सुप्रभात और इस पाठ्यक्रम के 4 वें सप्ताह में 4 वें व्याख्यान में आपका स्वागत है।
 पिछले 3 व्याख्यानों में हमने पहले ही श्यान प्रवाह पर कुछ विषय पेश किये थे।
 पिछले 3 व्याख्यान एक सपाट सतह के शीर्ष पर श्यान प्रवाह के बारे में थे।
 तब हम श्यान प्रवाह के विभिन्न पहलुओं से निपटते हैं और फिर हम घुमावदार सतहों पर, बेलनाकार सतहों पर श्यान प्रवाह की ओर बढ़ते हैं।
 हमने यह भी देखा कि एक दबाव प्रवणता के साथ कैसे सीमा परत विकास और सीमा परत विशेषता परिवर्तन होता है।
 इसलिए हमने सीमा परत पर दबाव प्रवणता का प्रभाव देखा, यह श्यान क्षेत्र है जहां सतह पर प्रवाह में श्यान क्षेत्र बल महत्वपूर्ण हैं।
 हमने लैमिनर और अशांत प्रवाह दोनों के संबंध में ड्रैग गुणांक देखा और रेनॉल्ड्स संख्या के साथ ड्रैग गुणांक कैसे सहसंबंधित है इसके बारे में भी देखा।
 4 वें व्याख्यान में श्यान प्रवाह का एक बहुत महत्वपूर्ण पहलू है जो पाइप प्रवाह है।
 इसके लिए बहुत सारे इंजीनियरिंग अनुप्रयोग हैं।
 अंतिम विषय वायुगतिकी से अधिक संबंधित है, इसलिए हमारा 4 वां व्याख्यान, विषय पाइप प्रवाह है।
 इसलिए हम यह देखते हैं कि बाहरी प्रवाह की तुलना में आंतरिक प्रवाह में श्यान प्रवाह या सीमा परत की विशेषताएं कैसे बदलती हैं, जिसे हमने पिछले 3 व्याख्यानों में निपटाया है।
 इसमें वास्तव में बहुत सारे इंजीनियरिंग अनुप्रयोग हैं क्योंकि हमें विभिन्न लंबाई के माध्यम से प्रवाह दरों के परिवहन के लिए पाइप का उपयोग करने की आवश्यकता है।
 यह घरेलू और साथ ही बहुत महत्वपूर्ण इंजीनियरिंग अनुप्रयोग है।
 तो हम यहां मुख्य रूप से नुकसान का पता लगाने से संबंधित हैं, प्रवाह नुकसान जैसे कि एक तरल पदार्थ को एक स्थान से दूसरे स्थान पर पंप करने के लिए कितनी शक्ति की आवश्यकता होती है।
 तो स्वाभाविक रूप से इसमें बहुत सारे इंजीनियरिंग अनुप्रयोग होते हैं जैसे कि पाइपों और नलिकाओं के माध्यम से एक स्थान से दूसरे स्थान पर तरल का परिवहन, निश्चित रूप से जल आपूर्ति प्रणाली की घरेलू आपूर्ति में पानी का पम्पिंग।
 तो बहुत सारे अनुप्रयोग हैं, अनुप्रयोगों का कोई अंत नहीं है और द्रव प्रवाह के क्षेत्र में पाइप प्रवाह की समझ भी काफी विकसित है।
 हम उस पर और बहुत सारे सिद्धांतों और प्रायोगिक डेटा की बड़ी मात्रा का गठन करेंगे क्योंकि पाइप प्रवाह की गणना, एक पाइप के डिजाइन के लिए जो एक निश्चित मात्रा में प्रवाह या पंप के डिजाइन को ले सकता है, और अधिक महत्वपूर्ण रूप से एक पंप की शक्ति, एक पंप की शक्ति तय करना जो किसी दिए गए प्रवाह दर पर द्रव को एक स्थान से दूसरे स्थान पर स्थानांतरित कर सकता है।
 तो बहुत सारे सहसंबंध भी उपलब्ध हैं।
 तो हम इसके इंजीनियरिंग महत्व के कारण इस विषय का परिचय देंगे।
 अब स्लाइड को देखते हैं।
 आइए एक पाइप के माध्यम से प्रवाह पर विचार करें, यह पाइप निश्चित रूप से जारी है और एक वेग U है जिसके साथ यह आगे बड़ता है और D पाइप का व्यास है।
 और R, यह यहां नहीं दिखाया गया है लेकिन आर वास्तव में पाइप की त्रिज्या है।
 तो यह एक विशेष प्रतीक है, ये प्रतीक हम इस विशेष व्याख्यान में उपयोग करेंगे।
 अब हम पाइप के भीतर प्रारंभिक क्षेत्र को देखते हैं।
 आइए हम पाइप के केंद्रीय समतल के माध्यम से एक अनुभाग लेते हैं, यह कैसा दिखता है, इसलिए हमें इसे थोड़ा और विवरण में देखें।
 इसलिए हमने इसे निकाल लिया है और हम द्रव में एक अनुभागीय दृश्य देख रहे हैं।
 घटना (ईंसीडेंट incident) पाइप में बहती है, फिर से बाहरी प्रवाह के पिछले उदाहरण में भी, घटना प्रवाह समरूप है।
 इसका मतलब है कि प्रवाह वेग, प्रवाह की लम्बवत दिशा में नहीं बदलता है।
 तो यह एक समान है और जैसा कि यह पाइप में प्रवेश करता है, निश्चित रूप से श्यान बल महत्वपूर्ण हो जाता है क्योंकि पाइप की सतह को नो-स्लिप स्थिति को संतुष्ट करना पड़ता है।
 तो आपके पास पाइप पर सीमा परत बढ़ रही है और सीमा परत न केवल सतह पर बल्कि तरल पदार्थ के आसपास की सभी सतह पर बढ़ती है।
 इसलिए हमारे पास आसपास की सभी सतहों से पाइप में बढ़ने वाली एक श्यान सीमा परत है।
 इसका मतलब है कि जेसे ही प्रवाह आता है, सीमा परत के विकास के कारण आपके पास कुछ क्षेत्र होता है जो श्यान होता है जो सीमा परत के अंदर होता है और पाइप के मध्य भाग में एक इनवेसिड कोर या इनवेसिड क्षेत्र होता है।
 बेशक प्रवाह, प्रवाह की दिशा में पाइप में जारी रहता है, हम देखते हैं कि सीमा परत वास्तव में विलीन हो जाती है और जैसे-जैसे यह विलीन होती है प्रोफाइल भी बदलती है।
 इसलिए इस दृष्टिकोण से हम वेग प्रोफ़ाइल को देखते हैं, प्रवाह प्रोफ़ाइल का विकास पाइप के माध्यम से चलता है।
 वेग प्रोफ़ाइल में जाने से पहले निरंतरता समीकरण को देखना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह वह चीज है जो पाइप के अंदर वेग प्रोफ़ाइल का फैसला करती है।
 तो यह केवल यह कहता है कि क्योंकि हमने इसे एक अंसपीड्य (incompressible) प्रवाह माना है।
 तो वेग को क्षेत्र से गुणा किया जाता है, उसका समाकल, स्थिर (constant) होना चाहिए।
 इसलिए जहां भी आप एक सेक्शन लेते हैं, वहां यह मात्रा स्थिर होती है।
 यह मूल रूप से प्रवाह दर है।
 इसलिए उदाहरण के लिए यदि प्रविष्टि 2 लीटर प्रति मिनट या कुछ भी है, तो उसे किसी भी खंड पर 2 लीटर प्रति मिनट रहना होगा क्योंकि प्रवाह अंसपीड्य है और स्थिर भी है।
 तो हर जगह आपके पास उसी तरह की प्रवाह दर है।
 अब हम प्रवाह दर के संदर्भ में बात कर सकते हैं, न कि द्रव्यमान प्रवाह दर बल्कि वॉल्यूम प्रवाह दर।
 हम वॉल्यूम प्रवाह दर के संदर्भ में बात कर रहे हैं।
 एक संपीड़ित (compressible) प्रवाह के मामले में आपको द्रव्यमान प्रवाह दर के संदर्भ में बात करनी होगी।
 वैसे भी हम केवल अंसपीड्य प्रवाह के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए वॉल्यूम प्रवाह दर स्थिर है और इनलेट पर यदि आप देखते हैं, तो आपके पास प्रवाह दर है जो कि है, जो स्थिर है।
 तो अंदर आने के बाद वेग का प्रोफ़ाइल क्या होना चाहिए? तो यह वेग प्रोफाइल होगा क्योंकि यह प्रवाह के अंदर आता है।
 तो यहां क्या होता है, हम देखते हैं कि श्यान क्षेत्र में, निश्चित रूप से वेग प्रोफ़ाइल की एक सीमा परत की तरह संरचना है।
 मध्य क्षेत्र में यह एक समरूप प्रवाह बना रहा है और फिर से इस श्यान क्षेत्र में इसकी एक परतदार संरचना है।
 तो मूल रूप से प्रवाह में मंदी आती है, ठोस सतह के पास प्रवाह मंद है, ठोस सतह के पास वेग शून्य है, स्वाभाविक रूप से दीवार की उपस्थिति प्रवाह को रोकती है।
 लेकिन अधिक दिलचस्प बात यह है कि प्रवाह के मध्य भाग को अब दीवार के पास वेग के कम होने की भरपाई करनी पड़ती है।
 दीवार के पास वेग कम हो जाता है, इसलिए वेग को केंद्रीय भाग पर बढ़ाना पड़ता है क्योंकि वॉल्यूम प्रवाह दर स्थिर रहना चाहिए।
 इसलिए यदि वेग का यह हिस्सा, यदि आप समरूप (uniform) प्रवाह वेग प्रोफ़ाइल पर विचार करते हैं, यदि इस भाग में दीवार की उपस्थिति के कारण वेग में कमी या मंदता है, तो केंद्रीय भाग के वेग में वृद्धि होनी चाहिए ताकि वॉल्यूम प्रवाह दर इनलेट के समान रहे।
 इसीलिए यहाँ पर निरंतरता समीकरण महत्वपूर्ण है।
 तो अगर आप आगे बढ़ते हैं, तो क्या होता है? श्यान क्षेत्र बढ़ता है, श्यान क्षेत्र क्योंकि सीमा परत बढ़ रही है, जैसा कि सीमा परत बढ़ता है श्यान क्षेत्र बढ़ रहा है, मात्रा में मोटाई या जो कुछ भी है, इसलिए यह बढ़ रहा है।
 इसलिए जैसे-जैसे यह बढ़ता है, तब-तब इनवेसिड क्षेत्र को प्रवाह दर के संदर्भ में श्यान प्रवाह के एक बड़े क्षेत्र की भरपाई करनी होती है।
 इसलिए मध्य भाग में अब ओर भी अधिक वेग है।
 इसलिए जैसा कि हम देखते हैं कि पाइप के मध्य भाग में अधिक वेग है, पाइप के मध्य भाग में द्रव में इनलेट की तुलना में अधिक वेग है।
 और जैसे-जैसे हम आगे बढ़ते हैं यह ओर बढ़ता जाता है क्योंकि श्यान प्रभाव धीरे-धीरे प्रवाह के मूल की ओर प्रवेश करता है।
 तो आपके पास सेंट्रीलाइन वेग है, यदि आप पाइप की सेंट्रीलाइन के साथ वेग मापते हैं, तो यह धीरे-धीरे बढ़ेगा।
 अब क्या होता है जब सीमा परत विलीन हो जाती है, इस बिंदु पर मान लें कि प्रवाह पूरी तरह से श्यान हो जाता है, इस क्षेत्र में कोई भी इनवेसिड हिस्सा नहीं है जो इस क्षेत्र में दिखाई दे रहा था जहां प्रवाह प्रवेश कर रहा था।
 द्रव तत्व, द्रव कण के संदर्भ में कुछ समय के बाद, लेकिन सीमा परत के विलय से एक निश्चित दूरी की यात्रा करने के बाद, हमें एक वेग प्रोफ़ाइल मिलती है जो अंततः X दिशा के साथ यात्रा करते समय बदलती नहीं है।
 इसलिए यदि हमारे पास एक और बहाव क्षेत्र में एक वेग है, तो इसका मतलब है कि प्रारंभिक स्थान की तुलना में बाद वाला स्थान जिसे हम विचार कर रहे हैं, इसलिए एक डाउनस्ट्रीम स्थान पर वेग प्रोफ़ाइल अब ओर नहीं बदलेगी, यह नहीं बदलेगी।
 यदि आप अलग-अलग स्टेशनों पर ले जा सकते हैं, अलग-अलग X वैल्यू पर आप वेग प्रोफाइल के साथ परिमाण (magnitude) भी देखेंगे।
 प्रोफ़ाइल की प्रकृति और परिमाण समान हैं।
 इसे पूर्ण विकसित क्षेत्र (fully developed region) कहा जाता है और इस क्षेत्र को विकासशील प्रवाह (developing flow) कहा जाता है।
 इस प्रकार, यह वेग प्रोफ़ाइल को पाइप में ले जाने के रूप में देखता है, यह वेग प्रोफ़ाइल लगातार बढ़ने वाले इनवेसिड कोर वेग के साथ बदलता रहता है क्योंकि हम X दिशा में ओर आगे जाते हैं, जबकि यहाँ X दिशा के साथ बढ़ने पर वेग नहीं बदलेगा।
 तो यह पूरी तरह से विकसित प्रवाह के रूप में जाना जाता है, इस लंबाई को प्रवेश लंबाई (entrance length) के रूप में जाना जाता है।
 तो यह वह लंबाई है जिसके माध्यम से प्रवाह को पूरी तरह से विकसित प्रोफ़ाइल प्राप्त करने के लिए यात्रा करनी पड़ती है और पूरी तरह से विकसित प्रोफ़ाइल में के बराबर है, इसका मतलब है कि X दिशा में U वेग है।
 तो X दिशा में वेग किसी भी स्थान पर X के साथ नहीं बदलेगा, ऐसा ही V वेग से होता है।
 तो V वेग भी X दिशा के साथ नहीं बदलता है, इसलिए यह लगभग स्थिर रहता है और इस क्षेत्र को पूरी तरह से विकसित क्षेत्र के रूप में जाना जाता है।
 इस तरह के वेग प्रोफ़ाइल का निहितार्थ (implication) काफी महत्वपूर्ण है।
 आइए हम प्रवाह के विकास को देखते हैं, प्रवाह के नुकसान के संबंध में विचार करना बहुत महत्वपूर्ण है जो प्रवाह पाइप से गुजरता है।
 अब हमने इसे X अक्ष के साथ खींचा है और हम सेंट्रलाइन वेग को प्लॉट करेंगे।
 इसलिए यदि आप सेंट्रेल वेग को प्लॉट करते हैं, तो यह वर्णात्मक रूप से भिन्न होगा यदि हम प्रवेश क्षेत्र को देखते हैं और यही कारण है कि हम इस रेखा को खींचते हैं।
 और फिर अगर हम इसे प्लॉट करते हैं, तो सेंट्रेलिन वेग कुछ इस तरह दिखता है।
 तो यह लगातार बढ़ता है, अधिकतम वेग तक जाता है और स्थिर रहता है क्योंकि प्रवाह विकसित होने के बाद, वेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
 यह पूरी तरह से विकसित है इसका मतलब है कि वेग में कोई परिवर्तन नहीं है जब यह पाइप के माध्यम से आगे बढ़ता है।
 लेकिन प्रवेश क्षेत्र में वेग में निरंतर वृद्धि हो रही है।
 अब, केंद्रीय क्षेत्र वास्तव में इनवेसिड है, केंद्रीय भाग जिसे हम देख रहे थे कि जहां वेग बढ़ रहा है वह वास्तव में एक इनवेसिड क्षेत्र है, इसलिए हम जो कर सकते हैं वह वास्तव में बर्नौली के समीकरण को वहां लागू कर सकता है।
 यह एक बहता प्रवाह है, इसलिए हम वहां बर्नौली के समीकरण को लागू कर सकते हैं।
 आइए हम कहते हैं कि यह पाइप सीधा है, जैसे कि यहाँ क्या दिखाया गया है, इसलिए प्रारंभिक भाग में ऊँचाई और अंतिम भाग में ऊँचाई समान है, संदर्भ फ्रेम जो ज़मीन पर टिकी है से पाइप की ऊँचाई समान है, इसलिए अगर हम बर्नौली के समीकरण को लागू करते हैं, तो इसका मतलब है कि इस क्षेत्र में वेग बढ़ने से दबाव गिरता (pressure drops) है।
 इस क्षेत्र में दबाव बहुत कम हो जाता है क्योंकि वेग बढ़ जाता है।
 अब यदि आप देखते हैं कि प्रवेश क्षेत्र में, प्रवेश की लंबाई में एक महत्वपूर्ण दबाव की गिरावट है और उसके बाद दबाव वास्तव में गिरता रहता है।
 भले ही केंद्रीय वेग, सेंट्रीलाइन वेग स्थिर है, दबाव गिरता रहता है।
 तो प्रवाह के पूरी तरह से विकसित होने के बाद दबाव में यह गिरावट निश्चित रूप से अपेक्षित है क्योंकि यह घर्षण के कारण है, यह घर्षण के कारण आ रहा है।
 यदि आप इसे ध्यान से देखते हैं, तो आप देखेंगे कि वेग में यह गिरावट वास्तव में रैखिक है।
 इसका मतलब है कि यह एक सीधी रेखा है, वक्र का यह हिस्सा एक सीधी रेखा है।
 यदि हम उस सीधी रेखा को इस क्षेत्र में प्रवेश करते हुए एक्सट्रपलेट (extrapolate) करते हैं तो हमें इस बात का अच्छा अनुमान हो सकता है कि प्रवेश लंबाई में घर्षण का दबाव क्या था।
 तो प्रवेश लंबाई में आप देखते हैं कि नुकसान के 2 कारण हैं, एक वेग प्रोफ़ाइल में परिवर्तन के कारण या प्रवाह के विकास के दौरान होता है और घर्षण हानि होती है।
 तो अब हम वास्तव में इन 2 नुकसानों का सीमांकन कर सकते हैं।
 इस दबाव रैखिक दबाव वक्र को एक्सट्रपलेट करने के बाद पहला भाग, हम बाद में अगली स्लाइड में दिखाएंगे कि दबाव भिन्नता, घर्षण दबाव गिरावट वास्तव में लेमिनार प्रवाह के लिए रैखिक है।
 बेशक अभी तक हम जिस पर चर्चा कर रहे हैं वह केवल एक लेमिनार प्रवाह है क्योंकि वेग प्रोफ़ाइल स्वयं इसका एक प्रतिनिधि है क्योंकि यह केंद्र से अधिकतम वेग की ओर धीरे-धीरे बदलता है यदि आप दीवार से शुरू करते हैं।
 एक अशांत प्रवाह के मामले में वेग प्रोफ़ाइल काफी भिन्न होगी, यह तेजी से दीवार के पास बदल जाएगी और फिर लगभग स्थिर रहेगी, इसलिए यह सपाट प्रोफ़ाइल होगी।
 यहाँ वेग प्रोफाइल धीरे-धीरे बदलता है और इस तरह के प्रवाह के लिए घर्षण दबाव हानि (frictional pressure loss) वास्तव में रैखिक है।
 तो यह रैखिक रूप से दूरी के साथ बदलता रहता है।
 इसलिए एक्सट्रपलेशन (extrapolating) करने से हम इस हिस्से का अनुमान लगा सकते हैं, जो कि प्रवेश क्षेत्र में घर्षण दबाव का नुकसान है।
 A प्रवेश दबाव (entrance pressure loss) नुकसान है।
 यह घर्षण के कारण नहीं है, यह सिर्फ प्रवेश द्वार के कारण है।
 इस तथ्य के कारण नुकसान ही, प्रवाह को तेज करता है जब यह विकासशील क्षेत्र के माध्यम से होता है।
 निश्चित रूप से हम यहां प्रवेश क्षेत्र के बाद घर्षण दबाव हानि को चिह्नित कर सकते हैं, यह भी देखें कि इस नुकसान का संकेत कौन देता है, इसलिए यह मूल रूप से प्रवेश क्षेत्र के बाद दबाव का नुकसान है।
 बेशक इस विशेष उदाहरण में यह घर्षण दबाव कम दिखता है लेकिन यह इस तथ्य के कारण है कि लंबाई भी बहुत छोटी है।
 जब हम वास्तविक पाइप प्रवाह पर विचार करते हैं, तो यह लंबाई प्रवेश रेखाओं की तुलना में बहुत अधिक होगी।
 तो उस बारे में एक विचार प्राप्त करने के लिए, आइए देखें कि हमें प्रवेश लंबाई का मान मिल सकता है, किसी दिए गए प्रवाह के लिए प्रवेश लंबाई कितनी है।
 तो हम उस पर जाएंगे।
 मूल रूप से एक वास्तविक उदाहरण में जहां प्रवेश लंबाई के बाद की लंबाई काफी महत्वपूर्ण है, यह दबाव हानि अधिक महत्वपूर्ण होगी।
 तो यह पाइप की लंबाई पर निर्भर करता है।
 अब, प्रवेश लंबाई में जाने से पहले, हम पाइप के भीतर स्ट्रीमलाइन को प्लॉट करते हैं।
 तो यह लाल वक्र वास्तव में स्ट्रीमलाइन दिखाता है।
 इसलिए यह इस तथ्य को प्रदर्शित कर रहा है, जिसकी चर्चा हमने पिछले कुछ व्याख्यानों में सीमा परत पर की है।
 जब आपके पास इस तरह की एक सीमा परत प्रवाह होती है, तो स्ट्रीमलाइन वास्तव में झुक जाती है।
 तो यह सीमा परत से दूर झुक जाता है।
 तो यह एक समरूप प्रवाह के रूप में आता है और यह धीरे-धीरे झुकता है, यह दीवार से दूर चला जाता है।
 अगर हम दूसरी तरफ भी इसी तरह की स्ट्रीमलाइन बनाते हैं तो हम देखेंगे कि यह भी झुकता है।
 तो मूल रूप से प्रवाह पाइप के माध्यम से होता है, दोनों ओर से स्ट्रीमलाइन करीब आती हैं।
 इसका मतलब यह है कि मूल रूप से प्रवाह दीवार से बचने और केंद्र की ओर बढ़ने की कोशिश कर रहा है।
 हम ऐसा क्यों कहते हैं, क्योंकि हम जानते हैं कि स्ट्रीमलाइन का अर्थ है कि यह प्रवाह की एक सीमा है, प्रवाह स्ट्रीमलाइन में प्रवेश नहीं कर सकता है क्योंकि स्ट्रीमलाइन के लंबवत कोई घटक नहीं है, इसलिए यह स्ट्रीमलाइन में प्रवेश नहीं कर सकता है।
 इसका मतलब है कि 2 प्रवाह के बीच प्रवाह दर हमेशा स्थिर है, वही प्रवाह होगा।
 यह वास्तव में यहाँ क्या दिखाता है, यहाँ स्ट्रीमलाइन यह दिखाती है कि प्रवेश द्वार पर बड़े क्षेत्र के माध्यम से जो भी प्रवाह हो रहा था, विकसित लंबाई में, वही प्रवाह एक छोटे क्षेत्र के माध्यम से हो रहा है, जो अपेक्षित है चूँकि प्रवाह पाइप के माध्यम से चलता है, यह मध्य क्षेत्र का अनुसरण करने की कोशिश करता है, जिसमें कम श्यान प्रभाव होता है और सीमा परत से दूर जाता है।
 प्रवेश द्वार के शुरू में पाइप प्रवाह के भीतर स्ट्रीमलाइन आरेख यही प्रदर्शन कर रहा है।
 तो अब हमें पता चला है कि, पाइप के भीतर प्रवाह के विकास के बारे में कुछ विचार, आइए हम प्रवेश की लंबाई के अनुमान में जाएं।
 तो वास्तव में यदि आप इस प्रवेश लंबाई को देखते हैं तो सहसंबंध उपलब्ध हैं और आयाम विश्लेषण (dimensionally analysis) का उपयोग करके आप यह दिखा सकते हैं कि यह वास्तव में रेनॉल्ड्स नंबर का एक फंकशन है।
 इसलिए यदि आप एक विशिष्ट मान को देखते हैं, तो लेमिनार प्रवाह के लिए प्रवेश लंबाई सहसंबंध, यह कुछ इस तरह होगा।
 एक अशांत प्रवाह के लिए यह अलग है और यह सहसंबंध है जिसका उपयोग अशांत प्रवाह के लिए प्रवेश लंबाई का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।
 अब इस सहसंबंध का उपयोग करके, वास्तविक संख्याओं को देखें, ये मान कितने हैं? अगर हम प्रवेश लंबाई को रेखांकित करते हैं, तो लेमिनार प्रवाह के लिए व्यास के साथ गैर-आयामी, हम निश्चित रूप से देखते हैं कि प्रवेश लंबाई रेनॉल्ड्स नंबर के रूप में बढ़ जाती है।
 यह X अक्ष या क्षैतिज अक्ष वास्तव में रेनॉल्ड्स नंबर है।
 तो जैसा कि रेनॉल्ड्स नंबर बढ़ जाती है प्रवेश की लंबाई भी बढ़ जाती है और एक लेमिनार प्रवाह के लिए संक्रमण रेनॉल्ड्स नंबर लगभग 2300 है और 2300 के मान पर प्रवेश लंबाई पाइप के व्यास की 140 गुना है।
 तो यह मूल रूप से प्रवेश लंबाई का अनुमान देता है।
 लेकिन यह काफी अलग है अगर अशांत भाग रेखांकित किया जाता है, तो हम देखते हैं कि अचानक छलांग है, प्रवेश लंबाई में अचानक गिरावट है।
 इसका कारण यह है कि अशांत प्रवाह मे मिश्रण अधिक है और इसके परिणामस्वरूप सीमा परत का त्वरित विलय होता है।
 तो विलय की यह घटना एक अशांत प्रवाह में भी मौजूद है, लेकिन यह एक लेमिनार प्रवाह के मामले की तुलना में बहुत तेजी से होता है और इसके परिणामस्वरूप अशांत प्रवाह यदि आप यहां देखते हैं तो हम इसे विभिन्न अक्ष का उपयोग करके थोड़ा ओर विवरण में देख सकते हैं।
 इसलिए यदि आप यहां देखते हैं, तो एक अशांत प्रवाह के लिए, जो कि रेनॉल्ड्स नंबर 4000 के आसपास से शुरू होता है।
