Mass and linear momentum conservation in CV-s-7uZBaPjpI

तो, हम समाकल विश्लेषण पर 2वें व्याख्यान के साथ शुरू करते हैं।
 पिछले व्याख्यान में हमने रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय (Reynolds transport theorem) पेश किया है जो एक नियंत्रण मात्रा (control volume) के संदर्भ में किसी भी सिस्टम के लिए समय अवकल (time derivative) को परिवर्तित करता है।
 इसलिए, इस व्याख्यान में हम रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय (Reynolds transport theorem) को नियंत्रण मात्रा में द्रव्यमान (mass) और संवेग संरक्षण (momentum conservation) पर लागू करेंगे।
 बस खुद को याद दिलाने के लिए, सिस्टम में किसी भी मात्रा B के समय अवकल को इन 2 पद के योग समान दिया गया है।
 पहला पद मूल रूप से उस मात्रा का समय अवकल है, यह मूल रूप से उस नियंत्रण मात्रा में कुल मात्रा का योग है और नियंत्रण मात्रा के लिए संपूर्ण नियंत्रण सतह पर, उस मात्रा का सतह समाकल (surface integral) है।
 द्रव्यमान संरक्षण के लिए, जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, सिस्टम के लिए, द्रव्यमान संरक्षण समीकरण , 0 के बराबर है।
 पैरामीटर B मूल रूप से M है और β मूल रूप से M/M है, जो एक है।
 तो, β यहाँ सीधे 1 है।
 इसलिए, यदि हम यह इस समीकरण में रखते हैं, हमें जो मिलता है वह : मूल रूप से यह दर्शाता है, जिसे हमने आखिरी व्याख्यान में भी देखा था, पहला भाग नियंत्रण मात्रा के द्रव्यमान के परिवर्तन की दर को दर्शाता है और दूसरा भाग नियंत्रण मात्रा से बाहर निकलने वाले द्रव्यमान की शुद्ध दर को दर्शाता है।
 जैसा कि हमने पिछले व्याख्यान में उल्लेख किया था, यदि नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकलने वाले द्रव्यमान की शुद्ध दर +ve है, तो नियंत्रण मात्रा के द्रव्यमान के परिवर्तन की दर -ve होगी जो इस अभिव्यक्ति से भी दिखाई देती है।
 अगर यह मात्रा +ve है तो द्रव्यमान के परिवर्तन की दर –ve होगी।
 यदि यह -ve है तो द्रव्यमान के परिवर्तन की दर +ve होगी।
 इसका मतलब है कि यदि द्रव्यमान नियंत्रण की मात्रा में आ रहा है, तो द्रव्यमान के परिवर्तन की दर +ve होगी, जो समझने योग्य है लेकिन यह गणितीय समीकरण भी पुन: यही पेश करता है।
 संवेग संरक्षण के लिए B, इस सिस्टम के लिए इसे () के रूप में दिया गया है।
 जोकि सिस्टम के लिए सभी बलों का योग है।
 इसलिए, प्रणाली के लिए संवेग के परिवर्तन की दर मूल रूप से उन सभी बलों का योग है जिनमें सतह बल (surface forces) और शरीर बल (body forces) हैं।
 सरफेस फोर्स कंट्रोल वॉल्यूम की सतह पर काम करने वाली ताकतें हैं और बॉडी फोर्स बल्क पर काम करने वाली ताकतें है।
 अब इस मामले में B मूल रूप से और यह पैरामीटर है, इसलिए β मूल रूप से है, जो सीधे वेग वेक्टर है।
 आइए देखते हैं कि रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय के संदर्भ में इसका अनुवाद क्या है।
 यदि हम इन मानों को इस समीकरण में प्लग-इन करते हैं, जो कि रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय के लिए बयान या गणितीय अभिव्यक्ति है, तो हमें जो मिलता है वह सिस्टम के लिए है।
