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शुभ दोपहर, मैं आयामी विश्लेषण पर आज की चर्चा के लिए आप सभी का स्वागत करता हूं।
 पिछली कक्षा में हमने प्रवाह की दिशा के आधार पर वर्गीकरण के बारे में बात करके टर्बो मशीनों के वर्गीकरण पर चर्चा समाप्त कर दी।
 अपने आप को टर्बो-मशीनरी व्यक्ति होने की कल्पना करें, वास्तविक जीवन की स्थिति में काम करने वाला एक इंजीनियर, एक ग्राहक आपके पास आता है ओर कहता है कि उसके पास कुछ परिचालन स्थितियां हैं और आपको एक पंप या टरबाइन प्रदान करना होगा।
 क्या आपको रेडियल प्रवाह, मिश्रित प्रवाह या अक्षीय प्रवाह के लिए जाना चाहिए या क्या आपको स्केच से शुरू करना चाहिए और इसे डिजाइन करना शुरू करना चाहिए? अधिक बार नहीं, अभ्यास करने वाला इंजीनियर क्या करेगा? आप एक प्रैक्टिसिंग इंजीनियर के रूप में, एक प्रकार की टर्बो मशीन प्राप्त करेंगे, जो उस एप्लिकेशन के लिए उपयुक्त है और फिर उसे ट्यून करें।
 जिसका अर्थ है कि आपको रेडियल, मिश्रित और अक्षीय के लिए जाने के लिए दी गई ऑपरेटिंग स्थितियों के आधार पर प्राथमिकता पता होनी चाहिए ।
 इसे करने का तरीका कुछ गैर-आयामी संख्या (non-dimensional number) का उपयोग करके है, जो हमें आयामी विश्लेषण पर चर्चा में लाता है।
 सबसे पहले, जब भी आप कुछ लेते हैं, तो स्पष्ट सवाल जो मन में आता है, हमें ऐसा क्यों करना चाहिए।
 इसलिए जब हम आयामी विश्लेषण या गैर-आयामी के बारे में बात करते हैं, तो हमें खुद से पूछना होगा कि चर की गैर-आयामी करने की आवश्यकता क्या है, हम आयामी चर के साथ खुश क्यों नहीं हो सकते? यह जानने के लिए आइए देखें कि संक्षेप में कारण क्या हैं।
 तो यह हमें प्रयोगशाला पैमाने पर प्रयोगों का संचालन करने में मदद करता है जिसे मॉडल पैमाना कहा जाता है और एक प्रोटोटाइप बनाने से पहले एक प्रोटोटाइप के प्रदर्शन के बारे में जानकारी इकट्ठा करने के लिए है।
 अब हम यह समझने के लिए एक उदाहरण लेते हैं कि प्रयोगशाला के पैमाने से आपका क्या मतलब है।
 आपको बता दें कि आप एक हवाई जहाज का एक बहुत ही नया डिजाइन लेकर आए हैं, जिसे आप बनाना चाहते हैं लेकिन जब आप उस हवाई जहाज को बनाने की कोशिश कर रहे होते हैं तो आप बड़े आकार के प्रोटोटाइप का निर्माण नहीं करते हैं।
 जिसमें कई विनिर्माण, डिजाइनिंग और बौद्धिक इनपुट शामिल हैं जो इसे बहुत महंगा बनाता है और फिर पता चलता है कि यह अच्छी तरह से काम नहीं कर रहा है या यह आपकी आवश्यकता को पूरा करता है।
 इसे करने का एक आसान तरीका है और वह है कि आप उस हवाई जहाज के उस प्रोटोटाइप का लघुकरण करें, इसे प्रयोगशाला में परीक्षण करें, जिसे अक्सर पवन सुरंग (wind tunnel) परीक्षण कहा जाता है और फिर देखें कि नया डिज़ाइन मौजूदा डिज़ाइन से बेहतर या हीन है।
 तो आप ऐसा मॉडल बना सकते हैं जो आकार में छोटा हो लेकिन इस बात का आभास न हो कि मॉडल हमेशा आकार में छोटे होते हैं।
 उदाहरण के लिए, यदि हम एक इंजेक्टर नोजल के बारे में बात करते हैं जो बहुत छोटा और आईसी इंजन (IC engines) में उपयोग किया जाता है, तो हम प्रयोगशाला स्केल प्रयोग करना चाहेंगे जब मॉडल को बड़ा किया जाएगा या मॉडल वास्तव में प्रोटोटाइप से बड़ा होगा।
 इसलिए हम उन आकारों को मॉडल कहते हैं जो हमारे लिए सुविधाजनक हैं और प्रयोगशाला में प्रयोग करने के लिए उपयोगी है।
 अगला सवाल जो मेरे दिमाग में आता है वह यह है कि मैं अपनी प्रयोगशाला से प्रोटोटाइप में परिणाम कैसे ला सकता हूं।
 एक संबंधित प्रश्न जो मेरे दिमाग में आता है वह यह है कि अगर मैं एक बहुत जटिल घटना पर एक प्रयोग कर रहा हूं, तो यह काफी संभावना है कि मैं यह प्रयोग करने वाला एकमात्र व्यक्ति नहीं हूं।
 हो सकता है कि आप यह प्रयोग किसी अन्य सुविधा में कर रहे हों।
 तो हम सूचनाओं का आदान-प्रदान कैसे करते हैं, मैं कैसे कहूं कि मेरे परिणाम कैसे भिन्न हैं या आपके जैसे ही हैं? इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण लेते हैं।
 हम कहते हैं कि मैं किसी वस्तु द्वारा अनुभव किए गए ड्रैग फोर्स का पता लगाना चाहता हूं क्योंकि इसमें एक द्रव प्रवाह होता है और मुझे पता है कि ज्यामितीय पैरामीटर जो मैं भिन्न कर सकता हूं वह वस्तु का आकार है, मैं उस गति को भिन्न कर सकता हूं जिस गति पर द्रव का प्रवाह होता है, मैं घनत्व और श्यानता जैसे द्रव गुणों को भी बदल सकता हूं।
 इसलिए अब अगर मुझे अपनी सुविधा पर एक प्रयोग करना है, तो हम कहें कि मैं अपनी सुविधा में प्रयोग करूं जहां मैं कमरे के तापमान पर हवा का उपयोग कर रहा हूं जो कि 30 डिग्री सेंटीग्रेड है।
 आप यह प्रयोग किसी अन्य स्थान पर किसी अन्य तापमान पर कर रहे होंगे।
 तो क्या होगा, द्रव गुण घनत्व और श्यानता समान नहीं होंगे।
 तो क्या यह संभव है कि हम सीधे ड्रैग फोर्स की तुलना करें, नहीं।
 फिर हमें इन नई संपत्तियों में बदलाव के द्वारा दिए गए योगदान को ध्यान में रखना होगा।
 मैं पानी में प्रयोग भी कर सकता हूं, जिसे पानी सुरंग (water tunnel) कहा जाता है।
 फिर घनत्व कई बार अलग हो जाता है, श्यानता भी बहुत अलग होती है।
 इसलिए इस ड्रैग फोर्स के बजाय अगर हमने प्रयोग किया है और इसे बनाया है और किसी अन्य रूप में व्यक्त किया है ताकि परिवर्तनों का स्वचालित रूप से ध्यान रखा जाए, यह तुलना करने के लिए बहुत अधिक फायदेमंद है।
 एक और फायदा सामने आता है, यह किसी भी घटना के बारे में पर्याप्त जानकारी इकट्ठा करने के लिए आवश्यक प्रयोगों की संख्या को कम करता है।
 आइए एक ही उदाहरण लेते हैं जो मैंने आपको दिया था, वह है किसी वस्तु द्वारा अनुभव किया गया बल।