 इसलिए उस तरह के प्रवाह के लिए प्रवेश लंबाई पाइप के व्यास की लगभग 15 से 30 गुना बताती है।
 एक लेमिनार प्रवाह की तुलना में बहुत कम है।
 तो यह वह क्षेत्र है जहां प्रवाह के त्वरण के कारण यह पहला प्रवेश नुकसान मौजूद है।
 बाद में आपको घर्षण के कारण दबाव का नुकसान होता है।
 अब एक बात का जिक्र हमने यहां किया लेमिनार प्रवाह के मामले में अशांति के लिए किया है।
 इसलिए लेमिनार प्रवाह, पाइप के प्रवाह के मामले में रेनॉल्ड्स नंबर जैसे हम पहले परिभाषित करते हैं के रूप में पाया जाता है।
 अब यह 2300 का मान एक चिकनी पाइप के लिए है, अगर एक खुरदुरा पाइप है तो यह बदल सकता है और यह भी संभव है कि आप एक बहुत ही चिकनी पाइप का उपयोग करें और बहुत सारे नियंत्रण तंत्र का उपयोग करें ताकि संक्रमण न हो, आप संक्रमण में भी देरी कर सकते हैं, तो यह भी संभव है।
 लेकिन अधिकांश मामलों के लिए हम नियंत्रण मापदंडों का इतना उपयोग नहीं करते हैं, इसलिए 2300 एक संख्या है जो इंजीनियरिंग समुदाय द्वारा अशांति के संक्रमण के लिए एक मान के रूप में स्वीकार्य है।
 जैसा कि हमने ड्रैग गुणांक के मामले में देखा, संक्रमण होने पर प्रवाह के व्यवहार में हमेशा एक तेज बदलाव होता है, जैसे कि एक सिलेंडर पर से प्रवाह के मामले में और गेंद पर से प्रवाह के लिए भी यही सच है, कि ड्रैग गुणांक में अचानक परिवर्तन होता है।
 इसी तरह हम प्रवेश लंबाई को भी देख सकते हैं, जब संक्रमण, अशांत मे बदल जाता है तो अचानक परिवर्तन होता है।
 तो अब हम देखते हैं कि क्या हम अपने तरल गतिशील दृष्टिकोण, अवकल दृष्टिकोण का उपयोग करके विकसित प्रवाह का विश्लेषण कर सकते हैं, जिसे हमने पिछले सप्ताह के व्याख्यान के दौरान पेश किया है।
 तो इसके लिए हम अगली स्लाइड पर जाते हैं।
 अब अगर हम केवल पूर्ण विकसित प्रवाह पर विचार करते हैं क्योंकि विकासशील प्रवाह बहुत जटिल है, तो दीवार के पास श्यान प्रवाह और केंद्र में एक इनवेसिड प्रवाह है।
 यह केवल प्रवेश लंबाई तक ही सीमित है।
 लंबे पाइपों के लिए और जिस स्थिति में प्रवाह ज्यादातर अशांत होता है क्योंकि वेग अधिक होते हैं, उन मामलों के लिए प्रवेश की लंबाई केवल उसी तरह होती है जैसे हमने आखिरी स्लाइड में पाइप के व्यास का 30 गुना देखा।
 तो उस क्षेत्र में प्रवाह नुकसान इतना महत्वपूर्ण नुकसान नहीं है।
 वास्तव में प्रवेश नुकसान को मामूली नुकसान के रूप में नामित किया गया है।
 पाइप के प्रवाह में बड़ा नुकसान मूल रूप से घर्षण नुकसान है और यह मुख्य रूप से पूरी तरह से विकसित क्षेत्र में होता है।
 आइए हम अवकल दृष्टिकोण का उपयोग करके, पूरी तरह से विकसित प्रवाह को देखें जो हमने पिछले सप्ताह के दौरान पेश किया है।
 पाइप प्रवाह को देखने के लिए हमने एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली (cylindrical coordinate system) की शुरुआत की, यह उपयोगी है क्योंकि बेलनाकार समन्वय प्रणाली पाइप की ज्यामिति का अधिक सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करती है।
 एक गोलाकार क्रॉस-सेक्शन पाइप के लिए, यह वस्तु की ज्यामिति का बिल्कुल प्रतिनिधित्व करता है।
 तो यह हमेशा बेहतर होता है क्योंकि वास्तव में जब हम एक गोले से निपटते हैं, तो गोलाकार समन्वय प्रणाली (spherical coordinate system) का उपयोग करना बेहतर होता है।
 इसलिए हमने XY निर्देशांक प्रणाली के बजाय xr समन्वय प्रणाली का उपयोग किया, XY समन्वय प्रणाली मूल रूप से कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (Cartesian coordinate system) है।
 तो जैसा कि हम करते हैं, इसलिए यह मूल रूप से एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली है और X दिशा में वेग u है और r दिशा में vr के रूप में दिया गया है।
 तो वेक्टर रूप में बेलनाकार समन्वय प्रणाली में वेग के गवर्निंग समीकरण समान होते हैं, उदाहरण के लिए अंसपीड्य प्रवाह यह होगा निरंतरता समीकरण के रूप में, लेकिन जब आप कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में ऑपरेटर अलग होते हैं।
 यह कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मामले में लिखा जाता है।
 एक बेलनाकार प्रणाली के मामले में यह अलग होगा, इसलिए समीकरण अलग होंगे और हमने इसे प्राप्त नहीं किया है, लेकिन हम इसका उपयोग इस विशेष मामले के लिए करेंगे।
 तो निरंतरता समीकरण कुछ इस तरह है और X-संवेग समीकरण कुछ इस तरह है।
 मान लें कि आपके पास X-संवेग समीकरण है, जैसे कि यह कार्टेशियन प्रणाली के मामले में दिखाई देता है जैसे कि ।
 यह u वेग के लिए है, यह ऑपरेटर विशेष रूप से u वेग के लिए है।
 यह मूल रूप से श्यान पद है।
 इसलिए यदि आप बेलनाकार समन्वय प्रणाली में लिखते हैं, तो यह कुछ इस तरह दिखाई देगा।
 r-संवेग समीकरण अब कुछ ऐसा दिखता है, आपके पास है, आप को जानते हैं।
 इसलिए हमने यहां इस पद का विस्तार नहीं किया है क्योंकि हम जल्दी से बाद में देखेंगे कि यह पद गायब हो जाएगा।
 इसलिए हमने यहां इस का विस्तार नहीं किया है।
 तो आइए देखें कि हमारे पास और क्या स्थितियाँ हैं।
 ये गवर्निंग समीकरण हैं लेकिन ऐसे गवर्निंग समीकरण बहुत जटिल हैं।
 तो हमारे पास और क्या हालत है? अगली स्थिति जो हमारे पास है वह पूरी तरह से विकसित प्रवाह है, इसका मतलब है कि वेग X दिशा के साथ नहीं बदलते हैं।
 तो पूरी तरह से विकसित स्थिति कहती है कि के बराबर है और के बराबर है।
 वेग के रेडियल घटक का ग्रेडिएंट भी शून्य है।
 इसलिए हमें इन समीकरणों को सरल बनाने के लिए इन सभी स्थितियों का उपयोग करना होगा।
 अब सीमा की स्थितियों को भी हमें थोपना है, इसलिए वे सरल हैं, u(x,R)=0 के बराबर हैं, R इस पाइप के केंद्र से मापा जाने वाला पाइप की त्रिज्या है।
 नो-स्लिप कंडीशन के कारण और इसी तरह , दीवार पर लंबवत वेग भी है।
 अब हम इस स्थिति को देखते हैं के बराबर है।
 यह पूरी तरह से विकसित है स्थिति तुरंत कम हो जाती है और बहुत सरलीकरण करती है क्योंकि कई शब्द बाहर निकल जाते हैं।
 तो यह तुरंत हमें बहुत सरलीकरण देता है और यह भी हमें बताता है कि गणितीय रूप से u केवल r का एक फ़ंक्शन है और x का फ़ंक्शन नहीं है।
 यह स्थिति एक अवकल समीकरण भी है।
 तो के बराबर है इसका मतलब है कि u स्थिर नहीं है, u त्रिज्या में r का एक फ़ंक्शन है।
