Karnaugh maps-jheob0v0CU4

बेसिक इलेक्ट्रॉनिक्स में आपका स्वागत है।
 इस कक्षा में, हम दिए गए लॉजिकल फ़ंक्शन(Logical function) को कम करने के लिए संक्षेप में करनौघ मैप(karnaugh Map)या K-मैप(map)के उपयोग को देखते हैं।
 सबसे पहले, हम देखेंगे कि K-मैप(map) का निर्माण कैसे किया जाता है; फिर हम संबंधित K-मैप(map) से एक लॉजिकल (Logical) फ़ंक्शन(function) का मिनिमल(Minimal) रूप लिखने का तरीका देखेंगे।
 अंत में, हम कुछ उदाहरण लेंगे जिसमें लॉजिकल (Logical) फ़ंक्शन(function) की ट्रुथ टेबल(truth table) में वैल्यूज(Values) की परवाह नहीं है।
 चलिए शुरू करते हैं अब हम लॉजिकल फ़ंक्शन(Logical function) को कम करने और करनौघ मैप(karnaugh Map) का उपयोग करने के लिए या K-मैप(map) नामक सरल तरीके पर चर्चा करेंगे।
 K-मैप(map)क्या है? यह एक लॉजिकल फ़ंक्शन(Logical function) की ट्रुथ टेबल(truth table) का प्रतिनिधित्व करता है।
 और हम K-मैप(map)के कई उदाहरण देखेंगे।
 K-मैप(map)का उपयोग प्रोडक्ट ऑफ सम(product Of sum) फार्म या सम ऑफ प्रोडक्ट फॉर्म (Sum Of Products form) के रूप में फ़ंक्शन(function) की मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।
 अब, हमारे पाठ्यक्रम में, हम ज्यादातर पहले 1 सम ऑफ प्रोडक्ट (Sum Of Products) के साथ सौदा करेंगे, लेकिन एक बार जब आप समझते हैं कि यह कैसे हो रहा है, तो आपको प्रोडक्ट ऑफ सम(product Of sum) K-मैप(map) को भी आसानी से लेने में सक्षम होना चाहिए।
 जो प्रश्न हमें स्वयं से पूछना चाहिए वह है; मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) क्या है? इसका उत्तर यहां दिया गया है: मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) मिनिमल(Minimal) टर्म(terms) के रूप में और प्रत्येक टर्म(term) में वेरिएबल (variable) की मिनिमल(Minimal) संख्या होती है, इसलिए मिनिमल(Minimal) इसका अर्थ है।
 अगला प्रश्न जो उठता है वह यह है कि प्रत्येक लॉजिकल फ़ंक्शन(Logical function) की एक अद्वितीय मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) है या नहीं।
 इसका जवाब ज्यादातर हाँ है, लेकिन कुछ फंक्शन्स(Functions) के लिए, एक से अधिक मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) होना संभव है।
 अब, हम मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) यों में क्यों रुचि रखते हैं, यही कारण है।
 कम गेट्स(gates) के साथ एक मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) को लागू किया जा सकता है और यही कारण है कि कार्यान्वयन सस्ता है।
 तो, आइए अब K-मैप(map)के एक उदाहरण पर नजर डालते हैं, यहाँ एक लॉजिकल फ़ंक्शन(Logical function) Y तीन वेरिएबल (variable) AB और C है, हमारे पास 1 यहां 1 1 1 है।
 और हमारे पास डोन्ट केयर स्थिति(Don't Care Condition) यहां है , और बाकी प्रविष्टियां 0. हैं।
 तो चलिए, हम इस मैप(map) को खींचना शुरू करते हैं, और देखते हैं कि इसका क्या अर्थ है।
 यह C है, और इसका मतलब है C यहाँ 0 है, C यहाँ 1 है।
 ये A और B के वैल्यूज(Values) के अनुरूप हैं; यहाँ A 0 है, B 0 है, A 0 है, B 1 है, A 1 है, B 1 है, A 1 है, B 0 है ।
 अगला चरण लॉजिकल फ़ंक्शन(Logical function) Y को इस तालिका से इस मानचित्र पर मैप(map) करना है।
 तो, हम ऐसा करते हैं।
 हम इसकी शुरुआत यहां 1 से करेंगे।
 इस प्रविष्टि 0 0 के लिए A, B क्या हैं? इसलिए यह कॉलम यहाँ है।
 C क्या है जो 1 है, इसलिए यह यहां यह पंक्ति है? तो, हम इस बॉक्स के बारे में बात कर रहे हैं।
 तो, उसके जैसा यह 1 उस बॉक्स में जाएगा।
 और इसका क्या,AB 0 1 है, इसलिए यह कॉलम और C 0 है, इसलिए यह पंक्ति (row) है।
 तो, हम इस बॉक्स के बारे में बात कर रहे हैं।
 इस X के बारे में क्या है, A B 1 0हैं, यह कॉलम, C 0 है, इसलिए यह पंक्ति है।
 तो, हम इस बॉक्स के बारे में बात कर रहे हैं।
 और यह आखिरी यहां A B 1 1 और C 1 है, इसलिए यह कॉलम और यह पंक्ति है।
 तो, जैसे ये बक्से यहां हैं।
 अब, उन बॉक्सों के बारे में क्या है जो अब तक नहीं भरे गए हैं, वे इन 0 प्राप्त करेंगे; और इसके साथ ही हमें यहां दिखाया गया हमारा पूरा K-मैप(map) मिल जाएगा।
 आइए अब हम कुछ अवलोकन करते हैं।
 एक हमने देखा कि एक K-मैप(map) ट्रुथ टेबल(truth table) के समान है जिसमें उसी तरह की जानकारी है, जिस तरह से प्रविष्टियों की व्यवस्था है।
 दूसरा और यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु है, यदि आप इस बिंदु को याद नहीं करते हैं तो परिणाम विनाशकारी हो सकते हैं।
 इसलिए, हमें इस पर बहुत ध्यान से ध्यान देने की आवश्यकता है।
 K- मैप में, आसन्न पंक्तियाँ या कॉलम केवल एक वेरिएबल (variable) में भिन्न होते हैं।
 उदाहरण के लिए, कॉलम AB 0 1 के बराबर से जाने में - यह एक01 से 1 1 के बराबर हो, केवल एक परिवर्तन है और यह परिवर्तन वेरिएबल (variable)A में है।
 इसी तरह, जब हम 1 1 से 1 0 तक जाते हैं, तो B में केवल एक परिवर्तन और इसी तरह से।
 यहाँ एक K- नक्शा है जिसमें चार वेरिएबल (variable) हैं।
 तो, A, B, C और D का एक फ़ंक्शन(function) Y है और यहां संबद्ध K-मैप(map) है।
 आइए हम देखें कि यह कैसे काम करता है।
 ये मान 0 0 0 1 1 1 आदि A और B के अनुरूप हैं।
 ये मान C और D. के अनुरूप हैं और जैसा कि हम एक कॉलम से दूसरे कॉलम पर जाते हैं, हम देखते हैं कि हमने पहले उल्लेख किया है कि उदाहरण के लिए केवल एक ही परिवर्तन है, से 0 0 से 0 1, B बदल जाता है, लेकिन A नहीं से 0 1 से 1 1, A बदलता है, लेकिन B नहीं और इसी तरह से।
 इसी तरह, जैसे हम एक पंक्ति से दूसरी पंक्ति में जाते हैं, केवल 0 से 0 से 1 तक जाने वाला एक परिवर्तन होता है, D 0 से 1 तक बदलता है, लेकिन C नहीं, आदि ।
 आइए अब इस फॉर्मेट(Format) से Y की मैपिंग को इस फॉर्मेट(Format) में कुछ प्रविष्टियों के लिए देखें।
 उदाहरण के लिए, इस पर विचार करें।
 A और B क्या हैं - 0 0, C और Dक्या हैं - 0 1. तो, हमारे पास A B - 0 0 और C D - 0 1. तो, हमारे पास यह कॉलम और यह पंक्ति है और वह जगह है जहां 1 जाता है।
 इस X को उदाहरण के लिए लेते हैं, हमारे पास AB 1 0 के बराबर है, और हमारे पास 0 1 के बराबर CD है।
 इसलिए, AB 1 1 के बराबर यह कॉलम है, और CD 0 1 के बराबर यह पंक्ति है और यही कारण है कि हम हैं वहाँ है कि X वहाँ आदि।
 आप अन्य प्रविष्टियों की भी जाँच कर सकते हैं।
 आइए अब हम एक एकल टर्म(term) के साथ फंक्शन्स(Functions) के कुछ उदाहरणों को देखें जैसे कि यह एक है।
 तो, यह एक एकल प्रोडक्ट टर्म(Products term) है, यह A, B, C बार और D बार का ऐण्ड ऑपरेशन(AND Operation) है।
 और जब यह 1 के बराबर, 1 के लिए A B 1 1 के बराबर है और C D 0 0 के बराबर है, तो वह कॉलम और वह पंक्ति, जहां यह 1 दिखाई देगा।
