Navier-Stokes equation for 2D incompressible flow-w-V1VPtlCJE

सुप्रभात और तरल पदार्थ गतिशीलता और टर्बो मशीनों पर इस पाठ्यक्रम के 3 वें सप्ताह के दूसरे व्याख्यान में आपका स्वागत है।
 3 वें सप्ताह के पहले व्याख्यान में जहां हम अवकल विश्लेषण से निपट रहे हैं, हमने देखा है कि द्रव्यमान संरक्षण और संवेग संरक्षण समीकरणों की व्युत्पत्ति, जिन्हें हल करके हम वेग क्षेत्र को बल और थ्रस्ट या टॉर्क जैसी समग्र मात्रा के विपरीत प्राप्त कर सकते हैं, जो आपको एक समाकल विश्लेषण के मामले में मिलता है।
 इसलिए अंतिम व्याख्यान के अंत में हमें जो मिला वह संवेग समीकरणों का एक विशेष रूप है।
 हम उस पर एक नज़र डालेंगे।
 तो CV के लिए X और Y- संवेग समीकरण, X- संवेग समीकरण इस तरह दिखते हैं।
 इसमें बाईं ओर द्रव त्वरण × घनत्व है और दाएं-हाथ की तरफ दबाव ढाल और तनाव ढाल हैं।
 तो, 2 प्रकार के तनाव यहां दिखाई देते हैं, कतरनी तनाव और सामान्य तनाव।
 इसलिए इसे आगे इस प्रकार लिखा जा सकता है, स्थानीय त्वरण के रूप में पहला घटक और संवहन त्वरण के रूप में त्वरण का दूसरा घटक।
 तो कुल त्वरण 2 घटकों से बना है, एक समय-निर्भर वेग पर विचार करता है, दूसरा वेग के संवहन घटक पर विचार करता है।
 यह उसके लिए अभिव्यक्ति है और Y-संवेग समीकरण के लिए इसी तरह हमें यह अभिव्यक्ति मिली है।
 यहाँ फिर से P के लिए ग्रेडिएंट Y के संबंध में है क्योंकि हम Y दिशा में बल संतुलन या संवेग संतुलन पर विचार कर रहे हैं।
 Y दिशा में गति संरक्षण और Y दिशा में हमारा यह त्वरण है।
 इसके अतिरिक्त हमारे पास नियंत्रण मात्रा में द्रव का वजन है।
 तो यह कुल त्वरण के लिए पूर्ण अभिव्यक्ति लिखकर अभिव्यक्ति है।
 तो आज हम जो करने जा रहे हैं, वह इस समीकरण में विशेष रूप से देखने के लिए है, यह अपप्रपण तनाव की प्रवणता और सामान्य तनाव की प्रवणता है।
 हम इन तनावों को वेग के संबंध में कैसे लिख सकते हैं? पहले व्याख्यान में हमने देखा है कि एक सरलीकृत मामले के लिए, हम न्यूटन तरल पदार्थों के लिए न्यूटन के श्यानता नियम का उपयोग कर सकते हैं और अपप्रपण तनाव को विरूपण की दर से संबंधित कर सकते हैं।
 लेकिन जिन भावों में हम निकले थे, वे बहुत सामान्य नहीं हैं और हम सीधे इसे यहाँ लागू नहीं कर सकते।
 हम देखेंगे कि सामान्य द्वि-आयामी नियंत्रण मात्रा के मामले में यह किस रूप में होता है।
 हमें तनाव विवारण करना होगा, तनाव और विरूपण की दर के बीच संबंध अभी भी वैध है लेकिन हमें यह देखना होगा कि द्वि-आयामी नियंत्रण मात्रा के मामले में द्रव तत्व के विरूपण के लिए गणितीय अभिव्यक्ति क्या है।
 तो इसके लिए हम कहते हैं कि हम एक समय t पर विचार करते हैं और हम एक 2-D नियंत्रण मात्रा पर विचार करते हैं जैसे कि हमने पिछले अध्याय में विचार किया था जब हमने बलों और गति के साथ निपटा था।
 तो यह ABCD के रूप में दिया गया है।
 अब हम मानते हैं कि इस नियंत्रण मात्रा या द्रव तत्व के ऊपर और नीचे कार्य करने वाले तनाव हैं।
 तो अगर, समय t के एक बिंदु पर, इस तरह के अपप्रपण तनाव इस तत्व पर काम कर रहे हैं, तो एक समय t+δt में क्या होगा? तो एक बार t+δt पर यह विशेष नियंत्रण मात्रा ख़राब हो जाएगी यह कुछ इस तरह दिखाई देगा।
 यह कुछ ऐसा है जो हमने पहले अध्याय में भी देखा है और गणना के आधार पर जो हमने वहां बनाया था, हमें विरूपण की दर के लिए एक अभिव्यक्ति भी मिली थी।
 तो इस तरह अपप्रपण तनाव के आवेदन पर पहले चरण से दूसरे चरण में वास्तव में क्या परिवर्तन होता है, परिवर्तन मूल रूप से नियंत्रण सतह के इस किनारे का कोण है।
 तो इस तत्व की मात्रा वास्तव में इस अपप्रपण तनाव के उपयोग पर स्थिर रहती है, यह नहीं बदलती है, केवल नियंत्रण मात्रा का आकार बदलता है।
 इसका मतलब है कि इन किनारों की लंबाई स्थिर बनी हुई है, केवल यह वह कोण है जो इस किनारे ओर ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ बनाता है, यह एक अपप्रपण तनाव के अमल पर बदलता है जैसा कि यहां दिखाया गया है।
 तो A एक नई स्थिति में जाता है A’ और D एक नई स्थिति D’ में जाता है, अब यदि आप इन 2 पर विचार करते हैं और हम विरूपण की दर के लिए एक अभिव्यक्ति खोजने की कोशिश कर सकते हैं।
 यदि हम समय को देखते हैं t+δt, यह विकृत है और हमारे पास δα के संदर्भ में विरूपण है।
 इसलिए यह δα विरूपण, δt समय के साथ हुआ है और हम इस परिवर्तन की दर या विरूपण की दर के रूप में पा सकते हैं।
 इसलिए हम इसे रूप में लिखा सकते है।
 हमने इसे अपने पहले सप्ताह के पहले व्याख्यान में देखा था।
 तो अब अगर हम इसी तरह आगे बढ़ते हैं और हम वही कंट्रोल वॉल्यूम लेते हैं और ABCD के तत्व पर Y दिशा में अब एक अपप्रपण तनाव लागू करते हैं।
 तो यह अपप्रपण तनाव की दिशा है, इसलिए इस तरह के अपप्रपण तनाव के उपयोग पर, वस्तु या तात्विक मात्रा का विरूपण थोड़ा अलग होगा, इसलिए यह इस रूप का है।
 अब हमारे पास इस कोण के संबंध में एक विरूपण है जिसे δβ कहा जाता है।
 इससे इस तत्व के विरूपण की दर बदल जाएगी, जैसे हमने X दिशा में लागू बल (अपप्रपण तनाव) के संबंध में विरूपण के मामले में किया था।
 अपप्रपण तनाव Y दिशा में भी लगाया जाता है।
 हम विरूपण के परिवर्तन की दर के लिए समान अभिव्यक्ति पा सकते हैं जो है।
 तो इस शर्त के तहत हम के रूप में विरूपण की दर को परिभाषित कर सकते हैं।
 अब यहां प्रदर्शित इन 2 मामलों में से कोई भी अकेले पूरी तरह से दो आयामी स्थिति का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।
 क्योंकि दो-आयामी स्थिति में अपप्रपण तनाव X और Y दोनों दिशाओं में कार्य करता है, जो पहले और दूसरे मामले का संयोजन है।
 इसलिए अगर हम सामान्य रूप से एक नियंत्रण मात्रा या एक द्रव तत्व को देखते हैं तो यह इस प्रकार के अपप्रपण तनाव का अनुभव करेगा जैसा कि इस चित्र में दिखाया गया है।
 इसका मतलब है कि इसमें अपप्रपण तनाव है X दिशा में कार्य कर रहा है और साथ ही अपप्रपण तनाव Y दिशा में भी कार्य कर रहा है।
 अब क्या होता है, यह देखना दिलचस्प होगा कि इन 2 अपप्रपण तनावों के आवेदन पर इस द्रव तत्व का क्या होता है।
 वास्तव में दोनों दिशाओं में 4 कतरनी तनाव लागू होता है।
 इसलिए, यदि हम इस तरह के एक तत्व को देखते हैं, तो यह इस तरह विरूपण से गुजरता होगा।
 तो कंट्रोल वॉल्यूम का यह किनारा (BC) एक कोण बना देगा δβ, जैसा कि इस मामले में किया गया है।
 यह अंदुरिनी किनारा है जो AB ओर Y अक्ष के साथ एक कोण δα बनाता हैं।
 तो आप इसे पहले मामले और 2 मामले का संयोजन मान सकते हैं।
 तो यह दो-आयामी नियंत्रण मात्रा के लिए एक अधिक सामान्यीकृत स्थिति है।
 दोनों किनारों का वास्तव में कोण बदल सकता है।
 इसलिए यह दोनों दिशाओं में विरूपित हो सकता है।
 यह एक अधिक सामान्य स्थिति है और जब हम एक सामान्य संवेग समीकरण प्राप्त करते हैं, तो हमें एक सामान्य अभिव्यक्ति लेनी होती है।
 इसलिए यदि हम इन 2 को जोड़ते हैं, तो हम दो-आयामी तत्व के लिए अब विरूपण की दर के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं जो में प्रवृत्त होता है।
 हम इसे विरूपण की दर के रूप में लिख सकते हैं, यह अपप्रपण तनाव के कारण द्रव तत्व पर खिंचाव (strain) की दर भी है।
 तो यह हमें काफी स्पष्ट तरीका देता है कि अपप्रपण तनाव की कार्रवाई के तहत एक द्रव तत्व की विकृति को कैसे व्यक्त किया जाए।
 बस याद रखें कि हमने अभी तक सामान्य तनावों पर विचार नहीं किया है जो कि संवेग समीकरण में भी आया था, जो हमने पहले अभिव्यक्ति प्राप्त की थी।
 तो अब हम देखते हैं कि यह केवल हमें अपप्रपण तनाव के कारण विरूपण की दर के लिए एक अभिव्यक्ति देता है।
 तो इसका मतलब है कि अब न्यूटन के श्यानता नियम का उपयोग करके, जो बताता है कि अपप्रपण तनाव विरूपण की दर के लिए आनुपातिक है और यह विरूपण की दर गुणा में श्यानता के बराबर है।
 इसलिए न्यूटन के श्यानता नियम का उपयोग करके हम अब वेग के साथ अपप्रपण तनाव का संबंध बता सकते हैं।
 तो विरूपण की दर के लिए आनुपातिक है, इसे हम भी लिख सकते हैं, निश्चित रूप से इसका एक ही मान है क्योंकि ये 2 सममित हैं।
 इस द्रव तत्व का कोई शुद्ध रोटेशन नहीं है, इसलिए , के बराबर है।
 ओर इसे , विरूपण की दर गुणा श्यानता () के रूप में लिखा जा सकता है।
 तो यह है कि हम वेग के संदर्भ में अपप्रपण तनाव को कैसे व्यक्त करते हैं।
 इसका उपयोग X-संवेग समीकरण के लिए हमारी पिछली अभिव्यक्ति में उपयोग किया जा सकता है।
 ऐसा करने से पहले, आइए हम देखें कि सामान्य तनाव के तहत एक द्रव तत्व का विरूपण क्या है।
 इसलिए सामान्य तनाव की स्थिति में, हालांकि यह सरल प्रतीत होता है लेकिन यह काफी जटिल है।
 जैसे ही हम आगे बढ़ते हैं तो हम परिणाम देखेंगे ।
 तो सामान्य तनाव के तहत हम विरूपण को 2 घटकों में विभाजित कर सकते हैं, एक रैखिक विरूपण है जो सबसे सरल हिस्सा है और हम शुरू करने के लिए उस हिस्से को देखेंगे।
 तो फिर से हम एक समय t पर विचार करते हैं और हम पहले की तरह इस ABCD के एक वॉल्यूम तत्व पर विचार करते हैं।
 लेकिन अब हम केवल इस बात पर विचार करते हैं कि X दिशात्मक सामान्य तनाव इस तरल तत्व पर लग रहे हैं।
 द्रव तत्व पर कोई अप्रपण तनाव कार्यर्त नहीं है।
 तो, X दिशा में केवल सामान्य तनाव इस द्रव तत्व पर कार्य कर रहा है।
 यह सबसे पहले एक रैखिक विरूपण (linear deformation) का कारण होगा, यह कुछ परिस्थितियों में अलग हो सकता है जिसे हम बहुत जल्द देखेंगे।
 जैसा कि हम t+δt समय पर जाते हैं, यह एक नया आकार लेता है और वह आकार क्या है, आकार इस तरह है।
 इसका मतलब है कि द्रव तत्व X दिशा में फैला हुआ है।
 DC अब नई स्थिति D’ C’ में स्थानांतरित हो गया है, अब यदि आप वास्तव में इसका मतलब देखते हैं, जब हम सिर्फ X दिशात्मक सामान्य तनाव पर ही विचार करते है, हम देखते हैं कि वॉल्यूम में परिवर्तन होता है, जब द्रव तत्व t+δt समय पर जाता है।
 जो अप्रपण तनाव के तहत कोणीय विकृति के मामले में नहीं था।
 वहां केवल किनारों के कोण बदलता है लेकिन वॉल्यूम में कोई बदलाव नहीं होता है।
 यहाँ वॉल्यूम में परिवर्तन होता है।
 आप कल्पना कर सकते हैं कि मात्रा में इस परिवर्तन का अर्थ यह भी है कि अब यह नियंत्रण मात्रा घनत्व के रूप में है।
 यदि घनत्व स्थिर है, तो इसे प्राप्त करना मुश्किल है या वॉल्यूम के इस परिवर्तन को प्राप्त करना संभव नहीं है।
 हम इसे बहुत जल्द देखेंगे लेकिन इससे पहले हम रैखिक विरूपण की दर के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करें।
 तो रैखिक विरूपण की दर क्या है? जैसा कि हमने कोणीय विकृति के मामले में किया था, रैखिक विरूपण की दर, लंबाई में परिवर्तन, मूल लंबाई और मौलिक समय से विभाजित है क्योंकि हम विरूपण के परिवर्तन की दर के बारे में बात कर रहे हैं न कि केवल प्रतिशत परिवर्तन।
 तो तो यह वास्तव में इस तत्व के बीच X अक्ष की लंबाई में अंतर है, अर्थात AD’ और AD के बीच की लंबाई में अंतर।
 δU के रूप में इसे आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, (δl=δUδt) वेग में अंतर गुणा δt किया जाता है और इसलिए अब हम इसे लिख सकते हैं, () यह लिखा जा सकता है।
 यह मूल रूप से विरूपण की दर है X दिशा में रैखिक विरूपण की दर।
 दूसरे मामले में आइए Y दिशा में एक सामान्य तनाव पर विचार करें, AD और BC सतह के लंबवत अब अगर हम उस पर विचार करते हैं, तो हम देखते हैं कि एक समान चीज होती है।
 रैखिक विरूपण Y दिशा में होता है, यह Y अक्ष मे खिंचता है, क्योंकि X अक्ष मे कार्य करने वाला कोई तनाव या कोई बल नहीं है, यह जैसा है वैसा ही रहता है और फिर से वॉल्यूम में वृद्धि होती है।
 तो मात्रा बढ़ जाती है जैसे कि आप यहां से यहां तक ​​जाते हैं, इसलिए विरूपण की दर अब फिर से प्राप्त की जा सकती है जैसे कि हम पहले प्राप्त करते हैं।
 ।
 यह पहले से परिभाषित से अलग है क्योंकि यह , Y दिशा में लंबाई में परिवर्तन है जो द्वारा गुणा किए गए वेग अंतर द्वारा दिया जाएगा।
 तो यह के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे कि हमने कोणीय विकृति के मामले में भी किया था।
 तो Y दिशा के साथ रैखिक विकृति की दर को द्वारा दिया जाएगा।
 एक सामान्य तत्व X दिशा और Y दिशा दोनों में सामान्य तनाव का अनुभव करता है (जैसे हमने अप्रपण तनाव के लिए पिछली स्लाइड में देखा था), तो आइए देखते हैं यह कैसा दिखेगा।
 तो यह कुछ इस तरह दिखेगा।
 तो यहां X दिशा के साथ-साथ Y दिशा में भी तनाव कार्य कर रहा है तो यह X दिशा और Y दिशा दोनों में फैलता है।
 यदि हम उस पर विचार करते हैं, तो हम पाते हैं कि द्रव तत्व के विरूपण की कुल दर वास्तव में है, जैसा कि हमने एक अंसपीड्य प्रवाह पर विचार किया है तो यह वास्तव में शून्य हो जाती है।
 अतः इस व्युत्पत्ति के लिए अंसपीड्य प्रवाह पर विचार किया गया है, . तो एक अंसपीड्य प्रवाह के लिए रैखिक विरूपण वास्तव में शून्य है।
 इसका मतलब है, यह भी है कि हम पहले यह समझाने की कोशिश कर रहे थे कि यह विकृति केवल तरल पदार्थ की हो सकती है या प्रवाह संकुचित है।
 इसका मतलब है, अगर तनाव के आवेदन पर मात्रा में बदलाव होता है, तो वॉल्यूम में कुल परिवर्तन केवल तभी संभव है जब घनत्व भिन्न होता है।
 उदाहरण के लिए यदि आप यहां से यहां तक ​​जाते हैं, यदि घनत्व कम हो जाता है, तो द्रव्यमान को स्थिर रखते हुए वॉल्यूम बढ़ सकती है।
 लेकिन यह केवल तभी स्वीकार्य है जब आपके पास संपीड़ित प्रवाह होता है।
 एक असंपीड़ित प्रवाह के लिए यह संभव नहीं है।
 इसलिए इस भाग से हमें परेशान होने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि हम असंपीड़ित प्रवाह पर विचार कर रहे हैं।
 हमें सामान्य तनाव के तहत कोणीय विकृति को ध्यान में रखना होगा।
 अब यह एक ऐसी चीज है जो सबसे कठिन हिस्सा है।
 हम इस बारे में अधिक जानकारी में नहीं जाएंगे क्योंकि इसमें अवकल करना बहुत मुश्किल है।
 इसलिए हम सामान्य तनावों को देखते हुए क्या कहने की कोशिश करते हैं।
 हालांकि यह कल्पना करना मुश्किल है कि सामान्य तनाव के तहत या X दिशात्मक सामान्य तनाव जैसी सरल स्थिति में देखते है।
 यह तनाव वास्तव में कोणीय विकृति का परिणाम हो सकता है क्योंकि यदि हम इस द्रव तत्व को देखते हैं, तो इस सतह पर मौजूद द्रव तत्व एक सामान्य तनाव के अधीन है, लेकिन अगर यह एक वर्ग तत्व है, अगर हम इस द्रव तत्व का विकर्ण लेते हैं, तो यह एक अपप्रपण का अनुभव करेगा।
 तो सामान्य तनाव द्रव तत्व में एक अपप्रपण को प्रेरित कर सकता है जो कि आप स्ट्रेन्थ ऑफ मटिरियल (strength of materials) के विश्लेषण के संबंध में उससे परिचित हो सकते हैं।
 जहाँ हम एक मोहर सर्कल (mohr’s circle) का उपयोग करके पदार्थ में तनाव की स्थिति को परिभाषित करने का प्रयास करते हैं।
 तो इन सामान्य तनावों के तहत एक तत्व, द्रव के साथ ठोस भी, तत्व में अपप्रपण तनाव विकसित होंगे और यदि यह सिर्फ एक वर्ग तत्व को लेते है और यह एक यूनिडायरेक्शनल सामान्य तनाव है।
 तो अपप्रपण तनाव, सामान्य तनाव के आवेदन की दिशा से 45 डिग्री पर अधिकतम होगी।
 जैसा कि हम एक तरल पदार्थ के मामले में जानते हैं, द्रव हमेशा एक अपप्रपण के कारण प्रवाह करता है।
 इसीलिए यह सामान्य तनाव, अपप्रपण प्रेरित करेगा जो प्रवाह का कारण बनेगा और इस कारण इस तत्व की कोणीय विकृति होगी।
 हम यहां अधिक विवरण मे गए बिना, हम सीधे विरूपण की दर की अभिव्यक्ति लिख सकते हैं।
 अगर हम अपप्रपण तनाव की कार्रवाई के कारण कोणीय विरूपण पर विचार करते हैं, तो विरूपण की दर के लिए अभिव्यक्ति बहुत अलग नहीं है।
 तो अपप्रपण तनाव ने कोणीय विकृति में सामान्य तनाव परिणाम को प्रेरित किया और विरूपण की दर, इसके लिए अभिव्यक्ति पहले के रूप में लिखी जा सकती है।
 यह विवरण से प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन हम व्युत्पत्ति में नहीं जाते हैं, लेकिन हम अपप्रपण प्रेरित विरूपण के साथ इस अभिव्यक्ति की समानता का निरीक्षण करते हैं।
 इसलिए, जब हमने अपप्रपण प्रेरित कोणीय विकृति की व्युत्पत्ति की, तो यह के रूप में सामने आया, अब हम की बात कर रहे हैं, इसका मतलब है कि केवल यहां लागू किया गया है।
 इसलिए यदि हम अपप्रपण प्रेरित विरूपण की दर की अभिव्यक्ति में Y को X के साथ और V को U के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें अभिव्यक्ति इस तरह मिलती है।
 तो यह वास्तव में यह है।
 अब इसे विरूपण की दर के रूप में देखते हुए, न्यूटन के श्यानता नियम से सामान्य तनाव को के रूप में लिखा जा सकता है।
 इसलिए हम देखते हैं कि न केवल अपप्रपण तनाव बल्कि तरल पदार्थ पर काम करने वाले सामान्य तनाव को वेग ढाल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 अब अनिवार्य रूप से हमें 2 भाव मिल गए हैं जो आवश्यक थे, संवेग समीकरण में दिखने वाले तनाव शब्द को बदलने के लिए।
 इसका मतलब है कि वेग के संदर्भ में अपप्रपण तनाव के लिए अभिव्यक्ति और वेग के संदर्भ में सामान्य तनाव के लिए अभिव्यक्ति।
 हम इस वेग ढाल को संवेग समीकरण में प्लग-इन कर सकते हैं और फिर हम वेग के संदर्भ में पूरी तरह से समीकरण प्राप्त कर सकते है।
 हम इसे करते हैं और देखते हैं कि अंतिम समीकरण कैसा दिखता है।
 तो उस में जाने से पहले, हम को भी देख सकते हैं जो के समान रूप में लिखा जा सकता है।
 इसलिए अब अपप्रपण तनाव के लिए अभिव्यक्ति को देखते हुए, हम X-संवेग समीकरण लिख सकते हैं, इसलिए यह X-संवेग समीकरण का रूप था जिससे हमने प्राप्त किया था।
 इसमें अपप्रपण तनाव के साथ-साथ सामान्य तनाव का अवकल था।
 इसलिए हम अपप्रपण तनाव, सामान्य तनाव लिख सकते हैं।
 इस भाग को अब वेग और वेग ढाल के संदर्भ में व्यक्त से बदला जा सकता है।
 इसलिए यह पद हम अलग से लेते हैं और हम देखते हैं कि यह कैसा दिखता है।
 अगर आपको याद है कि मूल रूप से अपप्रपण तनाव के कारण कोणीय विकृति की दर है जो के बराबर है।
 दूसरी ओर के रूप में हम पिछली स्लाइड में निकले थे, जैसा दिखता है।
 इसलिए अब हम इस अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं।
 हम पहला पद लिख सकते हैं, यदि आप केवल अवकल लेते हैं तो हम को यहाँ स्थिर मानते हैं अन्यथा हमे इसे भी अवकल के रूप में लिखना पड़ेगा।
 अगर हम मानते हैं कि एक परिवर्तनशील मात्रा है, तो भी हम इसे प्राप्त कर सकते हैं।
 लेकिन हम व्युत्पत्ति के लिए मान रहे हैं कि श्यानता स्थिर है।
 एक स्थिर श्यानता पर विचार करने से हमें पहला समीकरण मिलता है।
 लेकिन हमने वास्तव मे , इन 2 चीजों को इंटरचेंज किया है, यह अनुमति है आंशिक अवकल के नियम से को रूप में लिख सकते हैं।
 हमने केवल एक विशेष कारण के लिए इसका आदान-प्रदान किया, हम बहुत जल्दी देखेंगे।
 अब हम इस अभिव्यक्ति को ध्यान से देख सकते हैं, यदि आप इस अभिव्यक्ति को देखते हैं, तो हमें क्या मिलता है, यह के अलावा और कुछ नहीं है क्योंकि हम 2-डी के अंसपीड्य प्रवाह पर विचार कर रहे हैं, इसलिए के बराबर है, इसलिए होगा।