 अब अगर मैं पर्याप्त डेटा इकट्ठा करना चाहता हूं, तो हम कहें कि मैं इन 2 मापदंडों में से प्रत्येक को अलग-अलग करूंगा, जो कि विशेषता लंबाई (characteristic length) L द्वारा दिए गए आकार, वेग पैमाने V, गतिशील श्यानता μ और घनत्व ρ द्वारा दिए गए हैं।
 तो मुझे क्या करना चाहिए, मैं इस प्रयोग को कई बार दोहराऊंगा।
 मैं क्या कर सकता हूं, मैं कह सकता हूं कि मैं 10 अलग-अलग आकारों का उपयोग करूंगा और इन विभिन्न आकारों में से प्रत्येक के लिए मैं 10 अलग-अलग वेगों का उपयोग करूंगा और प्रत्येक विशिष्ट आकार और वेग के प्रत्येक संयोजन के लिए, मैं 10 अलग-अलग तरल पदार्थों का उपयोग करूंगा 10 अलग-अलग श्यानता और 10 अलग-अलग घनत्व के साथ।
 इसलिए अगर मुझे प्रयोगों का यह पूरा सेट करना है तो मुझे 10 शक्ति 4 प्रयोगों की आवश्यकता है।
 और इस प्रकृति के प्रयोगों के लिए समय की आवश्यकता होगी, महंगा है, जबकि अगर मैं कर सकता था, तो मैं आपको यह नहीं दिखा रहा हूं कि यह कैसे करना है, मैं इसके बारे में बाद में बात करूंगा।
 यदि मैं कर सकता था, तो मैं इसे सामान्य कर सकता था और कह सकता था कि का कुछ फ़ंक्शन है।
 आप इसे देखते हैं कि इस तरह से व्यक्त करके, मैंने सभी चर , L, V, μ और ρ का उपयोग किया है।
 लेकिन लंबाई, वेग, आदि के रूप में अलग-अलग पैरामीटर होने के बजाय अब हमारे पास एक एकल पैरामीटर है जो द्वारा दिया गया है।
 आपको पहले ही द्रव गतिकी में पढ़ाया जा चुका है कि , जहां L विशेषता लंबाई (characteristic length) है, रेनॉल्ड्स संख्या के अलावा कुछ भी नहीं है।
 तो इसका मतलब है कि यह 10 शक्ति 4 प्रयोगों को 10 अलग-अलग रेनॉल्ड्स संख्या प्रयोगों को करने के लिए कम किया जा सकता था।
 और इसलिए हमें उस समय दोनों में बहुत महत्वपूर्ण लाभ मिलता है जिसमें प्रयोग को पूरा करने के साथ-साथ लागत की भी कम आवश्यकता होती है।
 अंत में एक सूक्ष्म बिंदु यह है कि जब भी हमारे पास कुछ गोवेर्निंग समीकरण होते हैं जैसे कि आपने द्रव गतिकी मे द्रव्यमान और संवेग संरक्षण गोवेर्निंग समीकरण को अध्ययन किया है।
 हम संवेग संरक्षण समीकरण लेते हैं।
 यदि हम इसे गैर-आयामी करते हैं, तो हम यह पता लगा सकते हैं कि समीकरण में अन्य शब्दों की तुलना में कौन से चर अधिक महत्वपूर्ण या कम महत्वपूर्ण हैं।
 फायदा क्या है, अगर शब्द कम महत्वपूर्ण हैं, तो हम उन शर्तों को छोड़ सकते हैं और समीकरण को सरल बना सकते हैं और इसे आसानी से हल कर सकते हैं।
 तो ये अलग-अलग कारण हैं जिनके लिए एक सैद्धांतिक और एक प्रयोगवादी गैर-आयामी चर का उपयोग करना चाहते हैं।
 यह केवल द्रव यांत्रिकी तक ही सीमित नहीं है, यह सिर्फ टर्बो मशीनों तक ही सीमित नहीं है, बल्कि यह किसी भी अनुप्रयोग के लिए है।
 तो आगे हम समानता के सिद्धांतों पर आते हैं।
 देखिए, जैसा कि एक अंग्रेजी कहावत है, मैं सेब की तुलना संतरे से नहीं कर सकता, यह संभव नहीं है।
 इसका क्या मतलब है, मैं केवल इसी तरह की वस्तु की तुलना कर सकता हूं।
 इसलिए इंजीनियरिंग में हम विभिन्न प्रकार की समानताओं के बारे में बात करते हैं, सबसे सरल और पहली प्रकार की समानता को ज्यामितीय समानता कहा जाता है।
 हम कहते हैं कि मेरे पास एक कार है और मैं कार द्वारा अनुभव किए गए ड्रैग फोर्स का पता लगाना चाहता हूं ताकि मैं एक नई डिजाइन की पेशकश कर सकूं और इसलिए कम ईंधन की खपत होगी।
 इसलिए मैं ज्यामितीय समान कार का अध्ययन करना चाहता हूं।
 तो क्या मैं इस प्रकार की कार ले सकता हूं जो एक रेसिंग कार है? नहीं, मुझे एक कार लेनी चाहिए जो समान है लेकिन केवल ऊपर या नीचे स्केलिंग है।
 इसलिए हम कह सकते हैं कि एक मॉडल की विशेषता लंबाई एक स्थिरांक द्वारा एक प्रोटोटाइप की विशेषता लंबाई के साथ संबंधित है, यह एक स्थिरांक कारक द्वारा भिन्न होती है।
 हमें ध्यान देना है कि कोण समान रहते हैं।
 जिस क्षण आप कोण बदलते हैं आकार वास्तव में बदल जाता है और यह अब ज्यामितीय रूप से समान नहीं है।
 उदाहरण के लिए, ये 2 त्रिकोण हैं, हम कहते हैं कि वे समबाहु (equilateral) त्रिभुज हैं, प्रत्येक कोण 60 डिग्री है, वे केवल आकार में भिन्न हैं लेकिन वे दोनों समबाहु त्रिभुज हैं।
 अब अगर आप 60 डिग्री के बजाय 30 डिग्री पर कोण बनाते हैं और अन्य कोणों को समायोजित करते हैं, तो आकार अलग होगा, हम यहां ज्यामितीय समानता के बारे में बात नहीं कर सकते।
 तो ज्यामितीय समानता से मेरा मतलब है कि लंबाई स्केल लेकिन कोण अपरिवर्तित रहती है।
 आगे हम गतिमान समानता (Kinematic similarity) के बारे में बात कर सकते हैं।
 गतिमान समानता वह समानता है जो हमें गति में मिलती है, जिसका अर्थ है कि वेग का पैमाना होगा।
 मैंने कुछ वेक्टर त्रिकोण या वेग त्रिकोण तैयार किए हैं, यह अनिवार्य रूप से टर्बो मशीन अनुप्रयोगों से है, आप इसे बेहतर तरीके से सराहना करेंगे।
 लेकिन अभी अगर मैं कहता हूं कि m सबस्क्रिप्ट (subscript) m मॉडल के लिए है और सबस्क्रिप्ट p प्रोटोटाइप के लिए है, तो हमारे पास एक वेग W1m, V1m और U1m है और संबंधित वेग W1p, V1p और U1p ये 2 त्रिकोण समान हैं, कोण समान हैं।
 इसलिए हम कह सकते हैं कि इसका वेग और कुछ नहीं बल्कि लंबाई प्रति यूनिट समय है, आयामी विश्लेषण में मुझे यह कहना होगा कि हम सटीक चीज़ के बारे में चिंतित नहीं हैं, हम स्केलिंग के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए हम कहते हैं कि लंबाई प्रति यूनिट समय है एक विशिष्ट लंबाई (characteristic length) और t एक विशेषता समय (characteristic time) है।