 आइए एक और प्रोडक्ट टर्म(Products term) X 2 पर विचार करें, अब इस टर्म(term) के केवल तीन वेरिएबल (variable) A, C और D. हैं और X 2, 1 है, यदि A 0 है; इसका मतलब है, दो कॉलम क्योंकि A यहाँ 0 है, A यहाँ भी 0 है, इसलिए ये दो कॉलम हैं।
 और C D क्या है, C D 0 1 होगी यह पंक्ति है।
 तो, इसलिए, हमारे पास दो 1 है।
 आइए हम एक और उदाहरण लेते हैं X 3 के बराबर A और Cयह एक और प्रोडक्ट टर्म(Products term), एक एकल प्रोडक्ट टर्म(Products term) है।
 X 3 कब 1 के बराबर है? जब A 1 है और C 1 है; इन दो पंक्तियों में A 1 है और C इन दो पंक्तियों में 1 है, और इसलिए हमारे यहाँ चार 1 है।
 अब, हम कुछ अवलोकन करते हैं जो इस प्रकार के फंक्शन्स(Functions) से संबंधित हैं, जहां फ़ंक्शन(function) एक एकल प्रोडक्ट टर्म(Products term) है, लेकिन विभिन्न प्रकार के वेरिएबल (variable) के साथ।
 यहां, हमारे पास चार वेरिएबल (variable) हैं, यहां हमारे पास तीन वेरिएबल (variable) हैं, और यहां हमारे दो वेरिएबल (variable) हैं।
 यहाँ एक तालिका है जो इन फंक्शन्स(Functions) में वेरिएबल (variable) की संख्या और 1 की संख्या को K-मैप(map) में प्रदर्शित करती है।
 अगर हमारे पास इस मामले में चार वेरिएबल (variable) हैं, तो हमारे पास 1 1 है।
 यदि हमारे पास इस मामले में तीन वेरिएबल (variable) हैं, तो हमारे पास एक बार 21 है जो कि उस तरह से दो 1 है।
 और अगर इस मामले में दो वेरिएबल (variable) हैं, तो हमारे पास K-मैप(map) में 22 या 4, 1 है उसके जैसा।
 इसलिए, इनमें से प्रत्येक मामले में, 1 की संख्या 2 की घात(power of 2) द्वारा दी गई है और यह याद रखने के लिए एक बहुत महत्वपूर्ण बिंदु है।
 तो, यह 1 की संख्या के बारे में था और अब हम इन 1 की स्थिति के बारे में बात करना चाहते हैं।
 K-Maps में ये 1 कैसे दिखाई देते हैं? और अगर हम इन उदाहरणों को देखें तो हमें पता चलता है कि प्रत्येक मामले में 1 को एक आयत(rectangle) द्वारा संलग्न किया जा सकता है।
 तो, यहाँ एक आयत(rectangle) है, यहाँ एक आयत(rectangle) है और निश्चित रूप से, यह केवल एक प्रविष्टि है।
 अब, ये 1 एक दूसरे से सटे हुए दिखाई देते हैं और यहाँ 1 नहीं और दूसरा यहाँ, ताकि हम इन दोनों संस्थाओं(entities ) के चारों ओर एक आयत(rectangle) बना सकें और यही बात इन चारों के बारे में भी बताती है, इसलिए यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु है ।
 आइए हम इसे देखें; एक ही उदाहरण एक बार फिर और उन बिंदुओं को संक्षेप में प्रस्तुत करता है जो हमने पिछली स्लाइड में किए थे।
 यदि हमारे पास एक फ़ंक्शन(function) है जो इन सभी के रूप में एक एकल प्रोडक्ट टर्म(Products term) है तो हम K-मैप(map) के बारे में दो बिंदु बना सकते हैं।
 बिंदु संख्या 1, 1 की संख्या 2 की घात(power of 2) द्वारा दी गई है - 20 , 21 तक बढ़ाएं, 22 और बिंदु संख्या 2, 1 की स्थिति A C है कि हम उनके चारों ओर एक आयत(rectangle) बना सकते हैं।
 अब, इन बातों को ध्यान में रखते हुए, हम आगे बढ़ते हैं।
 आइए अब एक फ़ंक्शन(function) Y पर विचार करें, जो कि X 1, X 2 और X 3 का योग है, जो कि X 1, X 2 और X3 का OR ऑपरेशन है।
 Y का मैप(map) कैसा दिखेगा जैसे Y 1 है अगर X 1 1 है या X 2 1 है या X 3 1 है।
 इसलिए, अब हमें बस इतना करना है कि इन तीन नक्शों में 1 की स्थिति को देखें और केवल उन 1 को Y के मैप(map) में दोहराएं, यह उतना ही सरल है ।
 उदाहरण के लिए, यह 1, हम यहाँ इन दो 1 के यहाँ जाएँगे, और ये चार 1 यहाँ जाएँगे और यह हमें फंक्शन Y के लिए मैप(map) देता है।
 अब हम उस वास्तविक समस्या पर आते हैं, जिसमें हम रुचि रखते हैं।
 दिए गए K- मैप(map) से मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) की पहचान करने में रुचि रखते हैं।
 तो, इस Y को एक उदाहरण के रूप में लें, हमें यह मैप(map) दिया गया है।
 और इस मैप(map) से, हम फ़ंक्शन(function) के लिए मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) ढूंढना चाहते हैं।
 और हम मिनिमल(Minimal) से क्या मतलब रखते हैं, हमारे पास प्रत्येक टर्म(term) में सबसे छोटी संख्या और वेरिएबल (variable) की सबसे छोटी संख्या होनी चाहिए, इसका मतलब है, हमें 2 सबसे छोटी आयतों की पहचान करनी चाहिए जिनमें 2k 1 से प्रत्येक तक बड़ा करना है।
 आइए देखें कि इस विशेष उदाहरण के संदर्भ में इसका क्या अर्थ है।
 तो, यह K-मैप(map) हमें दिया गया है और हमें संबंधित मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) खोजने के लिए कहा गया है।
 हम इसके बारे में कैसे जाते हैं, हम पहले आयतों की पहचान करते हैं जिनमें केवल 1 है और कोई 0 नहीं है, जैसे कि 1 की संख्या 2 की घात(power of 2) है।
 इसलिए, हम दो 1 या चार 1 या आठ 1 के साथ आयतों की पहचान करते हैं और इसी तरह।
।
 अब हम जानते हैं कि प्रत्येक आयत(rectangle) के लिए हम एक प्रोडक्ट टर्म(Products term) लिख सकते हैं जिसे हमने अभी तक नहीं देखा है कि यह कैसे करना है।
 इसलिए, तीन टर्म(term) हैं क्योंकि हमारे यहां तीन आयत(rectangle) हैं, यह निश्चित रूप से, एक आयत(rectangle) है जिसमें एक टर्म(term) है, इसलिए एक आयत(rectangle), दूसरा आयत(rectangle) तीसरा आयत(rectangle)।
 इसलिए, हम इस मानचित्र से जानते हैं कि हमारे पास तीन टर्म(term) हैं और फिर हम इनमें से प्रत्येक टर्म(term) को लिखने के लिए आगे बढ़ते हैं और इससे हमें मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) मिलती है।
 इसलिए, हमें कुछ उदाहरणों के लिए ऐसा करना चाहिए और फिर यह बहुत स्पष्ट हो जाएगा।
 तो, यहाँ हमारा पहला उदाहरण है, और हम इस K-मैप(map) द्वारा दिए गए इस लॉजिकल (Logical) फ़ंक्शन(function) Y के लिए मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) खोजना चाहते हैं।
 तो, पहला सवाल क्या है, हमने पूछा कि हम यह पता लगाना चाहते हैं कि कितने 1 हैं; और हम देखते हैं कि दो 1 हैं।
 और इस मामले में वहाँ आसन्न हुआ, तो हम इन दोनों की तरह एक आयत(rectangle) को कवर(cover) कर सकते हैं।
 और चूँकि 21 है, 1 का आयताकार बनाने से हम उन्हें जोड़ सकते हैं।
 चूंकि आयत(rectangle) सभी 1 को कवर करता है जो कि K-मैप(map) में हैं - ये दो 1 के हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि लॉजिकल (Logical) फ़ंक्शन(function) Y एक एकल प्रोडक्ट(Products) अवधि द्वारा दर्शाया गया है।
 अगला सवाल यह है कि प्रोडक्ट टर्म(Products term) क्या है? आइए हम कुछ अवलोकन करते हैं।
 एक - प्रोडक्ट टर्म(Products term) 1 है यदि B 1 के बराबर है और C 0. के बराबर है।
 और हम देख सकते हैं कि K-मैप(map) से ये दो 1 हैं जो हमारे प्रोडक्ट टर्म(Products term) से कवर(cover) हैं; इसके लिए B का मान 1 है; इसके लिए 1 का भी B का मान 1है।
 इन दोनों मामलों में C के बारे में क्या है, C 0 है और इसी लिए हम कहते हैं कि प्रोडक्ट टर्म(Products term) 1 है, यदि B 1 के बराबर है और C, 0 के बराबर है तो वह है हमारा पहला अवलोकन।
 दूसरा - प्रोडक्ट टर्म(Products term) Aपर निर्भर नहीं करता है; और हम यहां से देख सकते हैं; वह प्रोडक्ट टर्म(Products term) 1 है, यदि A 0 है; यह 1 भी है, अगर A 1. है, तो स्पष्ट रूप से यह A पर निर्भर नहीं करता है।
 एकमात्र प्रोडक्ट टर्म(Products term), जो इन सभी स्थितियों को संतुष्ट करता है वह है B और C बार।
 यह प्रोडक्ट टर्म(Products term) 1 है यदि B 1 है और C 0 है, और यह A. पर निर्भर नहीं करता है और इस मामले में, यह प्रोडक्ट टर्म(Products term) लॉजिकल (Logical) फ़ंक्शन(function) Y का प्रतिनिधित्व करता है, हम कह सकते हैं कि Y, BC बार के बराबर है।
 और हम देख सकते हैं कि यहाँ से, प्रोडक्ट टर्म(Products term) 1 है यदि A 0 है; यह 1 भी है, अगर A 1. है, तो स्पष्ट रूप से यह A पर निर्भर नहीं करता है।
 अब, यह पता चला है कि इन सभी स्थितियों को संतुष्ट करने वाला एकमात्र प्रोडक्ट टर्म(Products term) BC बार है; BC बार 1 है अगर B 1 है और C 0 है; और BC बार A पर निर्भर नहीं करता है और इस विशिष्ट उदाहरण में, जिस प्रोडक्ट टर्म(Products term) का हमने पता लगाया है वह लॉजिकल (Logical) फ़ंक्शन(function) Y ही है, क्योंकि जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है कि Y में एक एकल प्रोडक्ट टर्म(Products term) है क्योंकि यह एक एकल आयत(rectangle) सभी 1 को कवर करता है K-मैप(map) में, और इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि Y के बराबर BC बार है।
 अगला उदाहरण, एक बार फिर हमारे पास दो १ है, यह एक और यह एक ।
 और सवाल यह है कि क्या हम इन दोनों को मिला सकते हैं, हालांकि इसका उत्तर यह है कि 1 की संख्या 2 की घात(power of 2) है, उन्हें जोड़ा नहीं जा सकता क्योंकि वे आसन्न नहीं हैं कि वे आयत(rectangle) नहीं बनाते हैं।
 केवल आयत(rectangle) के बारे में हम सोच सकते हैं कि इनमें से कौन दो इन 1 हैं, यह एक है, लेकिन फिर उस स्थिति में भी इसमें 0 होंगे और निश्चित रूप से, कुछ ऐसा है जो हम नहीं चाहते हैं।
 तो, फिर हमारे पास दो टर्म(terms) के साथ एक फ़ंक्शन(function) है जिसे संयुक्त नहीं किया जा सकता है और उनमें से प्रत्येक एक मिन्टर्म(minterm) है।
 यह माइनमार्ट क्या है? यह 1 है जब A 1 है, B 1 है और C 0 है, इसलिए यह ए BC बार है।
 यह मिन्टर्म(minterm) क्या है, यह 1 है, जब A 1 है, B 0 है, और C 1 है, इसलिए यह A B बार C होगा।
 तो, हमारा फ़ंक्शन(function) इस टर्म(term) के साथ-साथ यह टर्म(term) है जैसे कि A BC बार प्लस A B बार C , और इसे और कम नहीं किया जा सकता है।
 अगला उदाहरण, एक बार फिर हमारे पास दो 1 है, एक यहाँ और एक यहाँ है।
 और सवाल यह है कि क्या इन दो 1 को मिलाया जा सकता है।
 अब, यह हमें लगता है कि हम इन दोनों को शामिल करने के लिए इन 0 को शामिल किए बिना 1 आयत(rectangle) भी नहीं बना सकते हैं, जो हमारे पास है और इसलिए उत्तर ऐसा लगता है कि 1 को जोड़ा नहीं जा सकता है।
 लेकिन हमें एक चक्रीय फैशन में कॉलम के क्रम को बदलकर इस K-मैप(map) को फिर से तैयार करें, और देखें कि हमें क्या मिलता है।
 यहाँ संशोधित K- मैप है और हमने यहाँ क्या किया है हमने इस 1, 0 कॉलम को पहले 0 0 के बाद और फिर 1 1 से निकाला है, इसलिए 0 0 0 1 और 1 1. और इन दो प्रविष्टियों में से 1 0 है।
 यहाँ पर ये दोनों प्रविष्टियाँ इधर-उधर हुई हैं।
 इसलिए, ऐसा करने से हम वास्तव में उनके फ़ंक्शन(function) में बदलाव नहीं कर रहे हैं, यह फ़ंक्शन(function) अभी भी वही है, जो हमने किया है, K-मैप(map) में प्रविष्टियों को फिर से व्यवस्थित किया गया है।
 और अब हम देखते हैं कि यह एक दूसरे के बगल में आ गया है।
 तो, दो 1 वास्तव में आसन्न हैं और इस तरह संयुक्त हो सकते हैं।
 और वह टर्म(term) क्या है जो इस आयत(rectangle) से मेल खाता है जो यह पता लगाना आसान है।
 हम जानते हैं कि प्रोडक्ट टर्म(Products term) 1 है यदि B 0 है और यदि C 0 है, और यह A से स्वतंत्र है, क्योंकि A यहाँ 1 है, और A 0 यहाँ है।
 तो, उस टर्म(term) को B बार C बार होना चाहिए।
 दूसरे टर्म(terms) में, कॉलम AB के बराबर 0 0 के बराबर है, और बाईं ओर K- मैप में A b के बराबर 1 0, वास्तव में लॉजिक(Logic) रूप से आसन्न हैं।
 तो, ये दो कॉलम 0 0 और 1 0 लॉजिक(Logic) रूप से आसन्न हैं।
 और इसका क्या मतलब है; इसका मतलब है, अगर हम इस कॉलम से इस कॉलम में जाते हैं, तो केवल एक वेरिएबल (variable) में परिवर्तन होता है।
 तो, A 0 से 1 में बदल रहा है, लेकिन B नहीं बदल रहा है।
 तो, इसलिए, ये लॉजिक(Logic) रूप से आसन्न हैं, हालांकि वे ज्यामितीय रूप से आसन्न नहीं हैं।
 और इसलिए हम इन 1 को जोड़ सकते हैं वास्तव में K-मैप(map) को फिर से परिभाषित किए बिना जैसे हमने यहां किया था।
 जब तक हम जानते हैं कि ये दो कॉलम(column) लॉजिक(Logic) रूप से सटे हुए हैं, तब तक हम एक आयत(rectangle) के बारे में सोच सकते हैं, जो इस 1 और यह 1 को कवर करती है. आइए हम इस उदाहरण को लेते हैं।
 हमारे पास कितने 1 हैं 1, 2, 3 और 4 हैं और ऐसा प्रतीत होता है कि ये चार 1 एक दूसरे से सटे हुए नहीं हैं, और इसलिए, इन्हें संयोजित नहीं किया जा सकता है।
 लेकिन वे वास्तव में आसन्न हैं, और ऐसा क्यों है क्योंकि यह कॉलम लॉजिक(Logic) रूप से इस कॉलम के निकट है।
 इसी तरह, यह पंक्ति इस पंक्ति के समीप है, और इसलिए वास्तव में एक आयत(rectangle) खींचना संभव है, जो इन चार 1 के सभी को कवर(cover) करेगा।
 और आपको निश्चित रूप से इस K-मैप(map) को फिर से तैयार करने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है, ताकि ये चार 1 एक गुच्छा(bunch) के रूप में दिखाई दें।
 तो, वह टर्म(term) क्या है जो इन चार 1 से मेल खाता है वह प्रोडक्ट टर्म(Products term) A से स्वतंत्र है, क्योंकि A यहाँ 0 है और A यहाँ 1 है, इसमें B बार है क्योंकि B यहाँ 0 है और B यहाँ 0 है।
 यह C से स्वतंत्र है, क्योंकि C यहाँ 0 है, C यहाँ 1 है; और इसमें D बार है, क्योंकि D यहाँ 0 है, D यहाँ 0 है।
 तो, वह प्रोडक्ट(Products) जिसे हम खोज रहे हैं वह X के बराबर B बार D बार है।
 एक और उदाहरण एक बार फिर हमारे पास चार 1 है 1, 2, 3, 4 ।
 और हम एक आयत(rectangle) के बारे में सोच सकते हैं जो इन दोनों को कवर कर सकता है दूसरा आयत(rectangle) जो इन दोनों को कवर कर सकता है।
 तो, हमारे फ़ंक्शन(function) को इस आयत(rectangle) के अनुरूप दो टर्म(terms) 1 के योग के रूप में लिखा जा सकता है और इस आयत(rectangle) के लिए यहां एक और संगत है, लेकिन हम वास्तव में इससे बेहतर कर सकते हैं क्योंकि यह कॉलम 0 0 इस कॉलम 1,0 के निकट है।
 और में वास्तव में, इन चार 1 को एक ही आयत(rectangle) के साथ जोड़ा जा सकता है।
 और जो टर्म(term) इस आयत(rectangle) से मेल खाता है, वह A से स्वतंत्र होना चाहिए, क्योंकि A 0 यहाँ, 1 यहाँ, इसमें B बार होना चाहिए क्योंकि B यहाँ 0 है।
 यह D से स्वतंत्र होना चाहिए, क्योंकि D 0 यहां 1 है; और इसमें C बार होना चाहिए क्योंकि C यहाँ 0 है, और जो हमें B बार C बार देता है।
 आइए अब हम इस उदाहरण पर विचार करें, जो एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात सामने लाता है।
 हमारे यहां तीन 1 है।
 यह 1, A BC बार D बार से मेल खाती है, यहां यह पहला टर्म(term) है।
 दूसरा टर्म(term)- यह 1 A BC बार D से मेल खाती है ।
 और तीसरा 1 से A बार BC बार D - तीसरा टर्म(term) यहां।
 अब, क्योंकि हमारे पास केवल तीन 1 है और 3, 2 की घात(power of 2) नहीं है, इन 1 को एक टर्म(term) में जोड़ा नहीं जा सकता है; हालाँकि, उन्हें दो टर्म(terms) में संयोजित किया जा सकता है और हम देखते हैं कि कैसे।
 हम वास्तव में, दो आयतों को एक जैसा कर सकते हैं और एक ऐसा जो इन तीन 1 को कवर करेगा, लेकिन फिर ध्यान दें कि यह 1 दो बार कवर हो रहा है, अब यह ठीक है? आइए हम X 1 को A BC बार D बार प्लस A BC बार D के रूप में लिखते हैं और हम इस टर्म(term) को दो बार लिखेंगे, इसलिए A BC बार D प्लस A BC बार D और फिर यह टर्म(term)।
 अब, इन दो टर्म(terms) में A BC बार आम(common) है और फिर हमें D प्लस D बार भी मिलता है; और इन दो टर्म(terms) में BC बार D आम(common) है, और फिर हमें A प्लस A बार मिलता है।
 अब, यह 1 है, यह भी 1 है और यह हमें इस मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) A BC बार प्लस BC बार D।
 और हमें वास्तव में इस बीजगणित के माध्यम से जाने की आवश्यकता नहीं है।
 हम बस निरीक्षण करके ऐसा कर सकते हैं।
 हम इन दो 1 को कवर करने के लिए दो आयतों को आकर्षित कर सकते हैं और दूसरे को इन दो 1 को कवर करने के लिए।
 और ऐसा प्रतीत होता है कि हमने इसे 1 दो बार कवर किया है, लेकिन ऐसा इसलिए है क्योंकि हम इस पहचान का उपयोग यहां करते हैं।
 यह टर्म(term) इसे Y कहता है, हमने Y प्लस Y के बराबर Y लिखा है और यह पूरी तरह से ठीक है।
 एक और उदाहरण, इन चार 1 के यहाँ एक ही टर्म(term) में क्लब किया जा सकता है; इन दो 1 को इन दो 1 के साथ जोड़ा जा सकता है, क्योंकि यह कॉलम(column) और यह कॉलम लॉजिक(Logic) रूप से आसन्न हैं।
 यदि हम केवल इन दो को ही जोड़ेंगे, और इन चारों को नहीं तो क्या होगा? इस आयत(rectangle) में केवल दो 1 होंगे और इसका मतलब होगा कि तीन वेरिएबल (variable) वाले प्रोडक्ट टर्म(Products term)।
 जबकि, इस आयत(rectangle) में बैंगनी रंग का चार 1 है और इसलिए, यह हमें दो वेरिएबल (variable) के साथ एक प्रोडक्ट टर्म(Products term) देता है।
 इसलिए, हम एक वेरिएबल को दो 1 के चार से 1 के 1 में जाने से बचाते हैं।
 अब, इस 1 को किसी भी पड़ोसी के साथ नहीं जोड़ा जा सकता है और इसलिए यह मिन्टर्म (minterm) के रूप में बना रहता है; यह 1 इस 1 के समीप है, क्योंकि यह पंक्ति और यह पंक्ति लॉजिक(Logic) रूप से आसन्न है, और इसलिए हम उस 1 को इस 1 के साथ जोड़ सकते हैं।
 ध्यान दें कि 1 में से कुछ का उपयोग कई बार किया गया है।
 और जैसा कि हमने पहले देखा था, हम यह कर सकते हैं कि पहचान के कारण Y, Y प्लस Y के बराबर है।
 उदाहरण के लिए, इस 1 का उपयोग गुलाबी आयत(pink rectangle) के साथ-साथ बैंगनी आयत(rectangle) में भी किया गया है।
 इस 1 का उपयोग बैंगनी आयत(rectangle) के साथ-साथ हरे रंग के आयत(rectangle) में भी किया गया है।