 तो, हम अभी β के मान में रहते हैं जो है, इस समीकरण में वेग वेक्टर है।
 तो, यह मूल रूप से गणितीय रूप से जटिल दिखता है लेकिन हम विशेष परिस्थितियों के लिए देखेंगे जो हम बना सकते हैं, इसे बहुत सरल तरीके से लिख सकते हैं।
 और बयान वास्तव में काफी सरल है।
 संवेग के नवीकरण के मामले में, निश्चित रूप से एक सिस्टम के मामले में, संवेग के परिवर्तन की दर बलो का योग है और सिस्टम की संवेग के परिवर्तन की दर को नियंत्रण मात्रा की संवेग के परिवर्तन की दर के रूप में दिया गया है, यह मूल रूप से नियंत्रण की मात्रा के परिवर्तन की दर है और संवेग जो नियंत्रण की मात्रा से बाहर आ रहा है जो की संवेग जो नियंत्रण की मात्रा मे आ रहा है मे से घटाए गया है।
 द्रव के संवेग की शुद्ध दर नियंत्रण मात्रा से बाहर आ रही है।
 अब हमें याद रखना है कि दूसरा समीकरण एक वेक्टर समीकरण है, इसका मतलब है, यह मूल रूप से एक त्रि-आयामी प्रणाली का प्रतिनिधि है, यह 3 समीकरणों का प्रतिनिधि है, और प्रत्येक समीकरण वेग वेक्टर के एक विशेष घटक के लिए है।
 तो, यह एक वेक्टर समीकरण है, इसलिए मूल रूप से यह त्रि-आयामी प्रणाली के लिए 3 समीकरणों का प्रतिनिधित्व करता है, आपको इसे ध्यान में रखना होगा।
 अब हम एक सरलीकृत मामले को देखते हैं ताकि हम इस समीकरण को सरल मामलों के लिए सरल तरीके से लिख सकें।
 जिस सादगी को हम निकट मानते हैं वह एक स्थिर और अंसपीड्य प्रवाह है।
 इसलिए, अगर हम इस पर विचार करते हैं, तो द्रव्यमान संरक्षण समीकरण क्या होता है? यह सामान्य द्रव्यमान संरक्षण समीकरण है जिसे सीधे यहाँ से लिया गया है और स्थिर की इस स्थिति के लिए, क्या होता है यह हिस्सा रद्द हो जाता है, यह हिस्सा शून्य हो जाता है क्योंकि किसी भी चीज़ मे समय के साथ भिन्नता नहीं है मतलब द्रव्यमान समय के साथ नहीं बदल सकता है अगर मामला स्थिर है।
 जो बचता है वह अंसपीड्य है, इसलिए घनत्व बाहर निकाला जा सकता है क्योंकि घनत्व 0 के बराबर नहीं हो सकता, इसलिए हम इसे केवल के रूप में लिख सकते हैं, नियंत्रण सतह पर इसका समाकल शून्य है।
 तो, इसका क्या मतलब है यदि आप वेग का और क्षेत्र वेक्टर का डॉट प्रॉडक्ट नियंत्रण मात्रा के लिए संपूर्ण नियंत्रण सतह पर लेते हैं, तो परिणाम शून्य होगा।
 तो, अब हम एक ऐसी स्थिति पर नजर डालते हैं, जहां सतह के साथ-साथ वेग निरंतर भिन्न नहीं होता है।
 इसलिए हमने जो व्युत्पत्तियाँ की हैं और जो अभिव्यक्ति हमने द्रव्यमान संरक्षण के साथ-साथ संवेग संरक्षण के लिए लिखी है, वे अधिक सामान्यीकृत हैं, इसका मतलब है कि वहाँ एक सामान्य स्थिति लागू होती है।
 कई मामलों में हम बहुत ही सरल धारणा बना सकते हैं।
 एक धारणा यह है कि हम कहते हैं कि मेरा नियंत्रण मात्रा इस विशेष आकार का है और इसमें 2 इनलेट्स और एक आउटलेट और एक सतह है जिसमें कोई वेग नहीं है, वेग शून्य है और नियंत्रण सतह पर वेग स्थिर है।
 इस नियंत्रण सतह पर वेग भी स्थिर है, यहाँ भी यही है।
 इसलिए, यदि यह स्थिति है, तो अब हम इस समीकरण को और सरल तरीके से लिख सकते हैं, यह के रूप में सामने आएगा और नियंत्रण सतह पर 0 के बराबर होगा।
 तो यह व्यक्तिगत सतहों पर वेग और क्षेत्र वेक्टर का डॉट प्रॉडक्ट है।