 तो फिर हम कहते हैं कि मॉडल का V, मॉडल में वेग और कुछ नहीं है लेकिन उस मॉडल की लंबाई/समय और प्रोटोटाइप में V प्रोटोटाइप की लंबाई/समय है।
 इस प्रकार हम कहते हैं कि यदि मॉडल का वेग प्रोटोटाइप के वेग का kV गुना (Vmodel = kV Vprototype) है, तो हम कह सकते हैं कि गतिज समानता एक लौकिक (temporal) या समय समानताओं की ओर ले जाती है और हम कह सकते हैं कि मैं स्केलिंग कर रहा हूं T मॉडल kt के साथ T प्रोटोटाइप () है जहां बेशक और से संबंधित () है, यह समानता की तीसरी श्रेणी है और शायद सबसे कठोर एक है, जिसे गतिशीलता समानता कहा जाता है।
 जैसा कि आप जानते हैं कि डायनेमिक्स न केवल गति बल्कि गति के कारणों से संबंधित है।
 तो इस मामले में हम मॉडल और प्रोटोटाइप के बीच बलों की समानता के बारे में बात कर रहे हैं।
 द्रव यांत्रिकी के मामले में हमें विभिन्न प्रकार की ताकतों का सामना करना पड़ा जैसे कि तरल पदार्थ श्यानता के कारण श्यान बल, दबाव अंतर के कारण दबाव बल, जड़ता के कारण जड़ता बल (inertial force), सतह के तनाव (surface tension) के कारण कोशिका बल (capillary force), पृथ्वी के त्वरण के कारण गुरुत्वाकर्षण बल।
 द्रव संपीडन के कारण लोचदार बल (elastic force)।
 आइए हम इनमें से प्रत्येक भाव को आयामी तर्क से देखें।
 अगर मैं श्यान बल कहता हूं, तो हम तरल गतिकी से जानते हैं, हम पहले ही अध्ययन कर चुके हैं कि श्यान बल कुछ भी नहीं है, लेकिन अपप्रपण तनाव को क्षेत्र से गुणा किया जाता है और फिर इसे μVL के रूप में दिया जाता है।
 L विशेषता लंबाई है, मुझे यह अभिव्यक्ति कैसे मिलती है? हम कह सकते हैं कि के बराबर है, आप यह पहले से ही जानते हैं।
 तो आयामी तर्कों में मैं कहूंगा कि यह होता है, V विशेषता वेग (characteristic velocity) है, L विशेषता लंबाई (characteristic length) है।
 उदाहरण के लिए, पाइप के मामले में, हम पाइप के व्यास के बारे में बात करते हैं, क्योंकि लंबाई और क्षेत्रफल L वर्ग के साथ जाता है।
 तो अब अगर मैं τ को किस क्षेत्र में गुणा करता हूं, और फिर हमें μVL मिलता है।
 इसी तरह हम दबाव के अंतर के बारे में बात कर सकते हैं।
 दबाव अंतर के मामले में, दबाव अंतर ∆p को क्षेत्र से गुणा करके बल प्राप्त किया जाता है और इसलिए यह ∆pL2 है।
 द्रव जड़ता, जब हम एक समीकरण लिखते हैं, तो हम कहते हैं कि हम लैग्रेन्जियन ट्रैकिंग (Lagrangian tracking) के बारे में बात कर रहे हैं, हम विभिन्न बलों के योग के कारण द्रव परिणाम त्वरण लिख सकते हैं।
 इसलिए कई बार हम जैसे शब्दों के साथ लिखते है, इसलिए अब यह ρL2V2 के रूप में है।
 m कुछ भी नहीं है लेकिन L घन, L घन का आयतन और ρL3 से संबंधित होने पर आपको द्रव्यमान मिलता है, को केवल के रूप में लिखा जाएगा और t समय कुछ भी नहीं है, लेकिन जैसा कि हमने पहले ही चर्चा की है लंबाई/वेग और इसलिए अगर हम इस सबको जोड़ते हैं तो हमें पता चलता है कि द्रव बल जड़ता की दृष्टि से ρL2V2 है।
 सतह तनाव केशिका बल में योगदान देगा कि Fcapillary = σ L के साथ जाता है जहां σ सतह तनाव शब्द है।
 गुरुत्वाकर्षण बल जो गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है, उसे ρL3g के रूप में दिया जाता है, इसका कारण द्रव्यमान ρL3 है क्योंकि हमने गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के समय की बात की है।
 और अंत में हम तरल बल की वजह से लोचदार बल के बारे में बात कर रहे हैं जो KL2 है, कई बार इसका उपयोग K किया जाता है, कई बार यह kappa होता है जो कि बल्क मॉड्यूलस या मॉड्यूलस ऑफ ईलास्टिसिटि होता है।
 मैं इसे कैसे प्राप्त कर सकता हूं, कप्पा K कुछ भी नहीं है, लेकिन और इसलिए बल साथ संबंधित होगा, और इसलिए KL2 के रूप में आयामी तर्क से बात कर रहे थे।
 यहां हमें ध्यान देना है कि हम विभिन्न द्रव गुणों के बारे में बात कर रहे हैं जो μ हैं एक गतिशील श्यानता है, ρ द्रव घनत्व है, σ सतह तनाव शब्द है और K या कप्पा ईलास्टिसिटि का बल्क मॉड्यूलस है।
 कई बार, विशेष रूप से द्रव प्रवाह में जहां कई बल मौजूद होते हैं, हमें इस बारे में बात करनी होती है कि कौन सा बल या कौन से बल दूसरों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण या अधिक प्रभावी है।
 इसलिए हम बलों के अनुपात का पता लगाने की कोशिश करते हैं।
 जब हम बलों के अनुपात के बारे में बात करते हैं तो हम कह सकते हैं कि उदाहरण के लिए मैं लागू प्रवाह में यह जानना चाहता हूं कि जड़त्वीय बलों से संबंधित श्यान बल कितना महत्वपूर्ण है।
 तब मैं 2 बलों के अनुपात का पता लगा सकता हूं और मुझे मिलता है, यह निश्चित रूप से अधिक लोकप्रिय और व्यापक रूप से रेनॉल्ड्स नंबर के रूप में जाना जाता है जो है।
 इसलिए यदि हमारे पास एक प्रवाह है जिसमें रेनॉल्ड्स नंबर 1 से बहुत अधिक है, तो हम क्या कह सकते हैं, कि अंश भाजक की तुलना में बहुत अधिक है, जिसका अर्थ है कि श्यान प्रभाव की तुलना में जड़त्वीय प्रभाव हावी है, जबकि यदि रेनॉल्ड्स संख्या 1 से बहुत कम है, एक प्रवाह जिसे हम स्टोक्स प्रवाह (Stokes flow) कहते हैं, उस स्थिति में हमारे पास जड़त्वीय प्रभाव प्रभावी होता है।
 इसी तरह का विश्लेषण गुरुत्वाकर्षण बल के लिए जड़ता बल के अनुपात के लिए किया जा सकता है, इस मामले में हम से जोड़ते हैं और हमें मिलता है।
 यह द्रव संख्या के संदर्भ में दिया जाता है, सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला द्रव संख्या (fluid number) है, इसे कभी-कभी के संदर्भ में भी बात की जाती है लेकिन मैं पर रहूंगा, जो कि द्रव संख्या का सबसे अधिक उपयोग किया गया रूप है।
 अब आपको यह ध्यान रखना होगा कि यह L, रेनॉल्ड्स नंबर में या L जो कि द्रव संख्या में दिया गया है, ये केवल लंबाई नहीं हैं, ये विशेषता लंबाई हैं, जिसका अर्थ है रेनॉल्ड्स नंबर की परिभाषा में पाइप प्रवाह के मामले में बस इस L के बारे में बात की कि यह पाइप का व्यास बन जाता है।
 द्रव संख्या के मामले में, आमतौर पर देखा जाने वाला एक खुला चैनल प्रवाह है जो हम जलमग्नता की गहराई के बारे में बात करते हैं।
 हम जड़ता बल के संबंध में सतही तनाव प्रभाव के महत्व के बारे में बात कर सकते हैं और यह वेबर संख्या (Webber number) नामक व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले एक और गैर-आयामी संख्या को जन्म देता है जो सतह तनाव बलों के लिए जड़त्वीय बलों के अनुपात के अलावा कुछ भी नहीं है।
 हम दबाव बल के बारे में बात कर सकते हैं कि जड़ता बल जो ईयूलर संख्या को जन्म देता है जो है।
 हम इलास्टिक बलों व जड़ता बलों के बारे में भी बात कर सकते हैं और अगर हम को फिर से बदलते है, तो हम अंशांक प्राप्त करते हैं, जो मैक संख्या परिभाषा करता है जो है और हम जानते हैं कि मध्यम में ध्वनि CS से संबंधित है और फिर मैक नंबर परिभाषा है जो आप पहले से ही द्रव गतिकी में कर चुके हैं।
 अगला भाग जिसे आपको ध्यान में रखना है वह आयामी समरूपता का सिद्धांत है।
 यह बताता है कि अगर कोई समीकरण वास्तव में एक भौतिक प्रक्रिया में चर के बीच एक उचित संबंध व्यक्त करता है, तो उसे अनिवार्य रूप से आयामी समरूप होना चाहिए।
 मैं आज के आयामी विश्लेषण के विषय से थोड़ा हटकर यहाँ पर अपनी बात रखना चाहता हूँ।
 जब भी आप कोई कार्य कर रहे हों, यदि आप एक समीकरण लेकर आ रहे हैं, जिसे आप पहले सिद्धांतों से प्राप्त कर रहे हैं और हमें यह मिल गया है, तो कृपया जाँच लें कि सभी शब्दों के साथ समान आयाम वाले संबंध हैं, यही आयाम हैं, यह होना चाहिए आयाम समरूपता।
 एक बार जब हम इसे संतुष्ट कर लेते हैं, तो हम जानते हैं कि संबंध ठीक से स्थापित हो गया है।
 यह बकिंघम पाई प्रमेय (Buckingham’s pie theorem) के रूप में ज्ञात बहुत प्रसिद्ध प्रमेय को जन्म देता है।
 आइए हम एक भौतिक प्रक्रिया पर विचार करें जो आयामी समरूपता के मूल को संतुष्ट करती है और इसमें आयामी चर शामिल हैं।
 फिर हम इस घटना संबंध को X1, X2 से Xm चर के कुछ फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं जो 0 के बराबर है।
 अब हम यह भी कह सकते हैं कि इन m आयामी चर में n पैमाने पर मौलिक आयाम की संख्या होती है जैसे कि द्रव्यमान, लंबाई, समय, तापमान, आदि।
 इसलिए हम एक भौतिक प्रक्रिया में शामिल आयामी आयामों के बारे में बात कर रहे हैं, जिसमें n मौलिक आयाम शामिल हैं।
 तब बकिंघम पाई प्रमेय में कहा गया है कि इस घटना को m - n गैर-आयामी समूहों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, जो कि पिछले फ़ंक्शन संबंध है, जो दूसरे फ़ंक्शन में के बराबर है।
 इनमें से प्रत्येक π शब्द गैर-आयामी समूह के अलावा कुछ भी नहीं है।
 हम यहां कैसे आगे बढ़ते हैं? मैं आपको 2 उदाहरणों की सहायता से इसके माध्यम से ले जाऊंगा जो मुझे आशा है कि इस विषय पर हमारी समझ को स्पष्ट करेंगे।
 तो पहला उदाहरण एक पाइप प्रवाह के बारे में है।
 आइए एक पाइप के अंदर पूरी तरह से विकसित प्रवाह पर विचार करें, पाइप का व्यास d है और इसकी लंबाई Lp , पाइप के लिए p के रूप में दी गई है।
 पाइप की दीवार का खुरदरापन है, पाइप के अंदर औसत वेग V है, द्रव गुण जो हमें इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक है, घनत्व ρ, और गतिशील श्यानता μ है।
 हमें यह पता लगाने की आवश्यकता है कि Lp की लंबाई पर प्रवाह के कारण दबाव मे गिरावट क्या होती है।
 इसलिए हम जानते हैं कि यदि हम इन लाल संकेतन प्रतीकों की गणना करते हैं, जो दिए गए हैं, तो वहाँ और हमारे चर जो 7 के बराबर हैं।
 हमारे पास मौलिक आयामों की संख्या भी n=3 के बराबर है।
 हमें जल्दी से इसकी जांच करनी चाहिए।
 उदाहरण के लिए व्यास की लंबाई है, फिर वेग की लंबाई है और समय और घनत्व में द्रव्यमान और लंबाई है।
 तो इन चर के बीच हम सभी 3 मौलिक आयाम हैं।
 फिर बकिंघम पाई प्रमेय में कहा गया है कि हमारे पास n - m, यानी 7-3 या 4 नॉनडिमेन्शनल समूह होने चाहिए।
 हम इन समूहों को के रूप में आएंगे।
 तो हम कहें कि हम पहले समूह का निर्माण करते हैं, ऐसा करने के लिए हमें दोहराए गए चर का चयन करना होगा।
 चर को दोहराने की पसंद इस तथ्य पर आधारित है कि इसमें सभी मूलभूत आयाम शामिल होने चाहिए, इस मामले में सभी 3 मौलिक आयाम हैं और यह स्वतंत्र चर नहीं होना चाहिए।
 उदाहरण के लिए, इस मामले में दबाव या दबाव ड्रॉप जिसे हम पता लगाना चाहते हैं, यह पाइप आयामों पर निर्भर करता है, यह वेग पर निर्भर करता है, यह द्रव गुणों पर निर्भर करता है, इसलिए यह एक आश्रित चर है।
 हम इन्हें दोहराए जाने वाले चर के रूप में उपयोग नहीं करने जा रहे हैं।
 इसलिए अगर मैं को ∆p के रूप में अपनी परिवर्तनीय पसंद के रूप में लिखता हूं तो हम में लिख सकते हैं।
 इन सूचकांकों को वास्तव में इस के लिए 1 स्टैंड लिया जाता है और a, b, c असाइन किए जाते हैं।
 हम यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि a1, b1 और c1 के मान क्या हैं और हम जानते हैं कि π एक गैर-आयामी संख्या है, इसका कोई MLT नहीं है और दबाव प्रति इकाई क्षेत्र पर बल के अलावा कुछ भी नहीं है और इसलिए हम इसे द्रव्यमान रूप में स्थापित कर सकते हैं लेकिन इकाई लंबाई प्रति इकाई समय वर्ग ()।
