ಮೂರು ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ - ಕೆಂಪು , ಹಸಿರು ಮತ್ತು ನೀಲಿ .ಇವುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಎಷ್ಟು ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ?ಕೆಂಪು , ಹಸಿರು , ನೀಲಿಕೆಂಪು , ನೀಲಿ , ಹಸಿರುಹಸಿರು , ಕೆಂಪು , ನೀಲಿಹಸಿರು , ನೀಲಿ , ಕೆಂಪುನೀಲಿ , ಕೆಂಪು , ಹಸಿರುನೀಲಿ , ಹಸಿರು , ಕೆಂಪುಇವುಗಳನ್ನು ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳ ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು (ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಷನ್ಸ್ ) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ .ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಮಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ .ಒಂದು ಚೀಲದಲ್ಲಿ n ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ .ಇವುಗಳಲ್ಲಿ k ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ ಸಾಲಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದರೆ ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ?ಮೊದಲ ಚೆಂಡನ್ನು n ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ದುಕೊಂಡು ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ .ಎರಡನೇ ಚೆಂಡನ್ನು ( n - 1 ) ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು .ಹೀಗೇ ಮುಂದುವರೆಸಿದರೆ ಕೊನೆಯ ಚೆಂಡನ್ನು ( n - ( k - 1 ) ) ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು .ಹೀಗಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಉದಾಹರಣೆಗೆ n ಎಂಬುದು 5 ಮತ್ತು k ಎಂಬುದು 3 ಆಗುತ್ತದೆ .ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನೂ ಆರಿಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದರೆ ಒಟ್ಟು ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ .ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ n ಅಥವಾ n !ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ .ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು 3 ! ಅಥವಾ ಆರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು .ಈ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು 1,2,3 ಎಂದು ಕರೆದರೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು - ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 3 , 2 ) , ( 2 , 1 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 ) , ( 3 , 1 , 2 ) , and ( 3 , 2 , 1 ) .ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ಎಂಬ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ತನ್ನ ಲೀಲಾವತೀಯಮ್ ಎಂಬ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಬರೆದಿದ್ದಾನೆ ( ಕ್ರಿ.ಶ .1150 ) .ಫೇಬಿಯನ್ ಸ್ಟೆಡ್ ಮನ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞ 1677ರರಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಕುರಿತು ಬರೆದಿದ್ದಾನೆ .ಐದು ಅಂಕಿಗಳ ಈ ಕ್ರಮಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ - 2 5 4 3 1 .ಇದನ್ನು 1 2 3 4 5 ಎಂಬ ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆದಾಗ ನಮಗೆ ತಿಳಿದು ಬರುವ ಅಂಶ ಇದು - 1 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 2 ಇದೆ ; 2 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 5 ಇದೆ ; 5 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 1 ಇದೆ .ಇವನ್ನೂ ( 1 2 5 ) ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ .ಇದೇ ರೀತಿ 3 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 4 ಮತ್ತು 4 ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 3 ಇದೆ .ಇದನ್ನು (3 4) ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು .ಹೀಗಾಗಿ 2 5 4 3 1 ಎಂಬ ಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ( 1 2 5 ) ( 3 4 ) ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು .ಇದನ್ನು ಚಕ್ರ ನಿರೂಪಣೆ ಅಥವಾ ಸೈಕಲ್ ನೋಟೇಶನ್ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ .
