
 हम ठहराव स्ट्रीमलाइन (stagnation streamline) को मानते हैं।
 ठहराव स्ट्रीमलाइन क्या है? तो आइए हम प्रवाह के इस हिस्से को ध्यान से देखें।
 तो यह आपकी ट्यूब है, पिटोट ट्यूब, यह पिटोट ट्यूब की नोक है, प्रवाह यहाँ स्ट्रीमलाइन मे आ रहा है और यहाँ ठहराव हो रहा है, इसलिए यह डॉट ट्यूब के सिरे पर ठहराव के स्थान पर दिखाया गया है।
 यदि आपको बर्नौली समीकरण की व्युत्पत्ति याद है, तो यह क्या कहती है? गतिशील दबाव हैड (dynamic pressure head) और स्थैतिक दबाव हैड (static pressure head) का योग स्थिर है।
 अब क्या होता है पिटोट ट्यूब के थोड़ा सामने वेग U है लेकिन जैसे ही यह इस बिन्दु पर आता है, मतलब ट्यूब के सिरे पर जाता है तो वेग शून्य है।
 यह शून्य होना चाहिए क्योंकि प्रवाह पिटोट ट्यूब में प्रवेश नहीं कर सकता है।
 यदि यह पिटोट ट्यूब में प्रवेश करता है तो यह पारा यहां से बाहर आ जाएगा।
 तो यह वास्तव में पिटोट ट्यूब में प्रवेश करने के लिए पर्याप्त दबाव नहीं है, यह सिर्फ पूरे ट्यूब के अंदर एक ठहराव परत या ठहराव माध्यम को कम करता है।
 क्योंकि टिप पर ठहराव होता है, इसलिए यह इस परत के भीतर, ट्यूब के अंदर इस तरल पदार्थ के भीतर दबाव बढ़ाता है।
 इसके परिणामस्वरूप उच्च दबाव पारा स्तर को नीचे धकेल देगा।
 तो यह ठहराव की दबाव स्ट्रीमलाइन है।
 हम सीधे बर्नौली समीकरण को यहां लागू कर सकते हैं।
 अतः जैसा कि हम a पर स्थैतिक दबाव देख सकते हैं, इसलिए यदि इस बिंदु a पर, के रूप में लेते हैं, तो यह () ठहराव दबाव के बराबर है क्योंकि इन 2 के योग के परिणामस्वरूप ठहराव की स्थिति है।
 इसलिए अगर हम अभी आगे बढ़ते हैं, अगर आप इस गतिरोध को देखते हैं तो यह लगभग PC के बराबर है।
 हमने कहा कि PC के लगभग बराबर है क्योंकि c और ऊंचाई a के बीच एक स्तर का अंतर है।
 हमने इस विशेष ट्यूब में तरल पदार्थ के वजन की उपेक्षा की है, क्योंकि यह ऊंचाई आम तौर पर बहुत कम है या यह घनत्व भी कम है अगर यह सिर्फ एक एयरफ्लो है।
 अब PC को Pb + यह ऊंचाई, के रूप में भी लिखा जा सकता है।
 इसलिए यदि आप यहाँ दबाव को देखते हैं, तो यह क्या समर्थन कर रहा है? यह इसका समर्थन कर रहा है, यदि आप इसके साथ एक सीधी रेखा खींचते हैं, तो यह Pb पर दबाव + तरल ऊंचाई का समर्थन कर रहा है जो कि बहुत छोटा है और घनत्व भी कम है।
 इसलिए यह दबाव Pb और अनिवार्य रूप से यह PB और पारा हैड, मैनोमीटर के 2 शाखा के बीच पारा हैड में अंतर है, जो कि पारा का घनत्व है और मूल रूप से है।
 तो अब इसका मतलब है कि मूल रूप से है।
 तो हम पहले समीकरण में मान को प्लग-इन कर सकते हैं, यदि हम ऐसा करते हैं, तो हमें जो मिलता है वह मूल रूप से वेग के लिए एक अभिव्यक्ति है।
 तो जिस वेग को हम इस पिटोट ट्यूब के उपयोग से मापने की कोशिश कर रहे हैं, वह अब क्या है? हमने यहां देखा कि यह है, इसलिए यदि हम के मान को रखते हैं तो इस समीकरण से हमें क्या मिलता है, हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है।