 और r का मतलब R नही है R मूल रूप से स्थिर है जो पाइप की त्रिज्या है।
 आइए इस सरलीकरण के साथ देखें कि यह समीकरण कैसा दिखता है।
 तो निरंतरता समीकरण से ऐसा लगता है कि के बराबर है।
 तो इसका क्या मतलब है, इसका मतलब है कि , X का एक फ़ंक्शन है, जैसे हमने कहा कि u, r का एक फ़ंक्शन है।
 ऐसा लगता है जैसे यह X का एक फ़ंक्शन है।
 तो अब हम कैसे आगे बढ़ते हैं? तो इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि , X का एक फ़ंक्शन है हम इस समीकरण पर वापस आ सकते हैं, पूरी तरह से विकसित स्थिति।
 हम यहाँ से के बराबर कर रहे हैं।
 तो , X का एक फ़ंक्शन है लेकिन है, तो इसका क्या मतलब है? इसका सीधा मतलब है कि के बराबर है क्योंकि अगर आप को के बराबर करते हैं, तो इसका मतलब है कि के बराबर है जहाँ मूल रूप से या है।
 क्योंकि यह अब कुल समाकल है।
 तो का मतलब है, स्थिर है, यही इसका मतलब है।
 तो अनिवार्य रूप से जो हमें यहां मिलता है वह r वेग प्रोफाइल है।
 तो इसका मतलब है कि है।
 इसलिए इस पूरी तरह से विकसित स्थिति को हल किए बिना उपयोग करके, संवेग समीकरण में जाने से हमें r दिशा में वेग प्रोफाइल मिलता है।
 लेकिन इस प्रोफ़ाइल को देखें, इस स्थिति को भी संतुष्ट करना होगा कि दीवार पर r वेग शून्य है।
 तो इसका क्या मतलब है, अगर उसे इस शर्त को पूरा करना है तो इसका मतलब है कि , K एक स्थिर शून्य है, इसका मतलब है कि K, 0 के बराबर है, यदि r निश्चित रूप से अनंत नहीं है।
 तो K शून्य है, इसलिए शून्य है।
 यह दर्शाता है कि इस स्थिति का उपयोग करके और यह वास्तव में महत्वपूर्ण है कि हम पूरी तरह से विकसित स्थितियों और सीमा की स्थितियों का उपयोग समाधान पर पहुंचने के लिए करते हैं।
 इसलिए यह व्यवस्थित रूप से आप देखते हैं कि आप एक बहुत ही महत्वपूर्ण सरलीकरण पर पहुंच सकते हैं कि वेग का रेडियल घटक शून्य हो जाता है।
 अब यदि वेग का रेडियल घटक शून्य हो जाता है, तो हम इसे सीधे शून्य के रूप में नहीं लिख सकते हैं, हमें इस मार्ग के माध्यम से आना होगा और एक बार शून्य होने के बाद, यह हमारे समीकरणों को बहुत सरल बनाता है क्योंकि बहुत सारे पद गायब हो जाएंगे।
 यह संपूर्ण समीकरण को छोड़कर लगभग सब कुछ निकल जाता है क्योंकि यह शून्य है और इस स्थिति के अनुसार हर जगह शून्य है।
 तो भी शून्य होगा।
 क्योंकि हर जगह शून्य है, इसलिए भी शून्य होगा।
 तो जो हमारा r-संवेग समीकरण बताता है, वह यह है कि के बराबर है।
 इसका मतलब है कि P, x का फंकशन है, यह r से स्वतंत्र है, यह संबंध हमने पहले भी व्युत्पन्न किया था।
 यदि आपको अंतिम सप्ताह में ट्यूटोरियल की समस्या याद है।
 फ्लैट प्लेट प्रवाह प्रकार की स्थिति के लिए समान मामला, पाइप प्रवाह के लिए नहीं।
 तो दबाव x का एक फंकशन है, देखें कि वेग x का फंकशन नहीं है, वेग केवल पूर्ण विकसित प्रवाह में r का फंकशन है, लेकिन दबाव r का फंकशन नहीं है, यह पूर्ण विकसित प्रवाह में केवल x का फंकशन है।
 हम जल्द ही देखेंगे कि यह निर्भरता इस तथ्य के कारण है कि घर्षण के कारण दबाव में कमी है।
 इसलिए अब यह देखने के बाद कि दबाव केवल x का फंकशन है, हम अब इस समीकरण को फिर से लिख सकते हैं।
 इसलिए यहां सभी 3 पद चले गए हैं, हमें दबाव प्रवणता पद और श्यान पद के पहले भाग के साथ छोड़ दिया गया है।
 इसे एक साधारण अवकल समीकरण (ordinary differential equation) के रूप में लिखा जा सकता है क्योंकि इसमें केवल 2 चर होते हैं, एक दबाव होता है जो x का एक फ़ंक्शन होता है और जिसका हमारे पास x के संबंध में अवकल होता है और दूसरा U होता है जो विशुद्ध रूप से r का एक फ़ंक्शन होता है।
 एक साधारण अंतर समीकरण।
 अब यदि आप इस पर विचार करते हैं, तो बाएं हाथ की ओर x का फ़ंक्शन है, दाएं हाथ का भाग r का फ़ंक्शन है और वे समान हैं।
 तो इसका क्या अर्थ है? ये 2 तभी बराबर हो सकते हैं जब वे स्थिर हों।
 तो यह सरल करता है और हमें बहुत महत्वपूर्ण निष्कर्ष देता है कि वास्तव में एक पाइप प्रवाह के लिए स्थिर है और लेमिनार प्रवाह के लिए यह सच है क्योंकि अशांत प्रवाह आप अस्थिर (unsteady) पद को छोड़ नहीं सकते हैं, अशांत प्रवाह अत्यधिक अस्थिर है, इसलिए हम नहीं छोड़ सकते हैं।
 तो लेमिनार प्रवाह के लिए हम पाते हैं कि दबाव प्रवाह की दिशा में रैखिक रूप से गिरता है।
 पिछली स्लाइड में हमने प्लॉट में प्रवेश क्षेत्र में पाइप के दबाव को कम करने के लिए इसका उपयोग किया था, अब हमने इसे नवीयर-स्टोक्स समीकरण का उपयोग करके साबित कर दिया है।
 विकसित क्षेत्र में दबाव की गिरावट एक लेमिनार प्रवाह के लिए रैखिक होती है।
 अब हम दाएं हाथ (X-संवेग समीकरण ) से जारी रख सकते हैं और अगर हम इसे समाकल करते हैं तो हमें यह चीज मिलती है, यह आसानी से समाकल किया जा सकता है और एक स्थिर है लेकिन हम इसे और C1 पहला समाकल स्थिरअंक है जो पहले समाकल से आता है।
 इस समीकरण को फिर से समाकल करके, यह भी आसानी से समाकल हो सकता है और आप इस समीकरण को प्राप्त कर सकते हैं जिसमें दूसरा समाकल स्थिरअंक C2 शामिल है।
 तो यह मूल रूप से वेग प्रोफाइल है।
 अब आप देख सकते हैं कि आपके पास एक ओर सीमा स्थिति बची हुई है और आपको 2 स्थिरांक C1 और C2 ढूंढने हैं, इसलिए इसका समाधान कैसे करें, केवल एक शर्त दिए जाने पर C1 और C2 कैसे प्राप्त करें? दीवार पर u वेग शून्य है, दीवार पर v वेग शून्य है पहले से ही यहाँ उपयोग किया गया है।
 तो उस समाधान को पाने के लिए हम इस समाधान के रूप को ध्यान से देखते हैं।
 तो यदि आप इस पद को देखते हैं, तो यह C1 शून्य होना चाहिए।
 क्योंकि u(x,0) परिमित (finite) होना चाहिए।
 यदि आप r=0 पर u का पता लगाने की कोशिश करते हैं, तो r 0 के बराबर है।
 मूल रूप से r पाइप की सेंट्रीलाइन से शुरू होता है।
 इसलिए r 0 के बराबर है यदि आप यहाँ शून्य डालते हैं, तो है, शून्य है, इसलिए यह शून्य है, इसलिए आपके पास वेग अनंत नहीं हो सकता।
 तो यह वास्तव में गायब हो जाता है।
 C1 शून्य होना चाहिए, इसलिए सीमा की स्थिति का उपयोग किए बिना, केवल समीकरण को देखते हुए हम यह कह सकते हैं और C2 के साथ क्या होता है, C2 को अन्य सीमा स्थिति से प्राप्त किया जा सकता है।
 इसलिए यदि आप बाउंड्री कंडीशन में प्लग-इन करते हैं कि u(x, R)=0 के बराबर है, तो आपको C2 का मान इस प्रकार मिलता है।