 तो आप ऐसा कैसे कहते हैं? उदाहरण के लिए दबाव की सामान्य इकाई पास्कल है, पास्कल कुछ और नहीं बल्कि न्यूटन प्रति मीटर वर्ग है और न्यूटन क्या है, किलो मीटर प्रति सेकंड वर्ग के अलावा कुछ नहीं है।
 इसलिए हमें प्रति सेकंड प्रति वर्ग किलोग्राम किलो मिलता है और इसे के रूप में स्थापित किया जाता है।
 फिर घनत्व किलो प्रति क्यूबिक मीटर है लेकिन हम यह नहीं जानते हैं कि इसे संतुष्ट करने के लिए कौन सी शक्ति जाती है, इसलिए हम M को पावर a1 से गुणा करते हैं और L को पावर -3a1 से गुणा करते हैं।
 इसी प्रकार हमारे पास वेग शब्द और व्यास शब्द है।
 अब हम जो करने जा रहे हैं वह यह है कि हम M, L और T की शक्तियों के लिए सूचकांकों को अलग-अलग जोड़ने वाले समीकरणों के एक समूह का पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं।
 जब हम इसे M के लिए करते हैं, तो हम देखते हैं कि 1 + a1= 0 के बराबर है जो मुझे a1 को -1 के बराबर देता है।
 L मुझे पहले ∆p टर्म से -1 देता है, फिर -3a1 + b1 + c1 = 0 जो मुझे b1 + c1= -2 के बराबर देता है।
 और T मुझे -2 -b1=0 के बराबर देता है जिसका मतलब b1= -2 के बराबर है।
 इस प्रकार हमारे पास c1= 0 के बराबर है क्योंकि b1 + c1= -2 के बराबर है और इसलिए हम को के रूप में लिख सकते हैं।
 कृपया ध्यान दें कि यह द्रव घर्षण की तरल श्यानता के कारण दबाव ड्रॉप है।
 फिर हम दूसरे चर को के साथ कर सकते हैं जहां मैं पाइप की लंबाई को Lp के रूप में चुनता हूं और फिर Lp को हम ρa2 Vb2 dc2 में लिखते हैं।
 हम एक ही तर्क का पालन करते हैं जेसा पहले किया था और फिर हम M के लिए लिख सकते हैं, यह शून्य है, यहाँ कोई अन्य शब्द नहीं है 0+a2=0 के बराबर है जिसका अर्थ a2=0 के बराबर है।
 लंबाई के लिए हमारे पास 1-3a2+b2+c2=0 के बराबर है जो मुझे b2 + c2= -1 बराबर देता है और अंत में T के लिए भी हमें 0 - b2=0 के बराबर मिलता है जिसका मतलब b2=0 के बराबर है, और फिर हमें c2 = -1 के बराबर मिलता है।
 हम को के रूप में प्राप्त करते हैं, निश्चित रूप से आपको यह सीधे निरीक्षण से मिल सकती है क्योंकि लंबाई शामिल है, इसलिए संबंधित शब्द सीधे व्यास होगा।
 पाइप दीवार के घर्षण से संबंधित है और मैं इसे करने नहीं जा रहा हूं, यह सीधे आपको देगा, के समान और श्यानता को शामिल करता है, अंतिम शब्द तक हम इसे सेट कर सकते हैं और हमें M के लिए यह 1 + a4 = 0 के बराबर है, जिसका अर्थ a4 = -1 के बराबर है, L के लिए यह -1 -3a4 + b4 + c 4 = 0 है, जिसका अर्थ है b 4+ c 4 = -2 और T के लिए यह -1 - b4 = 0 के बराबर है जिसका मतलब b4 = -1 के बराबर है जो c4 को -1 के बराबर देता है।
 और इसलिए हम को के पारस्परिक रूप में लिख सकते हैं।
 देखें कि यदि हमारे पास के रूप में एक गैर-आयामी समूह है तो 1/ भी एक गैर-आयामी समूह है जो किसी भी चर की शक्ति के लिए एक गैर-आयामी समूह है, किसी भी अन्य π द्वारा गुणा पर भी गैर-आयामी समूह है।
 हमें यह देखना चाहिए कि हमारे लिए कौन सा रास्ता सबसे अच्छा है।
 इन सभी बातों को समेटते हुए हम कह सकते हैं कि कुछ नहीं है, लेकिन फ़ंक्शन है, निश्चित रूप से अंतिम पद रेनॉल्ड्स नंबर है।
 अब द्रव की गतिशीलता से आपने पाइप के अंदर दबाव की गिरावट का अध्ययन किया है और आप डार्सी-वेस्बैक के संबंध (Darcy-Weisbach’s relationship) से परिचित हैं।
 डार्सी-वेस्बैक का रिश्ता आपको क्या देता है? हेड ड्रॉप का घर्षण hf कुछ भी नहीं है, लेकिन और हम लिख ​​सकते हैं, लेकिन इन दोनों के साथ तुलना करें हमें गैर-आयामी समूह मिला,जो एक फ़ंक्शन है जो के साथ है।
 इसलिए इन 2 की तुलना केवल तभी की जा सकती है जब हम जानते हैं कि घर्षण कारक रेनॉल्ड्स नंबर और का एक फ़ंक्शन है।
 इसलिए यदि आप मूडी आरेख (Moody diagram) में आते हैं, तो आपको पता चल जाएगा कि मूडी आरेख अनिवार्य रूप से इस तरह की विशेषता है।
 जिस तरह से को सापेक्ष खुरदरापन कहा जाता है।
 तो यह आपके लेमिनार प्रवाह के लिए है, फिर एक संक्रमण है और फिर ऐसे प्रवाह हैं जो अशांत प्रवाह में हैं।
 तो आप देखते हैं कि लेमिनार प्रवाह के मामले में, खुरदरापन महत्वपूर्ण नहीं है और लेमिनार प्रवाह के मामले में आप 64/Re के बराबर प्राप्त करते हैं, लेकिन अशांत प्रवाह के मामले में दोनों का एक फंकशन है।
 इसे मूडी डायग्राम या मूडी चार्ट कहा जाता है।
 तो यह वही है जो हमें आयामी तर्क से भी मिलता है।
 तो आप देखते हैं कि यह कितना शक्तिशाली है, इसे हल किए बिना हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है जो हमारे विस्तृत व्युत्पत्तियों के साथ मेल खाती है।
 दूसरा उदाहरण बाहरी प्रवाह के लिए है, इस मामले में हम एयरोफोइल (aerofoil) पर विभिन्न कोणों पर से आक्षेप के बारे में बात करते हैं।
 एक एयरोफोइल की विशेषता लंबाई इसकी कॉर्ड (chord) लंबाई Lc है, अगर मैं कहता हूं कि मेरे पास एक एयरोफोइल है, तो आप देख सकते हैं कि यह एयरोफिल है, इस दिशा में द्रव का प्रवाह होता है, फिर हम आक्षेप के कोण के बारे में बात कर रहे हैं जो α है जो मुक्त प्रवाह दिशा और कॉर्ड के बीच का कोण है और कॉर्ड LC द्वारा दिया जाता है।
 तो मुक्त प्रवाह हवा का वेग V है, आवश्यक द्रव गुण घनत्व ρ और श्यानता μ हैं।
 माध्यम में ध्वनि की गति CS है और हमें एयरोफिल द्वारा अनुभव की गई लिफ्ट बल का पता लगाने की आवश्यकता है।
 इसलिए यहाँ चरों की संख्या 7 है, फिर से मूलभूत आयामों की संख्या 3 बताई जा सकती है और इसलिए बकिंघम पाई प्रमेय का कहना है कि m – n या 4 गैर-आयामी समूह हैं।
 तो हम ρ, V और LC को चुनते हैं, दोहराए जाने वाले चर के रूप में कॉर्ड की लंबाई और जैसे हमने पिछली बार किया था हम संबंध का पालन कर सकते हैं, हम कह सकते हैं।
 और इसलिए हम M के लिए अब तक किए गए समान तर्कों का अनुसरण करते हैं, हमें के बराबर मिलता है, L के लिए हमें मिलता है और T के लिए हमें के बराबर मिलता है।
 जिसका अर्थ है के बराबर और इसलिए हमें पता चलता है कि के अलावा कुछ भी नहीं है।
 इस को लिफ्ट स्थिरांक (lift coefficient) कहा जाता है।
 हम इसी तरह को श्यानता के साथ कर सकते हैं जो हमने पहले ही कर दिया है, मैं इसे एक बार फिर से नहीं कर रहा हूँ और हमें प्राप्त करेंगे लेकिन जैसा कि मैंने आपको बताया कि आप हमेशा गैर-आयामी समूह का पारस्परिक (reciprocal) गैर-आयामी समूह के रूप में लिख ​​सकते हैं और इसलिए रेनॉल्ड्स नंबर के अलावा कुछ भी नहीं है।
 हम के बारे में CS के रूप में बात कर सकते हैं और यहां आप इसे निरीक्षण द्वारा भी कर सकते हैं क्योंकि CS वेग है और इसलिए आपके पास एक वेग शब्द है, इसलिए यह काफी स्पष्ट है कि CS के अलावा कुछ भी नहीं होगा, जो कि है जो मैक संख्या है, हम पहले से ही परिभाषित किया है और अंत में जो α है, α रेडियन में है एक गैर-आयामी संख्या है।
 तो हम कह सकते हैं कि लिफ्ट स्थिरांक CS रेनॉल्ड्स नंबर, मैक नंबर और अल्फा का एक फंकशन है।
 तो आप देखते हैं कि हम आवश्यक संबंध प्राप्त कर सकते हैं कि हमारे हित के चर को प्रभावित करने वाले महत्वपूर्ण पैरामीटर क्या हैं, उदाहरण के लिए लिफ्ट या इस उदाहरण में लिफ्ट स्थिरांक।
 इसलिए यदि मैं कहता हूं कि मैं एक कम मैक नंबर के बारे में बात कर रहा हूं, तो मैक नंबर प्रभाव महत्वपूर्ण नहीं हैं और कहूं कि मैंने α मान तय कर दिया है और मैं उन प्रयोगों की तुलना करना चाहता हूं जो आप अपनी प्रयोगशाला में कर रहे हैं और मैं मेरी प्रयोगशाला में कर रहा हूं।
 फिर क्या होता है, मुझे पता चलता है कि CL केवल रेनॉल्ड्स नंबर का एक फंकशन है।
 अब रेनॉल्ड्स नंबर का अर्थ है कि इसमें ρ, V, L और u है, इसलिए मुझे वास्तव में इस बात से परेशान होने की आवश्यकता नहीं है कि आपने किस आकार के एयरोफोइल का उपयोग किया है, आपके द्वारा उपयोग किया गया वेग क्या है या आपके द्वारा उपयोग किए गए द्रव का माध्यम क्या है।
 जब तक आप रेनॉल्ड्स नंबर को मेरे पास रखते हैं, तब तक मुझे वही लिफ्ट स्थिरांक मिलेगा, मुझे उसी लिफ्ट स्थिरांक को प्राप्त करना चाहिए जो आपको मिला है, निश्चित रूप से प्रयोगात्मक अनिश्चितताओं के भीतर।
 तो इसका क्या मतलब है कि पाने के बजाय, मैंने आपको पहले बताया है कि 104, निश्चित रूप से हमने ड्रैग के संदर्भ में बात की है, हम लिफ्ट के बारे में बात करते हैं, हम 104 चर प्राप्त करते हैं अगर मुझे अपके प्रयोगों से मिलान करना है।
 लेकिन जब हम पहले के मामले में लिफ्ट स्थिरांक या ड्रैग स्थिरांक के संदर्भ में बात करते हैं, तो हम केवल रेनॉल्ड्स नंबर के एक फ़ंक्शन के बारे में बात कर रहे हैं।
 बेशक कम मैक नंबर की सीमाओं में और किसी दिए गए α के लिए।
 अब यह अंसपीड्य प्रवाह टर्बो मशीनों के साथ कैसे संबंधित है? तो मैं अंसपीड्य प्रवाह टर्बो मशीनों के लिए समान आयामी विश्लेषण के लिए एक उदाहरण दूंगा।
 टर्बो मशीनों के संदर्भ में महत्वपूर्ण चर प्रवाह की दर है, विशिष्ट कार्य (Specific work) जो हमने पहले ही परिभाषित किया है, विशिष्ट कार्य की परिभाषा क्या है? विशिष्ट कार्य टर्बो मशीन के द्वारा निश्चित रूप से उपयोगी ऊर्जा में अंतर का प्रति यूनिट द्रव्यमान है।
 और कभी-कभी जैसा कि मैंने आपको बताया कि विशेष रूप से हाइड्रो टर्बो मशीनों के लिए विशिष्ट कार्य हैड प्रति यूनिट गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण स्थिरांक g से संबंधित है।
 तब हम कर सकते हैं शक्ति P, N ब्लेड की एक घूर्णी गति है, D ब्लेड की विशिष्ट विशेषता व्यास, द्रव घनत्व ρ और श्यानता μ है।
 हमारे पास बुनियादी आयाम MLT हैं और हमारे पास 7 चर हैं।
 तो इसका मतलब है कि यहाँ भी हमें 4 गैर-आयामी समूह मिलते हैं और हम द्रव गुण ρ, कीनेमेटिक वैरिएबल N का चयन करते हैं जो कि घूर्णी गति है और ज्यामितीय चर D है और इन्हें दूसरे चर के साथ जोड़कर गैर-आयामी पैरामीटर प्राप्त करते हैं।
 मैं विवरण में नहीं जाऊंगा लेकिन अगर मैं इस की तरह लिखता हूं, तो कुछ भी नहीं है, लेकिन वॉल्यूम प्रवाह दर वॉल्यूम प्रवाह दर है, कृपया वेग के साथ भ्रमित न हों, है, पिछले 2 उदाहरणों के लिए एक ही तर्क के बाद, हम पा सकते हैं कि है।
 इसी तरह हम के रूप में या वैकल्पिक रूप से हम इसे के संदर्भ में लिख सकते हैं।
 हम के रूप में और के रूप में लिख सकते हैं।
 आइए एक बार फिर से इन शर्तों को देखें।
 तो पहले शब्द को क्षमता या प्रवाह स्थिरांक (capacity or flow coefficient) की कहा जाता है।
 यह है, अब वॉल्यूम प्रवाह दर क्या है? यह और कुछ नहीं बल्कि विशेषता वेग (characteristics velocity) गुणा क्षेत्र है।
 तो हम को Cm A के रूप में लिख सकते हैं, मैं इस Cm के बारे में बात करूंगा जब हम बाद में वेग त्रिकोण के बारे में बात करेंगे।
 और ND3 को ND गुणा D2 के रूप में लिखा जा सकता है।
 अब अगर हमारे पास एक ब्लेड है जो N rpm पर घूम रहा है और एक व्यास D है, तो ND ब्लेड परिधीय वेग के समानुपाती है और हम D वर्ग के संदर्भ में क्षेत्र लिख सकते हैं और इसलिए को या तो वॉल्यूम प्रवाह के संदर्भ में लिखा जा सकता है जिसे क्षमता स्थिरांक या वेग Cm/U के रूप में कहा जाता है।
 ऊर्जा स्थिरांक या हैड और कुशल या दबाव स्थिरांक के साथ संबंधित हो सकता है, को W कहा जाता है, यह है और ND U के साथ संबंधित है, बस अब मुझे बताया गया है, इसलिए आपको के रूप में मिलता है।