 अब हम आगे नहीं बढ़ सकते क्योंकि यह यहाँ अज्ञात है।
 क्या है? आइए समझते हैं कि क्या है।
 तो मूल रूप से यह दीवार स्टैटिक प्रेशर है।
 दीवार पर स्थिर दबाव जिसे मैनोमीटर के इस भाग द्वारा महसूस किया जाता है।
 मैनोमीटर का यह लेफ्ट-हैंड साइड लिंब, मूल रूप से वॉल स्टैटिक प्रेशर (wall static pressure) है।
 हमारे यहाँ पर है और जो यहाँ पर है, तो यह और एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं? इसलिए यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात है।
 जब तक हम इसका समाधान नहीं करते, हमें वेग नहीं मिल सकता है।
 हमें देखते हैं कि हम कैसे प्राप्त कर सकते हैं।
 तो यह पाने के लिए कि हम अंतिम ट्यूटोरियल की मदद ले सकते हैं जिसने नवीयर-स्टोक्स समीकरणों के अनुप्रयोग का प्रदर्शन किया था।
 अगर हमें याद है कि Y-संवेग समीकरण यही था और इसके लिए हमने जेबी किया था तो सभी पद वास्तव में लुप्त हो गये थे।
 हमरे पास क्या बचा था? हमारे पास सिर्फ बचता है।
 तो यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात है।
 तो आप देखते हैं कि Y दिशा के साथ दबाव भिन्नता नहीं है।
 इसलिए यदि Y दिशा में दबाव भिन्नता नहीं है, तो इसका मतलब है कि दीवार स्थिर दबाव और इस चैनल के केंद्र में स्थिर दबाव, जो कि है, दोनों समान हैं।
 तो , के बराबर है।
 एक बार जब आप ऐसा करते हैं, इस जानकारी का उपयोग करते हैं तो आपको वेग के लिए एक अभिव्यक्ति मिलती है।
 तो वेग मूल रूप से है।
 इस स्थिति में आप जो मापते हैं वह मूल रूप से मैनोमीटर में पारा की ऊंचाई है, पारा का घनत्व जानते हैं, g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण और ρ इस तरल पदार्थ का घनत्व है जो इस चैनल से बह रहा है।
 ये सभी आपको ज्ञात हैं, आप इसका वेग प्राप्त कर सकते हैं।
 यदि यह 2 चीजों को प्रदर्शित करता है, एक है बर्नौली समीकरण का अनुप्रयोग और दूसरा एक जांच उपकरण जिसे प्रवाह में वेग को मापने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, जिसे पिटोट ट्यूब कहा जाता है।
 फिर हम तीसरी समस्या पर जाते हैं, तीसरी समस्या स्ट्रीमलाइन से संबंधित है, स्ट्रीम फ़ंक्शन की अवधारणाओं के अनुप्रयोग।
 तो यहां जो सवाल पूछा गया है, वह परिस्थिति क्या है जिसके लिए एक शंकु अनुभाग (conic section), एक ई-रोटेशनल प्रवाह के लिए एक स्ट्रीमलाइन पेश करेगा।
 मुझे लगता है कि आप इस शब्द शंकु अनुभाग से परिचित हैं।
 यदि आप नहीं हैं, तो बस कुछ संकेत देने के लिए, शंकु अनुभाग वास्तव में इस समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है।
 तो यह मूल रूप से एक सामान्य समीकरण है, यदि आप इसे देखते हैं, तो यह वास्तव में एक वक्र (curve) का समीकरण है।
 आप उस वक्र को कैसे प्राप्त करते हैं, आप एक शंकु लेते हैं और आप शंकु का खंड लेते हैं।
 यदि यह शंकु के आधार के समांतर समतल है, तो यह एक वृत्त (circle) बना देगा।
 यदि आप शंकु के आधार के साथ एक कोण पर एक समतल लेते हैं, तो शंकु और समतल के प्रतिच्छेदन एक वृत्त नहीं बनाएंगे, यह दीर्घवृत्त (ellipse) बनेगा या यह पेराबोला या हाइपरबोला बनाएगा।