 हम 1 के कई बार उपयोग कर सकते हैं और इस पूरे अभ्यास का कुल उद्देश्य क्या है, हम सभी 1 के प्रमुख मैप(map) में छोटी संख्या में आयतों को शामिल करना चाहते हैं जो हमें अंतिम मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) में प्रोडक्ट(Products) की सबसे छोटी संख्या प्रदान करता है, और यथासंभव प्रत्येक आयत(rectangle) के साथ।
 और यह हमारे लिए क्या करता है जो हमें कम संख्या में वेरिएबल (variable) के साथ प्रोडक्ट(Products) की शर्तें प्रदान करता है, जिससे हमें मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) मिलती है।
 अब, देखते हैं कि इन आयतों के लिए मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) क्या है।
 उदाहरण के लिए, A बार C बार इस हरे रंग की आयत(rectangle) से मेल खाती है, और आपको वास्तव में यह सत्यापित करना चाहिए।
 इसलिए, हमारे पास हरे रंग की आयत(rectangle) के अनुरूप मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) में चार टर्म(term) हैं, इस बैंगनी आयत(rectangle) के संगत एक, इस पीले आयत(rectangle) के संगत एक, जो कि केवल एकल मिन्टर्म(minterm) है और इस लाल आयत(rectangle) के अनुरूप है वह एक, यह हमारी अंतिम मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) है।
 आइए हम इस उदाहरण को देखें जिसमें कुछ डोन्ट केयर स्थिति(Don't Care Condition) है।
 X द्वारा निरूपित यहां एक डोन्ट केयर स्थिति(Don't Care Condition) है, और यहां एक और है।
 अब, सवाल यह है कि हम इन X के साथ क्या करते हैं।
 हम इस X, को 0 या 1 बना सकते हैं, इसी तरह हम इस X, को0 या 1 बना सकते हैं और सवाल यह है कि एक अच्छा विकल्प क्या होगा आइए देखें।
 मान लीजिए, हम इस X को 0 के बराबर बनाते हैं, और यह X भी 0 के बराबर है, फिर हमारे पास क्या है, तो हमारे पास यह 1 यहाँ यह 1 यहाँ यह 1 यह 1 है और यह 1 हमारे पास पाँच 1 इन दो 1 1 को जोड़ा जा सकता है एक आयत(rectangle) के साथ ये दो 1 का आयत(rectangle) भी जोड़ सकते हैं।
 यह 1 वास्तव में यहाँ इस 1 के निकट है, और इसलिए इन दोनों को भी जोड़ा जा सकता है।
 तो, हमारे पास तीन आयतें (rectangles)हैं, जिसका अर्थ है, अंतिम एक्सप्रेशन(Expression) में तीन प्रोडक्ट टर्म(Products term), और प्रत्येक टर्म(term) के तीन वेरिएबल (variable) होंगे, इसलिए यही स्थिति है और यह पता चलता है कि हम इससे बेहतर कर सकते हैं और हमें देखते हैं कि कैसे।
 मान लें कि हम इस X को 0 के बराबर बनाते हैं, और इस X को 1 के बराबर बनाते हैं।
 और अब हम पाते हैं कि हमारे पास बेहतर स्थिति है, इन दोनों 1 को एक आयत(rectangle) के साथ जोड़ा जा सकता है और इन चार 1 को दूसरे आयत(rectangle) के साथ जोड़ा जा सकता है।
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 और इसके साथ ही हमारे पास अंतिम एक्सप्रेशन(Expression) C D बार प्लस A बार C बार D में केवल दो टर्म(term) हैं और यह निश्चित रूप से हमारी पहली पसंद से बेहतर विकल्प है जिसमें दोनों X 0 थे।
 इसलिए, जब हमारे पास K-मैप(map) में डोन्ट केयर स्थिति(Don't Care Condition) है, तो हमें विभिन्न संभावनाओं पर विचार करने और उस संभावना को चुनने की आवश्यकता है जो हमें मिनिमल एक्सप्रेशन(Minimal Expression) प्रदान करती है।
 सारांश में, हमने लॉजिकल फ़ंक्शन(Logical function) को कम करने के लिए K-मैप(map) का उपयोग करना सीखा है।
 हम इस तकनीक को बाद के विषयों में बहुत उपयोगी पाएंगे जो अभी के लिए है।
 फिर मिलते हैं।