 और यह हैड के साथ संबंधित हो सकता है, इसे कहा जाता है या इसे दबाव बढ़ने या घटने से संबंधित किया जा सकता है और इसलिए हम इसे के रूप में दबाव स्थिरांक भी कह सकते हैं।
 तीसरा एक या तो सीधे प्राप्त किया जा सकता है जैसा कि हमने किया है या यह और के उत्पादों के संदर्भ में प्राप्त किया जा सकता है।
 मैंने पहले ही आपको बताया है कि किसी भी गैर-आयामी समूह जैसे π को किसी दूसरे गैर-आयामी समूह से गुणा किया जा सकता है जो आपको एक गैर-आयामी समूह देता है।
 तो यहां मैं आपको वह उदाहरण दिखाऊंगा।
 तो हमें सीधे पता चला कि 3 से कुछ भी नहीं है, है और हम जानते हैं कि हम इसे द्वारा स्थापित कर सकते हैं जो मुझे देगा और इसलिए इसे शक्ति स्थिरांक कहा जाता है।
 और हमारी जानी-मानी रेनॉल्ड्स नंबर है जो थोड़ी अलग तरह से लिखी गई है लेकिन हम हमेशा रेनॉल्ड्स नंबर वापस पा सकते हैं।
 है, अब ND ब्लेड परिधीय वेग से संबंधित है और इसलिए मैं लिख सकता हूं जो कि हमारा रेनॉल्ड्स नंबर है।
 अधिकांश टर्बो मशीन अनुप्रयोगों में रेनॉल्ड्स नंबर अशांत प्रवाह सीमा में है और रेनॉल्ड्स नंबर का प्रभाव बहुत महत्वपूर्ण नहीं है।
 इसलिए अब हम अफ़्फ़िनीती नियमो (affinity laws) के बारे में बात करेंगे।
 अफ़्फ़िनीती नियम क्या हैं? अगर मैं कहूं कि मेरे पास एक ही टर्बो मशीन है जो एक ही तरल पदार्थ के साथ काम करती है लेकिन विभिन्न परिस्थितियों में।
 जब भी मैं एक ही टर्बो मशीन कह रहा हूं, तो इसका मतलब है कि मेरा आकार निश्चित है, इसलिए व्यास D या विशेषता लंबाई D तय है और यह एक ही तरल पदार्थ के साथ काम करता है इसलिए घनत्व, श्यानता समान है।
 यदि मैं इस टर्बो मशीन को चालू करता हूं और इसे एक अलग गति से चलाते है तो क्या होगा? यदि मैं इसे एक अलग गति से चलाता हूं, तो मुझे , ओर है।
 इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि अगर मैं एक टर्बो मशीन के घूर्णी RPM को बढ़ाता हूं, हमें एक पंप कहते हैं, तो वॉल्यूम प्रवाह दर बढ़ जाएगी।
 यदि विकसित किया गया हैड भी N2 के रूप में बढ़ेगा और N3 के साथ शक्ति की आवश्यकता बढ़ जाएगी।
 लेकिन कृपया ध्यान दें कि ये आयाम रहित संख्याएं नहीं हैं।
 इस प्रकार किसी दिए गए मशीन का प्रदर्शन चर , और W उस गति पर निर्भर करता है जिस पर यह टर्बो मशीन चलाई जाती है।
 यह हमें शेप नंबर (shape number) की एक बहुत महत्वपूर्ण अवधारणा में लाता है।
 शेप नंबर जैसा कि नाम से पता चलता है कि आपको टर्बो मशीन के आकार के साथ कुछ करना है।
 तो अगली एक या 2 स्लाइड्स में हम आपको इस शेप नंबर की अवधारणा और एक टर्बो मशीनों के आकार के साथ यह कैसे संबंधित हैं, इसके बारे में बताने जा रहे हैं।
 तो हम समझते हैं कि दिए गए ब्लेड कोण के लिए, पहले यह भी देखें कि मैंने बताया है कि कोण नहीं बदले जा सकते हैं।
 इसलिए अगर मैं एक इम्पेल्लर के बारे में बात करता हूं, यदि इसका कोण नहीं बदला जाता है, तो इम्पेल्लर का आकार, गति, मात्रा प्रवाह दर और विशिष्ट कार्य का एक फ़ंक्शन है।
 तो हम इन पर आधारित एक और गैर-आयामी प्राप्त कर सकते हैं और हम पहले से प्राप्त गैर-आयामी समूहों को भी जोड़ सकते हैं, जो कि N, और W का उपयोग करके, नये से करने के बजाय है, हम पहले से प्राप्त गैर-आयामी संख्याओं को जोड़ सकते हैं।
 एक नया गैर-आयामी नंबर प्राप्त करें, कैसे, आइए हम इसे देखें।
 तो हम कहते हैं कि के रूप में लिखा जा सकता है, और इससे मुझे प्राप्त होती है, जिसे शेप नंबर Nsh नाम दिया जाता है, जो है।
 तो यह मात्रा जो हमने अन्य 2 π समूहों के गुणा द्वारा प्राप्त की है, मुझे मिलती है और हम इसे शेप नंबर कहते हैं।
 इस मामले में कृपया ध्यान दें कि छोटा n प्रति सेकंड चक्कर है जैसा कि rpm में दी गई पूंजी N के विपरीत है।
 और मीटर क्यूब प्रति सेकंड और W मीटर स्कवेर प्रति सेकंड स्कवेर में है।
 और हम कहते हैं कि शेप नंबर के साथ संबंधित हो सकती है।
 तो हमने शेप नंबर को परिभाषित किया है, आगे हम 2 और मात्राओं के बारे में बात करने की कोशिश करेंगे जो शेप नंबर से संबंधित हैं और ये सभी 3 मिलकर आपको टर्बो मशीनों का आकार देंगे।
 ध्यान दें कि जब मैं N /60 लिखता हूं, N को rpm में होना चाहिए।
 बेशक हम इन शेप नंबर या पाई समूह को प्रारम्भ से शुरू करके स्वतंत्र रूप से प्राप्त कर सकते थे।
 विशेष रूप से हाइड्रो टर्बो मशीनों में कई बार g या गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण तय हो जाता है, इसलिए विशिष्ट कार्य के बजाय हम इसे हैड के संदर्भ में लिखते हैं और फिर हम उस शेप नंबर के बजाय इसे विशिष्ट गति (specific speed) के संदर्भ में परिभाषित करते हैं।
 एक पंप की विशिष्ट गति को एक ज्यामितीय रूप से समान पंप वाले ऐसे आयामों की गति के रूप में परिभाषित किया गया है कि यह 1 मीटर के हैड का उत्पादन करते समय प्रति सेकंड 1 मीटर क्यूब के वॉल्यूम प्रवाह दर को बाहर निकलता (discharge) है।
 और टरबाइन की विशिष्ट गति को ज्यामितीय रूप से समान टरबाइन की गति के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें ऐसे आयाम हैं कि यह 1 मीटर के हैड के नीचे काम करते समय एक मीट्रिक हॉर्स पावर का उत्पादन करता है।
 कई बार मुझे पता चलता है कि छात्रों में इस बात को लेकर भ्रम है कि विशिष्ट गति के लिए क्या लिखना चाहिए, क्या इसमें वॉल्यूम प्रवाह दर और हैड शामिल होना चाहिए या इसमें शक्ति और हैड शामिल होना चाहिए, मैं इसे याद करने का एक तरीका सुझाता हूं।
 जब आप एक पंप के बारे में सोचते हैं, तो आप सोचते हैं कि आपके लिए सबसे महत्वपूर्ण चीज क्या है।