 तो अब बस इस समाधान में C1 और C2 दोनों के मान को प्लग करके, हमें वेग प्रोफ़ाइल मिलता है।
 तो हम एक सटीक समाधान प्राप्त कर सकते हैं, यह एक दुर्लभ मामला है जिसमें हम एक लेमिनार प्रवाह के लिए एक विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त कर सकते हैं, अशांत प्रवाह के लिए आप इस तरह एक विश्लेषणात्मक समाधान नहीं प्राप्त कर सकते हैं लेकिन एक लेमिनार प्रवाह के लिए निश्चित रूप से इस रूप में सटीक समाधान प्राप्त कर सकते है।
 तो अब यह एक बहुत ही उपयोगी समीकरण है और हम इस पद को इस रूप में पुन: व्यवस्थित करके इस समीकरण को फिर से लिख सकते हैं।
 इस रूप में इसे लिखने का एक कारण है क्योंकि इसे इस रूप में लिखने से आप देख सकते हैं कि यहाँ उपसर्ग , यह एक स्थिरअंक की तरह है, इसलिए आप इसे के रूप में लिख सकते हैं।
 यह क्यों है क्योंकि r=0 के बराबर है और वेग यह होना चाहिए, यह अधिकतम वेग है।
 r=0 के बराबर, u को होना चाहिए, जो कि वेग प्रोफाइल से स्पष्ट है, इसलिए मूल रूप से आप इस वेग का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।
 अब वेग प्रोफाइल कुछ इस तरह है।
 यह एक बहुत ही उपयोगी है और यह पाइप के विकसित क्षेत्र में पाइप के दबाव मे घर्षण के कारण नुकसान के आकलन में उपयोगी होगा।
 इस तरह के प्रवाह को हेगन-पॉइज़्यूल प्रवाह (Hagen-Poiseulle flow) कहा जाता है।
 हेगन और पॉइज़्यूल ने इस सहसंबंध को खोजने के लिए कई प्रयोग किए, जो कि हम घर्षण संबंधी नुकसान के लिए सहसंबंध में पहुंचने के लिए थे।
 बेशक यह व्युत्पत्ति बाद में आई, यह 19 वीं शताब्दी में की गई थी, यह व्युत्पत्ति निश्चित रूप से बाद में हुई।
 लेकिन यह सिर्फ पाइप प्रवाह साहित्य में योगदान को मनाने के लिए है, इसका नाम इन तरल गतिको के नाम पर रखा गया है।
 तो अब हम क्या देख सकते हैं कि इस सभी गणित से महत्वपूर्ण निष्कर्ष यह है कि हम इस वेग प्रोफ़ाइल का उपयोग करके इस पाइप के माध्यम से प्रवाह दर का पता लगा सकते हैं, हम इसे के रूप में समाकल कर सकते हैं और फिर हम के रूप में प्रवाह दर प्राप्त कर सकते हैं।
 तो अगर आप इसे एकीकृत करते हैं, तो आप इसे के रूप में प्राप्त करेंगे।
 यह इस समीकरण को लिखने का एक महत्वपूर्ण तरीका है क्योंकि यदि आप पहले एक को देखते हैं, तो यह कुल क्षेत्र द्वारा गुणा किए गए वेग की तरह है।
 तो यह एक औसत वेग की तरह है, एक औसत वेग है।
 इसलिए हम इस औसत वेग को V नाम देते हैं, पाइप प्रवाह व्याख्यान के लिए हम परिभाषित करते हैं कि V औसत वेग है।
 अब इसका मतलब है कि औसत वेग वास्तव में है।
 अब हम को जानते हैं, हम लेमिनार प्रवाह के लिए के लिए एक सटीक अभिव्यक्ति जानते हैं, हम औसत वेग के लिए एक सटीक अभिव्यक्ति भी प्राप्त कर सकते हैं।
 हम यह कर सकते हैं कि के बराबर है, क्या है, घर्षण के कारण दबाव की हानि है।
 इसलिए यदि आप 1 के रूप में पहला स्टेशन और 2 के रूप में दूसरा स्टेशन लेते हैं, तो है, P2 , P1 से कम है, इसलिए क्योंकि यह घर्षण नुकसान है, इसलिए मूल रूप से है।
 निश्चित रूप से सकारात्मक है क्योंकि दबाव में कमी है लेकिन यह प्रवणता नकारात्मक है क्योंकि यदि आप X दिशा के साथ चलते हैं तो दबाव कम हो रहा है, इसलिए प्रवणता नकारात्मक है, यह यहां व्यक्त किया गया है।
 अब यदि आप के इस मान को प्लग-इन करते हैं, तो आप दबाव अवधि के संदर्भ में औसत वेग के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं, यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण समीकरण है।
 यह समीकरण है जो हेगन द्वारा प्रयोगात्मक रूप से उनके प्रयोगों द्वारा प्राप्त किया गया था।
 बेशक विवरण हमें औसत वेग के लिए इस तरह की भिन्नता का कारण देते हैं।
 अब हम देखेंगे कि पाइप प्रवाह के लिए घर्षण के कारण हम अपनी वास्तविक खोज दबाव नुकसान के लिए इसका उपयोग कैसे कर सकते हैं।
 तो इसे पाइप में हेड लॉस (head loss) भी कहा जाता है।
 इसलिए हम देखेंगे कि इस हेड लॉस का अनुमान कैसे लगाया जाए।
 यह हेड वास्तव में ऊंचाई का प्रतिनिधित्व करता है, यह दर्शाता है कि हम उस पर कैसे आएंगे।
 तो हम कहते हैं कि हमारे पास एक झुका हुआ पाइप है और हमारे पास एक स्थान 1 और दूसरा स्थान 2 है।
 इस पाइप का व्यास 2R है, या तो हम स्केल के रूप में 2R व्यास या R को पाइप के त्रिज्या के रूप में उपयोग करते हैं।
 तो स्टेशन 1 में बर्नौली स्थिरांक इस तरह होगा, हमने इसे के रूप में पेश किया।
 तो यह बर्नौली स्टेशन 1 पर स्थिर है, स्टेशन 2 पर यह इस तरह होगा जहां V मूल रूप से औसत वेग है।
 यह देखें कि हमें अंतिम स्लाइड में औसत वेग के लिए अभिव्यक्ति क्यों मिली क्योंकि जब हम वास्तविक पाइप के लिए घर्षण का अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं तो यही उपयोगी होता है।
 हम कुल वेग प्रोफ़ाइल का उपयोग नहीं कर सकते, यह बहुत जटिल है।
 तो एक सरल तरीका औसत वेग का अनुमान लगाना है।
 यह पाइप के पार-अनुभागीय क्षेत्र (cross-sectional area) और प्रवाह दर को जानने के द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
 तो यह मूल रूप से पहले स्टेशन और दूसरे स्टेशन पर बर्नौली स्थिरांक है।
 अब क्योंकि यह पाइप है, पाइप का प्रवाह एक घर्षण प्रवाह है, यहाँ घर्षण की बहुत महत्वपूर्ण भूमिका है, ये 2 मान स्थिरांक नहीं हैं, ये मान पाइप में भिन्न हैं।
 वे कैसे भिन्न हैं, निश्चित रूप से यह इससे अधिक होगा क्योंकि दबाव में कमी होती है क्योंकि प्रवाह 1 से 2 तक होता है।
 लेकिन इस अवधि में इसका प्रतिनिधित्व करना बेहतर है।
 इसलिए यदि आप, यह कहते हैं कि स्टेशन 1 में बर्नौली स्थिरांक 2 स्टेशन में बर्नौली स्थिरांक से अधिक है।
 अब हमने इसे थोड़ा अलग रूप में लिखा है, देखें कि हमने इसे पूरी अभिव्यक्ति को ρg के साथ विभाजित करके लिखा है।
 इसे ρg से विभाजित करने से क्या होता है हमें कुल ऊर्जा प्रति इकाई भार जैसा कुछ मिलता है।
 यह आम तौर पर उस तरह का दृष्टिकोण था जो प्रयोगवादी द्वारा उपयोग किया गया था जिसने पाइप घर्षण नुकसान पर प्रयोग किए थे।
 यह अभ्यास पूरे समय में वापस आ गया है और हम बर्नोली के समीकरण को भी इस रूप में लिखते हैं, इसका मतलब है कि यह मूल रूप से प्रत्येक ऊर्जा का प्रतिनिधि है।
 बेशक आप इस बर्नौली के समीकरण पर पहुंच सकते हैं, जो कि स्थिर प्रवाह ऊर्जा समीकरण से शुरू होता है, जो कि नियंत्रण मात्रा पर लागू थर्मोडायनामिक्स का पहला नियम (first law of thermodynamics) है।
 इसलिए बिना इस बात पर विचार किए कि यहां कोई ऊर्जा हस्तांतरण नहीं है, इसलिए यदि आप उन शर्तों को लागू करते हैं और स्थिर प्रवाह ऊर्जा समीकरण (steady flow energy equation) को लागू करते हैं, तो आप उसी समीकरण पर पहुंचेंगे।
 लेकिन यहां महत्वपूर्ण बात यह है कि यह एक से अधिक है, इसका मतलब है कि ऊर्जा हानि, ऊर्जा प्रति यूनिट वजन है जो घर्षण के कारण पहले स्टेशन पर दूसरे स्टेशन की तुलना में अधिक है।
 लेकिन हम इसे एक समीकरण में परिवर्तित कर सकते हैं, यह एक विषमता को एक समीकरण के रूप में दायीं ओर एक अतिरिक्त शब्द के रूप में पेश करके।
 तो यह घर्षण के कारण हेड लॉस की तरह है।
 और यह सभी ऊर्जा प्रति यूनिट वजन वास्तव में ऊंचाई की इकाई है, आप अपने दम पर जांच कर सकते हैं कि इसकी वास्तव में ऊंचाई की इकाई है।
 यही कारण है कि हम कहते हैं कि हेड लॉस, यह लंबाई के पैमाने में ऊंचाई के संदर्भ में दर्शाया गया है।
 इसलिए इस हेड लॉस की शुरुआत करके, हम इसे एक समीकरण के रूप में लिख सकते हैं।
 आइए हम देखें कि क्या हम पाइप में इस हेड लॉस का अनुमान लगा सकते हैं क्योंकि यह वह घर्षण है जिसे दूर करना है जब आप किसी भी पाइप के माध्यम से किसी भी तरल को स्थानांतरित करना चाहते हैं और इससे आपको तरल पंप करने के लिए आवश्यक पंप शक्ति का अनुमान लगाना संभव होगा।
 तो आइए देखें कि क्या हम घर्षण के कारण इस हेड लॉस का अनुमान लगा सकते हैं।
 इसमें जाने से पहले, निश्चित रूप से हम इस प्रवाह के लिए लागू निरंतरता समीकरण का उपयोग कर सकते हैं जो A1V1=A2V2 के बराबर है, प्रवाह दर समान है।
 इसलिए यह स्थिर क्षेत्र पाइप या स्थिर क्षेत्र वाहिनी है, इसलिए V1=V2 के बराबर है।
 तो क्या होता है ये 2 पद बाहर निकल जाते हैं और अगर हम एक क्षैतिज पाइप पर विचार करते हैं, तो इसका मतलब है कि हम कुछ ऊपर पंप नहीं कर रहे हैं।
 फिर आपको ऊपर या नीचे पंप करने के लिए काम करना होगा, हम उस तरह से गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव की उपेक्षा करते हैं और फिर देखते हैं कि पाइप घर्षण का क्या योगदान है।
 इसलिए यदि हम क्षैतिज पाइप पर विचार करते हैं तो हम इस Y1 और Y2 को हटा सकते हैं और हमें hf के साथ छोड़ दिया जाता है।
 के बराबर है।
 अब यह मूल रूप से घर्षण के कारण हेड लॉस है।
 अब अगर आपको आखिरी स्लाइड में हमारे पॉइज़ुलल फ्लो उदाहरण में याद है जो हमें के लिए एक अभिव्यक्ति के रूप में मिला है।
 हमें लेमिनार प्रवाह के मामले के लिए के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति मिली, हम उस समीकरण का उपयोग कर सकते हैं, इसलिए हम हेगन-पॉइज़्यूल प्रवाह समाधान का उपयोग कर सकते हैं जो कहता है कि औसत वेग है।
 तो आप यहां इस अभिव्यक्ति का उपयोग कर सकते हैं, आपको घर्षण नुकसान मिलता है।
 अब आप इस समीकरण से को बदल सकते हैं और इसे यहां प्लग कर सकते हैं और घर्षण के कारण आपको हेड लॉस के लिए एक अभिव्यक्ति मिलती है।
 पाइप प्रवाह में घर्षण नुकसान का अनुमान लगाने के लिए यह बहुत महत्वपूर्ण संबंध है।
 यह उन अलग-अलग रूपों में फिर से लिखा जा सकता है, जो यहां दिखाई दे रहे हैं।
 तो आप यहाँ से बाहर निकाल सकते हैं क्योंकि यह हमारे लिए एक परिचित शब्द है मूल रूप से पाइप के लिए रेनॉल्ड्स नंबर है।
 इसलिए हम इसे अब लिख सकते हैं क्योंकि यह पहला वास्तव में घर्षण कारक के रूप में नामित है।
 हम घर्षण के कारण हेड लॉस को लिख सकते हैं।
 यह घर्षण कारक के लिए अभिव्यक्ति लिखने का एक बहुत ही कॉम्पैक्ट तरीका है।
 इसलिए मूल रूप से आप अभी देखते हैं कि लेमिनार प्रवाह के लिए वास्तव में हमारे पास क्या है।
 हमने वास्तव में पाइप प्रवाह में घर्षण के कारण हेड लॉस के लिए एक अभिव्यक्ति व्युत्पन्न की है।
 इस समीकरण को डार्सी-वीस्बैक समीकरण (Darcy-Weisbach equation) के रूप में जाना जाता है और यह इस व्युत्पत्ति से पहले आया था।
 यह आयामी विश्लेषण का उपयोग करने पर आया था कि ये पैरामीटर घर्षण के कारण हेड लॉस को प्रभावित करेंगे।
 अब इस सारे विवरण में क्या परिवर्तन मुख्य रूप से घर्षण कारक () है, घर्षण कारक एक लेमिनार प्रवाह के मामले में के बराबर है।
 तो एक लेमिनार प्रवाह के लिए हम कहते हैं कि घर्षण कारक केवल रेनॉल्ड्स नंबर पर निर्भर करता है।
 एक तरह से यह रेनॉल्ड्स नंबर से विपरीत है।
 उच्च रेनॉल्ड्स नंबर उच्च प्रवाह दर आम तौर पर उच्च प्रवाह दर उच्च वेग बोलती है, इसलिए इसके लिए आपके पास कम मान, घर्षण कारक का कम मान होगा।
 बेशक यह हेड लॉस V2 के लिए आनुपातिक है और इस रेनॉल्ड्स नंबर में ρVD है।
 तो हेड लॉस मूल रूप से वेग के लिए आनुपातिक है।
 यदि आप वेग बढ़ाते हैं, तो यह हमारा सामान्य ज्ञान भी है, हमारी समझ भी, यदि हम एक पाइप के माध्यम से वेग या प्रवाह दर बढ़ाते हैं तो घर्षण नुकसान बढ़ेगा, लेकिन घर्षण कारक कम हो जाता है।
 जब हम डार्सी-वेस्बैक समीकरण के संदर्भ में लिखते हैं, तो यह चर्चा केवल लेमिनार प्रवाह तक ही सीमित नहीं है, इसी तरह की अभिव्यक्ति, हालांकि हम विश्लेषणात्मक रूप से प्राप्त नहीं कर सकते हैं जैसे हमने लेमिनार प्रवाह के लिए किया था, लेकिन अभिव्यक्ति एक अशांत प्रवाह के लिए भी लागू होती है।
 ।
 केवल एक चीज है अशांत प्रवाह मे घर्षण कारक न केवल रेनॉल्ड्स नंबर का एक फ़ंक्शन है, यह का एक फ़ंक्शन है, क्या है।
 यह मूल रूप से पाइप का खुरदरापन है।
 तो व्यास के साथ गैर-आयामी द्वारा विभाजित पाइप की खुरदरापन का आयाम क्या है, यह है कि घर्षण कारक एक अशांत प्रवाह के लिए कैसे बदलता है।
 लेमिनार प्रवाह के लिए यह है।
 अब हम रेनॉल्ड्स नंबर के संबंध में इस घर्षण कारक को अंकित करते हैं।
 लेमिनार भाग के लिए जैसा कि हम यहां प्राप्त करते हैं, यह है और निश्चित रूप से आप देख सकते हैं कि हमने यहां एक लॉग स्केल (log scale) का उपयोग किया है, इसलिए यह एक लघुगणक (logarithmic) है, यह रैखिक स्केल नहीं है, घर्षण कारक के लिए लंबवत स्केल है, और रेनॉल्ड्स नंबर के लिए क्षैतिज, दोनों लॉगरिदमिक स्केल हैं क्योंकि हम रेनॉल्ड्स नंबर की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए यह प्लॉट करना चाहते हैं और रेनॉल्ड्स नंबर की इस विस्तृत श्रृंखला के दौरान घर्षण कारक की भिन्नता भी बहुत है।