 तो, नियंत्रण सतह पर संक्षेपण (summation) का मतलब है कि यहां 4 सतह हैं, सतह 1, 2, 3 और 4।
 बेशक 4 की सतह पर वेग शून्य है और इस पर विचार करने की आवश्यकता नहीं है।
 तो, हम इस समीकरण को इस रूप में लिख सकते हैं।
 यह यहाँ बहुत सरल हो जाता है।
 यह अधिक वास्तविक रूप से समझने योग्य मात्रा के संदर्भ में लिखा जा सकता है, जैसे कि हम को जानते हैं, S सतह क्षेत्र का वेक्टर रूप है, इसलिए मूल रूप से वॉल्यूम प्रवाह दर है।
 अगर आप कहते हैं कि वॉल्यूम प्रवाह दर है, तो यह अनिवार्य रूप से होगा।
 नियंत्रण सतह पर जिसके माध्यम से द्रव नियंत्रण मात्रा से बाहर निकल रहा है।
 नियंत्रण सतह के माध्यम से जिसके माध्यम से तरल पदार्थ नियंत्रण मात्रा में आ रहा है।
 यदि आप यहाँ घनत्व को गुणा करते हैं, तो आप और प्राप्त करते हैं, अर्थात द्रव्यमान प्रवाह दर बाहर और द्रव्यमान प्रवाह दर अंदर।
 यह सर्वविदित निरंतरता समीकरण (continuity equation) है, इसलिए यह एक विशिष्ट स्थिति के लिए बहुत सरल हो जाता है और ज्यादातर मामलों में हम इस समीकरण के सरल रूपों से निपटेंगे।
 यह सामान्यीकृत समीकरण सभी मामलों का प्रतिनिधित्व करता है, यही कारण है कि यह जटिल दिखता है।
 दूसरा एक संवेग संरक्षण है, अब संवेग संरक्षण के लिए, हम इसे फिर से अध्ययन और अंसपीड्य प्रवाह स्थिति के लिए लिख सकते हैं।
 यदि आप इसे स्थिर स्थिति के लिए लिखते हैं, तो पहला भाग गायब हो जाता है, यह शून्य हो जाता है और दूसरा भाग सभी बलों के योग के बराबर हो जाता है।
 तो, यह मूल रूप से एक अंसपीड्य स्थिर प्रवाह के लिए है।
 तो घनत्व को भी बाहर निकाला जा सकता है क्योंकि प्रवाह अंसपीड्य है, घनत्व भिन्नता महत्वपूर्ण नहीं है, यह एक अंसपीड्य प्रवाह है।
 यदि हम इस तरह की स्थिति पर विचार करते हैं, तो हम प्रश्न को और सरल तरीके से लिख सकते हैं, कि यह नियंत्रण सतह मे के बराबर है।
 फिर से हमें खुद को याद दिलाना होगा कि यह एक वेक्टर समीकरण है।
 हालांकि यह एक स्केलर प्रॉडक्ट, डॉट प्रॉडक्ट है, इसलिए एक स्केलर मात्रा है जो वास्तव में प्रवाह दर है जैसा कि हमने यहां देखा है।
 यह वॉल्यूम प्रवाह दर है, जो कि एक स्केलर मात्रा है, लेकिन यह में, एक वेक्टर मात्रा है, इसलिए यह इस समीकरण की सदिश प्रकृति (vector nature) को लौटाता है ताकि राइट-हैंड साइड भी बल वेक्टर हो।
 अगर हम इसे एक ऐसे रूप में लिखना चाहते हैं जो अधिक वास्तविक रूप से समझने योग्य है, तो हम इसे इस तरह से लिख सकते हैं, तो, इसका सीधा सा मतलब है, यह कथन यह समझने में काफी सरल बनाता है कि एक नियंत्रण मात्रा के लिए संरक्षण समीकरण का कथन क्या है? यह कहता है कि स्थिर स्थिति के लिए नियंत्रण मात्रा पर लगने वाला शुद्ध बल मूल रूप से नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकलने वाला शुद्ध संवेग है।
 वह तरल पदार्थ के संवेग के बीच का अंतर है जो संवेग नियंत्रण मात्रा से बाहर हो रहा है और तरल पदार्थ का संवेग जो नियंत्रण मात्रा में आ रहा है।
 इसलिए यह मूल रूप से इस स्थिति का भौतिक विवरण है और समीकरण के इस रूप का उपयोग करने के लिए यह बहुत उपयोगी होगा।