 आप स्नान करना चाहते हैं, इसलिए पानी को आपके भवन में टैंक के शीर्ष पर जाना चाहिए और इसमें पर्याप्त मात्रा होनी चाहिए।
 तो आप इसे क्या सोच सकते हैं, पंप के मामले में यह अपने आप को वॉल्यूम प्रवाह दर के साथ संबंधित करता है जो पंप देता है क्योंकि आपको स्नान करना होगा और साथ ही आपको एक पर्याप्त हैड की आवश्यकता होगी ताकि पंप जमीन से पानी को आपके भवन के ऊपर तक ले जा सके।
 तो विशिष्ट गति को हैड के साथ वॉल्यूम प्रवाह दर के साथ जोड़ा जा सकता है।
 टरबाइन के मामले में आप जो रुचि रखते हैं, वह एक दिए गए हैड के अंतर के लिए, बिजली उत्पादन क्या है।
 आप वास्तव में उपयोगकर्ता के रूप में वॉल्यूम प्रवाह दर में रुचि नहीं रखते हैं।
 तो आप कह सकते हैं कि विशिष्ट गति को हैड के साथ-साथ शक्ति से संबंधित होना चाहिए और इन 2 मामलों में निम्न संबंधों द्वारा Nq और NS दिया जा सकता है।
 के रूप में दिया जा सकता है और टरबाइन के लिए जो के रूप में दिया जाता है, लेकिन इन पंपों और टरबाइनों के लिए, विशिष्ट गति संबंध आयामों से मुक्त नहीं हैं।
 इसलिए आपको इन रिश्तों का उपयोग करते समय बहुत सावधान रहना होगा, खासकर यदि आप पंप या टरबाइन के डिजाइनर हैं।
 इसलिए आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले पंपों और टर्बाइनों डिजाइन उद्योगों के लिए हैं।
 N चक्कर प्रति मिनट rpm है, मीटर क्यूब प्रति सेकंड, H मीटर में है और मीट्रिक हॉर्स पावर में है।
 और यह एक आयाम रहित संख्या नहीं है।
 इसलिए आपको इकाइयों को ठीक से प्रबंधित रखना होगा।
 हम कह सकते हैं कि शेप नंबर, यदि इम्पेल्लर की गति को और बढ़ा दिया जाता है, तो क्या होता है, यदि गति में वृद्धि होती है, तो व्यास को कम करना होगा, क्यों, क्योंकि हम चाहते हैं कि ND जो कि U है, क्योंकि U स्थिर हैं।
 हम समान वॉल्यूम प्रवाह दर के बारे में बात कर रहे हैं और जैसा कि हम विशिष्ट गति को बढ़ाते हैं, व्यास कम हो जाता है।
 पहले आप देखते हैं कि कम विशिष्ट गति से प्रवाह यहाँ आ रहा है और हमें लगभग रेडियल प्रवाह मिलता है, हमें एक रेडियल प्रवाह मिलता है।
 आप देखते हैं कि प्रवाह अक्ष के लिए लंबवत है, आप गति को और बढ़ाते हैं, विशिष्ट गति बढ़ जाती है, आप अभी भी रेडियल प्रवाह के साथ काम करने की कोशिश करते हैं, आप कहते हैं कि मैं केवल रेडियल प्रवाह को जानता हूं, मैं रेडियल प्रवाह के साथ काम करूंगा, आप इसको कम करने के लिए प्रयास करें।
 लेकिन आप इसे और कम नहीं कर सकते क्योंकि ब्लेड की लंबाई कम हो जाती है और फिर आप क्या करने की कोशिश करते हैं, आप इनलेट एज कर्व (inlet edge curve) बनाने की कोशिश करते हैं ताकि प्रभावी रूप से यह थोड़ी लंबी हो सकें।
 लेकिन अगर यह और बढ़ जाता है, तो इस तरह की हेरफेर संभव नहीं है और आप एक प्रवाह प्राप्त कर रहे हैं जो अक्ष के साथ एक कोण थीटा बनाता है, इस मामले में अक्ष यदि मैं इसे 90 डिग्री दिखाता हूं, तो इनमें से किसी भी एक मामले में यह 90 डिग्री है और अंत में हम एक ऐसे चरण में आते हैं जो प्रवाह भी संभव नहीं है और हमें एक अक्षीय प्रवाह प्राप्त होता है जहां यह अक्ष के समानांतर होता है।
 इस प्रकार हम देख सकते हैं कि विशिष्ट गति के परिवर्तन के साथ, मैं विशिष्ट गति कह रहा हूं, मैं व्यक्तिगत रूप से गति या इनमें से किसी एक मात्रा को नहीं कह रहा हूं क्योंकि यदि आप विशिष्ट गति की परिभाषा को देखते हैं, तो यह ।
 तो आप शेप नंबर को बढ़ा सकते हैं या तो इम्पेलर की गति बढ़ा सकते हैं जैसा कि मैंने आपको यहां बताया है या वॉल्यूम प्रवाह दर में वृद्धि करके या हैड को कम करके।
 इसलिए यह हमारे लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण निष्कर्ष लाता है जिसे हम पंप और टर्बाइन के बारे में बात करते हुए फिर से करेंगे।
 देखें कि क्या आप कहते हैं कि आप एक मशीन को संभाल रहे हैं जिसमें किसी दिए गए गति के लिए वॉल्यूम प्रवाह की दर अधिक है, तो आपको एक अक्षीय प्रवाह पंप की आवश्यकता होगी।
 यदि आपके हैड की आवश्यकता के विपरीत, विकसित किया जाने वाला हैड समान गति के लिए बहुत अधिक है, तो हम टरबाइन के साथ एक रेडियल प्रवाह पंप के लिए जा सकते हैं।
 कम हेड टरबाइन के मामले में, हम देखेंगे कि यदि H कम है, जो कि हर (denominator) में है, तो शेप नंबर जो कि दी गई है।
 यदि आपके पास H का बहुत कम मान है, तो क्या होता है, आप अनिवार्य रूप से शेप नंबर का एक बहुत बड़ा मान प्राप्त कर सकते हैं।
 यदि आप गति बढ़ाते हैं या यदि आप वॉल्यूम प्रवाह दर बढ़ाते हैं, तो आपको टर्बो मशीन में भी यही मिलेगा।
 और इसलिए हम कह सकते हैं कि टर्बो मशीन में समग्र प्रभाव शेप नंबर को बढ़ाने से आकृति में परिवर्तन होता है जो रेडियल से मिश्रित के माध्यम से अक्षीय प्रवाह तक जाता है।
 इसलिए हम आज के आयामी विश्लेषण और टर्बो मशीनों की पसंद पर इसके प्रभाव पर चर्चा के सारांश पर आते हैं।
 हमने गैर-आयामीकरण की आवश्यकता के बारे में सीखा, हमने ज्यामिति गतिज (geometry kinematic) और गतिशील समानताओं (dynamic similarities) के बारे में बात की जो किसी भी स्केलिंग के लिए आवश्यक हैं।
 बकिंघम पाई प्रमेय में कहा गया है कि अगर n मूल आयामों को शामिल करने वाले आयामी चर हैं, तो इसे m - n गैर-आयामी समूहों में घटाया जा सकता है।
 इस गैर-आयामीकरण को एक अंसपीड्य प्रवाह टर्बो मशीन के लिए किया गया और बढ़ाया गया।
 अंसपीड्य तरल पदार्थ के लिए यह गैर-आयामीकरण टर्बो मशीनों शेप नंबर की परिभाषा की ओर जाता है जो टर्बो मशीनों के वर्गीकरण का एक ओर साधन है और यह इम्पेलर्स या घूर्णन ब्लेड के आकार में परिवर्तन की ओर जाता है।
 धन्यवाद।