 इसलिए जब यह एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त या पेराबोला या हाइपरबोला बनाता है, तो यह निर्भर करता है कि यह विशेष गुणक (coefficient) एक-दूसरे से कैसे संबंधित है।
 इसे विभेदक (discriminant) कहा जाता है।
 इस विभेदक को के रूप में परिभाषित किया गया है, यह इस विशेष गुणांक पर निर्भर करता है।
 यदि यह विभेदक 0 के बराबर है, तो यह एक पेराबोला है, यदि यह शून्य से अधिक है, तो यह एक हाइपरबोला है, यह शून्य से कम है तो यह एक दीर्घवृत्त होगा।
 तो हम देखेंगे, यह सिर्फ हमारा हाई स्कूल गणित है।
 तो अगर हम मान लें कि हमारे पास एक ऐसी स्ट्रीमलाइन है जिसका समीकरण यहां दिया गया है और हम यह भी कह रहे हैं कि यह प्रवाह ई-रोटेशनल है।
 तो ऐसी स्थिति क्या है कि यह समीकरण अक्सर एक रोटेशनल स्ट्रीमलाइन प्रवाह का प्रतिनिधित्व कर सकता है।
 तो यह मूल रूप से सवाल है।
 मान लीजिए कि यह सिर्फ शंकुधारी खंड था, एक शंकुधारी खंड का समीकरण, इस वक्र द्वारा दर्शाई जाने वाली स्ट्रीमलाइन इस तरह दी जाएगी।
 क्योंकि ψ(X,Y) वास्तव में एक स्थिरांक है।
 एक विशेष स्ट्रीमलाइन के लिए ψ(X,Y) स्थिर है और फ़ंक्शन इस समीकरण द्वारा दिया गया है।
 तो इस F को दूसरे तरफ लिया जा सकता है और हम स्ट्रीमलाइन के इस विशेष समीकरण को प्राप्त कर सकते हैं।
 दूसरी बात यह है कि हमें इसके लिए ई-रोटेशनल की स्थिति को लागू करना होगा।
 ई-रोटेशनल स्थिति क्या है? यह द्वि-आयामी प्रवाह है, ई-रोटेशनल स्थिति केवल यह कहती है कि 0 के बराबर है, इसका मतलब है कि , अगर हम इस स्थिति को अभी लागू करें, इसका मतलब है कि ।
 तो इसका मतलब है कि ψ फ़ंक्शन या स्ट्रीम फ़ंक्शन लैप्लस समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
 हमने स्ट्रीम फंक्शन की शुरुआत करते हुए यह भी चर्चा की कि यदि कोई फ्लो इ-रिटेशनल है, तो स्ट्रीम फंक्शन, निश्चित रूप से यह 2-D है क्योंकि स्ट्रीम फंक्शन हम केवल 2-D के लिए डिफाइन कर रहे हैं, इसलिए स्ट्रीम फंक्शन अगर यह इ-रोस्ट्रेशनल फ्लो है तो स्ट्रीम फ़ंक्शन स्वचालित रूप से लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करेगा।
 इसलिए यदि हम इस फ़ंक्शन के लिए उस विशेष मानदंड को लागू करते हैं, तो हमें क्या मिलता है? हमें कुछ बहुत दिलचस्प मिलता है, हम इस फ़ंक्शन को इस समीकरण में पेश करते हैं, जो हमें मिलता है वह निश्चित रूप से यह लाप्लास समीकरण है।
 तो हमें जो कुछ मिलता है वह इस प्रकार है, इसका मतलब यह है कि ψ का पहला पद है और दूसरा पद है।
 अब हम एक-एक पार्ट का अवकल लेते है तो सबसे पहले X के लिए लेंगे ओर बाद मे Y के लिए लेंगे।
 ओर यह समीकरण 0 के बराबर होगी।
 यदि आप ऐसा करते हैं, हालाँकि यह एक बड़े समीकरण जैसा दिखता है, लेकिन वास्तव में हमने जो किया है, वह इस मान में है।
 एक बार जब हम ऐसा कर लेते हैं, तो हमें जो मिलता है, उसमे से दूसरा पद , जब हम इसका अवकल लेते है तो यह 0 हो जाता है क्योंकि हुमे 2 बार अवकल लेना है X के लिए, पहले अवकल मे तो यह BY बन जाएगा ओर दूसरे अवकल मे 0 क्योंकि BY, X के रेस्पेक्ट मे स्थिर है।
 इसी तरह बाकी के पद भी 0 हो जाएंगे।
 अब हम Y के लिए अवकल लेते है इसमे भी पहला पद 0 हो जाएगा क्योंकि AX2 का अवकल Y के संबंध मे 0 होगा।
 एसे ही दूसरा पद भी गायब हो जाएगा, क्योंकि यह Y की शक्ति 1 है और हम एक डबल अवकल ले रहे हैं और यह पद फिर से X का एक फ़ंक्शन है और हम Y के संबंध में डबल अवकल ले रहे हैं।
 इस तरह ओर पद भी गायब हो जाएगे।
 तो अंत में हमें इन 2 पदो के साथ छोड़ दिया जाता है, जो हमें देता है 2A+2C=0 ।
 अब देखते हैं कि यह स्थिति कब संतुष्ट होगी।
 तो इसका मतलब है कि A, -C के बराबर है, और फिर अगर हम इस शंकुधारी खंड के विभेदक पाते हैं, तो यह है, ठीक है, यदि आप इस अभिव्यक्ति को प्लग-इन करते हैं जो हमेशा सच होता है, यदि प्रवाह एक इ-रोस्ट्रेशनल प्रवाह है।
 तो अगर आप यहाँ उस मानदंड को प्लग-इन करते हैं, तो हमें क्या मिलेगा? हम इसे के रूप में प्राप्त करते हैं जो है और यह हमेशा सकारात्मक है क्योंकि हमेशा सकारात्मक है।
 निश्चित रूप से ये काल्पनिक मात्रा नहीं हैं, विभेदक हमेशा सकारात्मक होता है ।
 तो यह हमेशा एक हाइपरबोला का प्रतिनिधित्व करेगा।
 तो एक शंकुधारी खंड हमेशा एक हाइपरबोला होगा जो एक इ-रोस्ट्रेशनल प्रवाह के लिए एक स्ट्रीमलाइन का प्रतिनिधित्व करता है।
 तो यह इस ट्यूटोरियल खंड में तीसरी समस्या है और अंतिम समस्या है, यह हमें द्रव गतिकी और टर्बो मशीनों पर इस पाठ्यक्रम के पहले मॉड्यूल के भाग C या 3rd अध्याय या तीसरे सप्ताह के अंत में लाता है।
 इस अध्याय में हमने द्रव प्रवाह के अवकल विश्लेषण को देखा है, हमने नवियर-स्टोक्स समीकरण के सामान्य रूप की व्युत्पत्ति के साथ शुरुआत की है।
 बेशक हमने एक दो-आयामी लिया है, हम धीरे-धीरे दो-आयामी और अंसपीड्य प्रवाह में चले गए हैं।
 फिर हमने विभिन्न महत्वपूर्ण अवधारणाओं पर ध्यान दिया, जैसे कि द्रव का घूमना, वर्टिसिटी (vorticity), स्ट्रीम फ़ंक्शन, पोटैन्श्यल फ़ंक्शन, यूलर समीकरण, बर्नौली समीकरण, और इस समीकरण के अनुप्रयोग कुछ विशिष्ट स्थिति जैसे माप, द्रव वेग का मापन, किसी विशेष स्थिति के लिए द्रव प्रवाह और पोटैन्श्यल फ़ंक्शन मे स्ट्रीम पर कुछ समस्याएं।
 तो यह हमें इस पाठ्यक्रम के तीसरे सप्ताह के अंत में लाता है, अगले सप्ताह हम प्रवाह, 3 विभिन्न प्रकार के प्रवाह, एक फ्लैट प्लेट पर प्रवाह, एक सिलेंडर की तरह वस्तु पर प्रवाह और पाइप प्रवाह।
 तो इन 3 प्रकार के प्रवाह से हम निपटेंगे और जहां हम फिर से देखेंगे, वे व्यावहारिक मामले जहां इस समाकल और अवकल विश्लेषण में बहुत अच्छे फिर से मिलेंगे।
 ये पिछले 2 अध्याय, 2 और 3 अध्याय तरल प्रवाह के विश्लेषण के लिए गणितीय प्रक्रियाओं का विश्लेषण करने के बारे में थे।
 अगले अध्याय में फिर से हम कुछ व्यावहारिक स्थितियों को देखेंगे जहाँ इन विश्लेषण का फिर से मिलेगा।
 धन्यवाद।