 यह उतना ही सरल है, जितना कि समस्या को हल करने के लिए उपयोगी होता है, जिस पर इस अध्याय में चर्चा की जाएगी।
 तो, हम एक एप्लिकेशन लेते हैं, लेकिन इस एप्लिकेशन के साथ काम करते समय, हम क्या करेंगे, हम सीधे सरलीकृत रूप का उपयोग नहीं करेंगे, हम सामान्य रूप का उपयोग करने का प्रयास करेंगे ताकि हम सामान्य रूप को बहुत सरल रूप में कम कर सकें।
 ताकि हम जान सकें कि रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय या किसी दिए गए स्थिति के द्रव्यमान और संवेग संरक्षण समीकरण के सामान्य समीकरण को कैसे लागू किया जाए।
 तो यही हमारा उद्देश्य है।
 तो, हम प्लेट पर बल के इस उदाहरण को लेते हैं।
 एक जेट है और इस जेट का व्यास 2r है, एक समान वेग U1 के साथ आता है, समान वेग का अर्थ है जेट के क्रॉस-सेक्शन के पार वेग नहीं बदल रहा है।
 तो, यह इस तरह से आता है और फिर यह प्लेट को हिट करता है और इस तरह से बाहर निकलता है और प्लेट को स्थिर रखा जाता है, समस्या के इस भाग के लिए हम मानते हैं कि प्लेट को स्थिर रखा गया है।
 हमें यह पता लगाना है कि प्लेट पर प्रवाह द्वारा लगाया गया बल क्या है।
 तो, प्लेट पर प्रवाह कितना बल देता है।
 निश्चित रूप से हमने देखा है कि अगर हम इस प्लेट को नहीं पकड़ते हैं, तो यह हिलना शुरू हो जाएगा लेकिन हम इसे होने नहीं देते हैं, हम सिर्फ प्रवाह को बल देने की अनुमति देते हैं, हम कहते हैं कि हम उस बल को मापते हैं।
 इसलिए, यह समस्या हमें उस बल के परिमाण (magnitude) का अनुमान लगाने के लिए दिखाएगी।
 हम इस तरह एक नियंत्रण मात्रा लेते हैं।
 इसलिए हम इस तरह के नियंत्रण की मात्रा के साथ शुरू करेंगे, लेकिन उसी समस्या के लिए हम वास्तव में एक अलग नियंत्रण मात्रा का उपयोग करेंगे और नियंत्रण मात्रा का चयन करने में क्षमता (efficiency) का प्रदर्शन करेंगे, ताकि आप आसान तरीके से समाधान प्राप्त कर सकें।
 तो हमारे व्याख्यान में पहला प्रसंग यह है।
 स्थिति फिर से स्थिर और अंसपीड्य प्रवाह है, यह वेग समय के साथ नहीं बदल रहा है और यह अंसपीड्य प्रवाह है, इसलिए हम संवेग संरक्षण समीकरण को इस रूप में लिख सकते हैं , इसमें सीधे () लिखने के बजाय इस रूप में लिखा, हम इसे इस रूप में लिखते हैं और इन मानों को इस समीकरण में डालते हैं।
 यह समग्र संरक्षण है, इसका मतलब है वेक्टर समीकरण, आइए देखें कि X दिशा में संवेग संरक्षण क्या है जो महत्वपूर्ण है, जो इस समस्या का एकमात्र हिस्सा है क्योंकि हमें प्लेट पर प्रवाह द्वारा लगाए गए बल का पता लगाना है और यह यहाँ दिखाता है कि यह केवल X दिशा में बल लगाता है।
 तो, आइए हम इस नियंत्रण मात्रा को निकालें और विभिन्न वेग घटकों को देखें।
 तो, हम 3 नियंत्रण सतहों पर विचार करते हैं, पहली सतह यहां दिखाई गई सतह है, दूसरी सतह वह सतह है जो प्लेट से चिपकी हुई है और तीसरी सतह मूल रूप से यह सतह है जिसके माध्यम से प्रवाह नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकल रहा है।
 तो, यह मूल रूप से एक सिलेंडर का एक बेलनाकार हिस्सा है।
 तो, ये 3 सतहें, वो सतह है जो नीचे और ऊपर दोनों का प्रतिनिधित्व करती है क्योंकि हमने इस प्लेट को एक गोल प्लेट के रूप में माना है, यह एक आयताकार प्लेट नहीं है, यह एक गोलाकार प्लेट है और जेट भी एक गोलाकार जेट है।
 अब कंट्रोल वॉल्यूम के इनलेट पर वेग जो V1 है, यह वेग वेक्टर है, यह वेग वेक्टर की दिशा है और क्षेत्र वेक्टर की दिशा इसके विपरीत है।
 तो, यह , है, जो कि नियंत्रण सतह 2 में वेग वेक्टर है, अनिवार्य रूप से शून्य है क्योंकि सतह के सामान्य कोई वेग नहीं है और प्रवाह भी यहाँ स्थिर हो जाता है, इसलिए वेग 0 आता है।
 क्षेत्र वेक्टर की दिशा इस तरह () दिखाई जाती है।
 अब, तीसरी सतह, क्षेत्र वेक्टर को तरह दिखाया गया है और वेग वेक्टर को तरह दिखाया गया है।
 आइए हम इस समीकरण को अलग-अलग नियंत्रण सतहों में तोड़ दें।
 तो, यहाँ 3 नियंत्रण सतहें हैं, 1, 2 और 3, इसलिए हम इसे इन 3 सतहों के लिए X दिशा में संवेग संरक्षण के लिए लिखते हैं।
 यह अब एक विशेष दिशा के लिए एक समीकरण है, इसलिए X दिशा में, यह समीकरण बन जाता है: जिसका अर्थ है कि नियंत्रण सतह 1 पर X दिशा में वेग घटक, अर्थात वास्तव में U1 है, जैसा कि इस समस्या में दिया गया है।
 लेकिन आपको यह याद रखना होगा कि यह केवल जेट के भीतर है, केवल इस क्षेत्र के भीतर, नियंत्रण सतह वास्तव में जेट से परे फैली हुई है, नियंत्रण सतह यह संपूर्ण क्षेत्र है, यहां वेग शून्य है।
 इसलिए हम केवल उस क्षेत्र पर विचार करते हैं जहां वेग गैर-शून्य है।
 तो, उस क्षेत्र में यह U1, और है, जिसका अर्थ है कि नियंत्रण सतह 2 में वेग का X घटक, यह शून्य है और तीसरी नियंत्रण सतह में वेग का X घटक भी शून्य है।
 इस तरह से समस्या यहाँ दी गई है।
 तो, अब इस के लिए, इन 2 मापदंडों, अगर और 0 हैं, तो ये 2 विशेष भाग शून्य हो जाएंगे, इसलिए हम केवल पहले भाग के साथ ही बचे हैं।
 हम को जानते हैं जो कि जेट के भीतर U1 है, और हम यह पता लगा सकते हैं कि नियंत्रण सतह 1 के लिए क्या है।
 तो, नियंत्रण सतह 1 के लिए , हमें बहुत ही सूक्ष्मता से नोटिस करना होगा कि वेग वेक्टर और सतह S1 एक दूसरे के विपरीत उन्मुख हैं।
 तो यह निकलेगा -U1(πr2)।
 तो, U1 वेग का परिमाण है और πr2 क्षेत्र का परिमाण है और क्योंकि वे एक-दूसरे के विपरीत उन्मुख हैं, इसलिए -ve संकेत होगा।
 अगर हम यहां प्लग-इन करते हैं, तो हम इस समीकरण को के रूप में लिख सकते हैं, जो मूल रूप से सभी सतह बलों और शरीर बलों ( ) के योग के बराबर है।
 शरीर बल निश्चित रूप से शून्य है इस मामले में, हम इसे सामान्य तरीके से लिख रहे हैं ताकि हम जानते हैं कि किसी भी स्थिति के लिए इस समीकरण को कैसे लागू किया जाए।
 अगला कार्य यह पता लगाना है कि सतह बल क्या है।
 अब इस तरह से जाने के बजाय, हम इस समस्या को इस रूप में लिखकर हल कर सकते है, जो हमें बहुत ही सीधा जवाब देगी कि नियंत्रण की मात्रा से निकलने वाले द्रव के संवेग से नियंत्रण की मात्रा में आने वाले द्रव के संवेग को घटाकर उस दिशा में कार्य करने वाले सभी बलों के योग के बराबर है।
 तो, X दिशा में संवेग बाहर (momentum out) माइनस X दिशा में संवेग अंदर (momentum in) जो X दिशा में सभी बलों के योग के बराबर है, जो केवल सतह बल है।
 इसलिए यदि आप X दिशा में इस नियंत्रण मात्रा से बाहर संवेग देखते हैं, तो अनिवार्य रूप से शून्य है।
 इस नियंत्रण मात्रा के अंदर संवेग के रूप में दी गई है।
 निश्चित रूप से यह वैसी ही अभिव्यक्ति देता है जैसा हमें पहली मिली है।
 तो यह सीधे कार्यर्त बल के संदर्भ में, बल संतुलन को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है।
 यह तरल पदार्थ के संवेग, जो नियंत्रण सतह के माध्यम से नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकल रहा है और जो प्रवाह की दर नियंत्रण सतह के माध्यम से नियंत्रण की मात्रा में आ रही है के बराबर है।
 अब यह पता लगाने के लिए कि बल का मान क्या है।
 यह बल वास्तव में वह बल नहीं है जो प्लेट पर काम कर रहा है।
 इसलिए यह पता लगाने के लिए हम क्या करते हैं।
 हम यह पता लगाते हैं कि नियंत्रण मात्रा पर काम करने वाले बल क्या हैं।
 इसलिए, यदि आप कार्यर्त बलों को देखते हैं, यदि आप नियंत्रण मात्रा सीमा को देखते हैं, तो यह नियंत्रण सतह है, यह सतह वायुमंडल के संपर्क में है, इसलिए इस केंद्रीय सतह के साथ वायुमंडलीय दबाव कार्य करता है।
 दूसरी ओर, प्लेट की सतह पर, नियंत्रण मात्रा पर प्लेट द्वारा लगाया गया एक बल होता है।
 इस विशेष बल का मान कैसे प्राप्त करें? उसके लिए हमें प्लेट के एक फ्री बॉडी डायग्राम को बनाने की आवश्यकता है।
 इसका मतलब है कि हमें प्लेट को सभी ऑब्जेक्ट से मुक्त करना है।
 इस दिशा में यहां जेट है, यह पथ है और फिर इसे एक बल के साथ समर्थन करना है।
 उन सभी चीजों को बल के साथ बदलें जेसा की डायग्राम मे देखाया गया है।
 इसमें जाने से पहले, हम नियंत्रण मात्रा पर बलों को देखते हैं, नियंत्रण मात्रा पर शुद्ध बलों को वायुमंडलीय दबाव के कारण बल के रूप में दिया जाता है, वायुमंडलीय दबाव गुणा AP, AP मूल रूप से प्लेट का क्षेत्र है।
 तो, यह +ve दिशा मे कार्यरत बल है माइनस FP ।
 FP मूल रूप से कंट्रोल वॉल्यूम पर प्लेट से आने वाला बल है।
 तो अब हम FP के मान का अनुमान लगाने के लिए प्लेट के फ्री बॉडी डायग्राम को देखते हैं तो PF प्राप्त किया जा सकता है।
 अगर हम उस पर गौर करते हैं तो यह प्लेट पर लगने वाला बल है, विपरीत दिशा में समान बल वास्तव में प्लेट पर नियंत्रण की मात्रा के अनुसार कार्य कर रहा है और प्लेट के दूसरी ओर, आपके पास प्लेट के स्प्पोर्ट से आने वाली इस प्रतिक्रिया द्वारा समर्थित वायुमंडलीय दबाव है।
 इसलिए, हम आसानी से इसे बल संतुलन से लिख सकते हैं कि FP प्लेट के क्षेत्र गुणा P वायुमंडलीय दबाव और प्रतिक्रिया बल () के बराबर है।
 यदि आप इसे यहां रखते हैं, तो आपको क्या मिलेगा, आप सीधे का मान प्राप्त कर सकते हैं जो मूल रूप से - है।
 इसलिए, अगर हम इन मानो को प्लग-इन करते हैं, तो हमें सीधे प्लेट पर प्रतिक्रिया करने वाले प्रतिक्रिया बल का मान मिलता है और यही बल () वह बल है जो प्लेट पर प्रवाह द्वारा लगाया जाता है।
 अनिवार्य रूप से बल है, प्लेट द्वारा अनुभव की गई प्रतिक्रिया बल, इसका मतलब है कि यह बल है जो प्लेट पर तरल पदार्थ द्वारा उत्सर्जित होता है।
 अब, हम वास्तव में थोड़ी अलग नियंत्रण मात्रा का उपयोग करके उसी समस्या को हल करने की कोशिश कर सकते हैं जो हल करने के लिए वास्तविक होगा और हमें फ्री बॉडी डायग्राम का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं होगी जैसे हमने यहां किया था।
 तो चलिए हम भी यही स्थिति लेते हैं लेकिन हम इसी चीज को ढूंढना चाहते हैं, इसका मतलब है कि प्लेट पर प्रवाह द्वारा लगाया गया बल।
 हम एक अलग तरीके से नियंत्रण की मात्रा लेते हैं।
 तो, प्लेट की सतह पर समाप्त होने के बजाय अब नियंत्रण की मात्रा, यह प्लेट की सतह से परे फैली हुई है और इसे इस तरह दिखाया गया है।
 नियंत्रण मात्रा का विकल्प अलग है।
 यदि हम ऐसा करते हैं, तो निश्चित रूप से समस्या का दूसरा हिस्सा वही है और हम इसे दोहराना नहीं चाहते हैं, इसलिए हम इस हिस्से तक आ सकते हैं जहाँ हम देख सकते हैं कि बाएं हाथ की ओर मूल रूप से नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकलने वाला शुद्ध संवेग, बलों के योग के बराबर है।
 तो, इस नियंत्रण मात्रा के लिए इस बिंदु पर, स्थिति समान है क्योंकि यदि आप नियंत्रण सतहों पर वेग को देखते हैं, तो वे समान हैं।
 तो, यह इस बिंदु तक एक ही है।
 यह तब भिन्न होता है जब हम बल FXS का पता लगाने की कोशिश करते हैं।
 यह X दिशात्मक सतह बल है, जब हम ऐसा करने की कोशिश करते हैं, तो हम X दिशा में नियंत्रण मात्रा सीमा के पार देख सकते हैं, यह पर सीमा 1 और सीमा 2 में, ये दोनों सीमाएं वायुमंडलीय दबाव के संपर्क में हैं और इसी वजह से, समान वायुमंडलीय दबाव और लगभग समान वायुमंडलीय बल दोनों सीमा पर कार्य करता है।
 बेशक हम प्लेट के लिए समर्थन के छोटे क्षेत्र की उपेक्षा (neglect) करते हैं।
 और ऐसा करने से अब हम आसानी से इस नियंत्रण मात्रा पर बलों का विश्लेषण कर सकते हैं।
 हम लिख सकते हैं FXS मूल रूप से इन 2 बलों को एक दूसरे को रद्द करने के बराबर है, नियंत्रण मात्रा के एक तरफ दबाव बल और नियंत्रण की मात्रा के दूसरे पक्ष मे दबाव बल, वे एक दूसरे को रद्द करते हैं और हमारे पास केवल -RX बच जाता है।
 यही हमें पिछले मामले में भी मिला था।
 इसलिए, हम इसे यहां रख सकते हैं और प्रतिक्रिया बल को सीधे इस तरह प्राप्त कर सकते हैं।
 यह वास्तव में हमें दिखाता है कि नियंत्रण मात्रा का चुनाव वास्तव में काफी महत्वपूर्ण है क्योंकि नियंत्रण मात्रा का एक सही चुनाव समस्या को हल करने में जटिलता से बचने में हमारी मदद कर सकता है।
 यहां मूल रूप से पिछले मामले में जटिलता इस तथ्य के लिए पैदा हुई थी कि, अगर हम नियंत्रण सतह को प्लेट के साथ 3rd या 2nd कंट्रोल सतह पर ले जाते हैं, तो बल सीधे ज्ञात नहीं होता है और इसे सीधे कार्यर्त बलो के बराबर नहीं किया जा सकता है, न तो सतह पर दबाव ज्ञात है।
 तो यह है कि नियंत्रण मात्रा का चुनाव कैसे बेहतर है।
 अब केंद्र विश्लेषण जो हमने किया था उस मामले को बढ़ाया जा सकता है जहां प्लेट एक निरंतर वेग के साथ आगे बढ़ रही है।
 हम इस व्याख्यान को समाप्त करने से पहले इसे प्रदर्शित करेंगे।
 तो, इस मामले में अब हम कहते हैं कि प्लेट एक वेग UP के साथ आगे बढ़ रही है।
 हम बहुत आसानी से इस स्थिति की कल्पना कर सकते हैं कि प्लेट पर काम करने वाली ताकतें निश्चित रूप से UP के मान पर निर्भर होंगी।
 उदाहरण के लिए, यदि प्लेट द्रव के वेग के समान रूप में चल रही है, जेट के वेग के समान, इसका मतलब है कि UP U1 के बराबर है, तो प्लेट पर कोई बल नहीं लगेगा।
 यदि प्लेट का वेग जेट के इस वेग से अधिक है, तो द्रव प्लेट को छूने में भी सक्षम नहीं होगा क्योंकि तरल के संपर्क में आने से पहले प्लेट आगे चली जाएगी।
 इसलिए, स्वाभाविक रूप से जब UP U1 से कम है, लेकिन शून्य से अधिक है, तो प्लेट पर कार्य करने वाले बल का परिमाण भी बदल जाएगा।
 अब सवाल यह है कि यह कैसे बदलता है।
 इसलिए, यदि आप स्थिति को देखते हैं, तो नियंत्रण की मात्रा स्वयं अब एक वेग है क्योंकि जैसे ही प्लेट चलती है, हमें नियंत्रण मात्रा को भी तब्दील करना होगा ताकि हम स्थिति को ट्रैक कर सकें।
 नियंत्रण की मात्रा अगर यह चलती है जैसा कि हमने पहले बताया था कि हमें नियंत्रण सतहों पर सभी वेगों को एक संदर्भ फ्रेम के संबंध में लिखना होगा जो नियंत्रण मात्रा के लिए निर्धारित है।
 संदर्भ फ्रेम को इस चलती नियंत्रण मात्रा (moving control volume) के लिए तय किया जाएगा।
 तो अब एक ऑब्जर्वर जो गति से चलती हुई कंट्रोल वॉल्यूम पर बैठा है, उसके द्वारा देखा जाने वाला वेग, एक ऑब्जर्वर जो स्थिर है द्वारा देखे जाने वाले वेग से अलग होगा या जिसके संबंध में कंट्रोल वॉल्यूम एक वेग UP में घूम रहा है।
 तो, विश्लेषण का यह हिस्सा भी बदल जाएगा।
 यह कैसे बदलता है, हम देखेंगे कि समीकरण मे VX1 अब U1 के बराबर नहीं है।
 U1 एक स्थिर पर्यवेक्षक (observer) द्वारा देखा जाने वाला वेग है, मूविंग कंट्रोल वॉल्यूम पर बैठे एक ऑब्जर्वर द्वारा देखा जाने वाला वेग U1 माइनस ऑब्जर्वर या कंट्रोल वॉल्यूम का वेग होगा।
 VX1 = U1 - UP होगा, यह समीकरण अभी ठीक है, VX2 और VX3, दोनों ही शून्य होंगे क्योंकि संदर्भ फ्रेम का पर्यवेक्षक नियंत्रण मात्रा के साथ बढ़ रहा है।
 इसलिए, पर्यवेक्षक, नियंत्रण सतह के संबंध में, इस नियंत्रण सतह पर द्रव का वेग अभी भी शून्य होगा।
 फिर से कंट्रोल सतह 1 पर यह अलग होगा क्योंकि खुद अलग है और यह होने के बजाय, यह -(U1-UP) होगा।
 तो, अंतिम बल भी अलग होगा, यह है।
 और हम आसानी से देख सकते हैं कि जैसे ही UP का मान बढ़ता है, तब सतह पर जेट द्वारा लगाई जाने वाली ताकत प्लेट पर कम हो जाएगी।
 अंत में यदि UP U1 के बराबर हो जाता है, तो प्लेट द्वारा उत्सर्जित बल तरल पदार्थ या सतह पर प्रवाह के कारण प्लेट पर शून्य हो जाएगा।
 यह अब इस अभिव्यक्ति के माध्यम से प्रदर्शित किया जा सकता है।
 जैसा कि हमने देखा कि हम जड़त्वीय नियंत्रण मात्रा जो स्थिर है या स्थिर गति से आगे बढ़ रहा है, के लिए संरक्षण समीकरण लिख सकते हैं ।
 हम देखेंगे कि अगले व्याख्यान में कोणीय गति के संरक्षण के संबंध में संरक्षण सिद्धांतों का उपयोग कैसे किया जाए।
 इसलिए, इस व्याख्यान में हमने वास्तव में रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय के साथ शुरू किया था, जो पिछले व्याख्यान में प्राप्त हुआ था और हमने देखा कि यह कैसे एक नियंत्रण मात्रा के लिए संरक्षण, द्रव्यमान संरक्षण और संवेग संरक्षण समीकरण लिखने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।
 हमने तरल पदार्थ जेट द्वारा प्लेट पर डाली गई बलों की गणना करके, एक नियंत्रण मात्रा के लिए द्रव्यमान और संवेग संरक्षण समीकरण के अनुप्रयोग का भी प्रदर्शन किया, धन्यवाद।