 इसलिए जब हमें ऐसा कुछ प्लॉट करना होता है, तो ऐसी चीजें जहां बदलाव बहुत अधिक होता है, तब उन्हें लॉग स्केल में प्लॉट करना ज्यादा आसान होता है।
 तो यह पहला भाग है, हालांकि यह रैखिक दिखता है, यह वास्तव में रैखिक नहीं है, यह रैखिक दिख रहा है क्योंकि यह एक लॉग प्लॉट में प्लॉट किया गया है।
 तो यह पहला हिस्सा है, लेमिनार वाला हिस्सा, इस तरह से रेनॉल्ड्स नंबर बढ़ने के साथ घर्षण कारक कम हो जाता है।
 यदि आप अशांत प्रवाह में जाते हैं, तो क्या होता है? चिकनी पाइप के लिए अशांत प्रवाह, आपके पास इस तरह की भिन्नता है।
 तो अशांत प्रवाह में जाने से पहले हम इस क्षेत्र को भी देख सकते हैं, इसलिए यह क्षेत्र मूल रूप से 2300 से 4000 तक का एक संक्रमण क्षेत्र है जो एक छोटा क्षेत्र है, जब लेमिनार से अशांत प्रवाह में संक्रमण होता है।
 और जैसा कि हम प्रवेश लंबाई के मामले में पहले की तरह निरीक्षण करते हैं, जैसे ड्रैग स्थिरंक के मामले में, हम यहां देख सकते हैं, यहां तक ​​कि घर्षण कारक के मामले में भी घर्षण कारक के मान में अचानक परिवर्तन होता है जब प्रवाह लेमिनार से अशांत मे परिवर्तन होता है।
 इससे पता चलता है कि अशांत प्रवाह लेमिनार प्रवाह से काफी अलग है।
 यह सुचारु रूप से संक्रमण नहीं है, इसलिए उन्हें अलग से निपटा जाना चाहिए।
 अब निश्चित रूप से हम क्यों के लिए गुणात्मक स्पष्टीकरण दे सकते हैं, इसलिए यदि आप यहां देखते हैं, तो वास्तव में घर्षण कारक बढ़ जाता है यदि आप अशांत प्रवाह में जाते हैं।
 इसका एक कारण यह है कि वेग प्रोफ़ाइल है।
 यदि आप दीवार के पास वेग के ग्रेडिएंट को देखते हैं, तो एक अशांत प्रवाह के मामले में अधिक होगा क्योंकि एक वेग प्रोफ़ाइल की विशेषता है, यह अधिक सपाट है, यह अधिक पूर्ण प्रोफ़ाइल है।
 तो उच्च वेग प्रवणता के लिए अपप्रपण तनाव बढ़ जाएगा, क्योंकि अपप्रपण तनाव, वेग प्रवणता के लिए आनुपातिक है।
 तो हमारे पास उच्च घर्षण कारक भी है।
 बेशक यह चिकने पाइप के लिए अशांत प्रवाह के मामले में 0 के करीब है, जैसा कि आप को बढ़ाते हैं, यह बदल जाता है।
 यदि आप घर्षण कारक के उच्च मानों पर जाते हैं तो के उच्च मूल्यों में खुरदरापन, आपको घर्षण कारक के उच्च मान मिलते हैं।
 और जैसा कि आप यहाँ देखते हैं कि वक्र भी अधिक से अधिक सपाट हो जाता है।
 वास्तव में इस क्षेत्र में यह बहुत सपाट हो जाता है।
 इसका मतलब यह है कि प्रवाह के इस क्षेत्र में अब घर्षण कारक रेनॉल्ड्स नंबर से लगभग स्वतंत्र है।
 देखें कि रेनॉल्ड्स नंबर बदल रहा है, लेकिन घर्षण कारक स्थिर रहता है।
 इसलिए यह किसी खुरदरे पाइप के लिए रेनॉल्ड्स नंबर पर निर्भर नहीं करता है।
 यह मुख्य रूप से अशांत प्रवाह में खुरदरे पाइप के लिए निर्भर करता है।
 यदि हम उच्च खुरदरेपन के लिए जाते हैं, तो इस मामले में आप पूरे रेनॉल्ड्स नंबर क्षेत्र में देखते हैं, आप देखते हैं कि भिन्नता रेनॉल्ड्स नंबर के संबंध में सूक्षम है।
 तो केवल उच्च खुरदरापन पाइप के लिए केवल एक चीज, जो घर्षण कारक को प्रभावित करती है, वह खुरदरापन है, इन्हें रफ पाइप कहा जाता है।
 इसलिए जो कारक घर्षण या घर्षण कारक को बदलता है, वह मूल रूप से पाइप का खुरदरापन है।
 यदि घर्षण कारक लगभग रेनॉल्ड्स नंबर के साथ स्थिर रहता है, तो आप देख सकते हैं कि यदि f डार्सी-वेस्बैक समीकरण में स्थिर है, तो इसका मतलब है कि हेड लॉस द्विघात (quadratic) है या V2 के समानुपाती है।
 तो इसका मतलब है कि लेमिनार प्रवाह के मामले में यह V था, हेड लॉस, यह नहीं है, यह मूल रूप से घर्षण कारक है, इसलिए हेड लॉस आनुपातिक था, अब यह V2 के समानुपाती है।
 इस क्षेत्र के बीच में, इसलिए इस क्षेत्र में हेड लॉस V के समानुपाती है और इस क्षेत्र के बीच यह होगा, V का घातांक 1 से 2 के बीच होगा।
 इसलिए यह एक पाइप प्रवाह के मामले में मूल रूप से घर्षण कारक का रेनॉल्ड्स नंबर के संबंध मे हेड लॉस का अनुमान लगाने के लिए एक व्यापक प्रतिनिधित्व है।
 वृद्धि की दिशा और अब हम इस तरह के आरेख का उपयोग इंजीनियरिंग गणना करने या पाइप प्रवाह के मामले में हेड लॉस का अनुमान लगाने के लिए बहुत अच्छी तरह से कर सकते हैं।
 और इस आरेख को मूडी चार्ट (Moody chart) के रूप में भी जाना जाता है जिसे मूडी द्वारा सारणीबद्ध और प्लॉट किया गया था और इसीलिए इसका नाम उसके नाम पर रखा गया है।
 यह एक डिज़ाइन के रूप में बहुत उपयोगी है जिसे आप उद्योग में डिज़ाइन करने के लिए एक उपकरण के रूप मे जानते हैं क्योंकि आप अपने पंपों का चयन कर सकते हैं, आप अपने पाइपों का चयन कर सकते हैं, आप अपनी प्रवाह दर का चयन कर सकते हैं, आप मूडी चार्ट का उपयोग करके अपने पाइप की खुरदरापन को निर्दिष्ट कर सकते हैं।
 यदि आप पाइप की खुरदरापन को जानते हैं तो आप दबाव हेड (pressure head) का पता लगा सकते हैं जो कि आपका पंप उत्पन्न कर सकता है।
 आप यह जान सकते हैं कि किसी विशेष पंप का उपयोग करने के लिए प्रवाह दर क्या है।
 इसलिए इसमें बहुत सारे अनुप्रयोग हैं।
 विशेष रूप से अशांत प्रवाह क्षेत्र प्रयोगात्मक सहसंबंध से प्राप्त होता है।
 लेमिनार प्रवाह के लिए भी प्रयोग वक्र के बहुत करीब आता है।
 यह विश्लेषणात्मक समाधान है, लेकिन यह हिस्सा पूरी तरह से प्रायोगिक डेटा पर आधारित है और एक डिज़ाइन इंजीनियर के लिए एक अलग चीज़ डिज़ाइन करने के लिए उपयोगी है जिसका मैंने अभी उल्लेख किया है।
 तो यह वास्तव में हमें 4 वें व्याख्यान के अंत में लाता है और इस पाठ्यक्रम का पहला मॉड्यूल है जो द्रव गतिकी पहलुओं से निपटता है।
 पाठ्यक्रम का उत्तरार्द्ध टर्बो मशीनों के पहलुओं से निपटेगा अगले 4 सप्ताह में आपको डॉ धीमान चटर्जी द्वारा पढ़ाया जाएगा।
 वह आपको टर्बो मशीनों की अवधारणाओं पर सिखाएंगे और मुझे यकीन है कि आप तरल गतिकी की मूल बातें जान पाएंगे जो आप इस पाठ्यक्रम के पहले 4 सप्ताह के दौरान इस पाठ्यक्रम मे सीखा है जो उत्तरार्ध में उपयोगी होगा और यह आपके लिए एक उन्नत स्तर के तरल गतिकी पाठ्यक्रम करने के लिए एक कदम के रूप में कार्य करेगा।
 तो यह हमें पहले मॉड्यूल के अंत में लाता है, और मैं इस वीडियो को देखने के लिए धन्यवाद देता हूं और द्रव गतिशीलता और टर्बो मशीनों को सीखने के लिए आपके प्रयास में शुभकामनाएं देता हूं।
 धन्यवाद।