 यहां इन मानो को रखना है ताकि हम एक अधिक सरलीकृत समीकरण प्राप्त कर सकें।
 तो यह हमारी अंतिम अभिव्यक्ति है, जो अब मूल X-संवेग समीकरण में प्लग की जा सकती है।
 जो दिया गया है, इसलिए इसे अब इस प्रकार दिया जाएगा।
 तो यह संवेग समीकरण का हमारा अंतिम रूप है, जैसा कि आप देख सकते हैं कि यहां अज्ञात अब वेग और दबाव के संदर्भ में हैं।
 इसलिए हमारे पास वेग और दबाव के संदर्भ में समीकरण हैं।
 इसलिए हम अब वेग क्षेत्र प्राप्त करने के बारे में सोच सकते हैं।
 हमने इसे U वेग के लिए प्राप्त किया है।
 इसी तरह हम इसे V वेग से भी V संवेग समीकरण प्राप्त कर सकते हैं।
 कृपया ध्यान दें कि इस समीकरण में भी V वेग दिखाई देता है क्योंकि U वेग के कुल अवकल में एक संवहन शब्द होता है जो V पर निर्भर होता है।
 तो Y गति समीकरण में, अब इसी तरह हम इस तरह की अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं इसलिए मूल रूप से यह हमें पूर्ण रूप में 2-D अंसपीड्य प्रवाह के लिए नवियर-स्टोक्स (Navier-Stokes equation) समीकरण देता है।
 तो जैसा कि आप देख सकते हैं यह समीकरण हमें वेग क्षेत्र और दबाव क्षेत्र के लिए हल करने की अनुमति देगा।
 बेशक आप इस तथ्य पर ध्यान दे सकते हैं कि हमारे पास यहाँ 2 समीकरण हैं, X-संवेग समीकरण और Y-संवेग समीकरण और हमारे पास 3 अज्ञात हैं, U, V और दबाव ।
 तो तीसरी समीकरण को लागू करने की आवश्यकता है जो निरंतरता समीकरण (continuity equation) है।
 हालांकि यह दबाव के संदर्भ में सीधे नहीं है, ये 3 समीकरण, निरंतरता समीकरण या द्रव्यमान संरक्षण समीकरण, X-संवेग समीकरण और Y-संवेग समीकरण, 3 अज्ञात को हल करने के लिए है।
 द्रव्यमान संरक्षण और X और Y दिशा संवेग संरक्षण से आने वाले ये 3 स्वतंत्र समीकरण, प्रवाह क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर वेग के संदर्भ में पूर्ण प्रवाह क्षेत्र और प्रवाह क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर दबाव को हल करने में हमारी मदद करते हैं, ।
 यह अवकल विश्लेषण के लिए हमारा उद्देश्य था और हम उस विशेष बिंदु पर पहुंच गए हैं।
 अब यदि आप इस समीकरण को देखते हैं, तो हम इन 2 समीकरणों को एक साथ जोड़ सकते हैं और इसे वेक्टर रूप में लिख सकते हैं।
 कई कारणों की वजह से इन समीकरणों को वेक्टर रूप में लिखना काफी उपयोगी है।
 पहला कारण यह है कि यह समीकरण अब बहुत सामान्य समीकरण है जो स्थिर श्यानता के साथ एक अंसपीड्य प्रवाह पर लागू होता है।
 यदि आप एक 3-डी वेग क्षेत्र पर भी विचार करते हैं, तो वह चीज यहां अंतर्निहित है क्योंकि वेग को यहां दोनों अभिव्यक्तियों में वेग वेक्टर के रूप में दर्ज किया गया है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण को यहां एक वेक्टर मात्रा के रूप में व्यक्त किया गया है।
 निश्चित रूप से इसका केवल एक घटक है जो कि g का परिमाण (magnitude) है।
 हम सामान्य रूप में कैसे लिख सकते हैं, यह मूल रूप से है, नबला () जिसे ग्रेडिएंट के रूप में भी जाना जाता है, इसलिए दबाव का ग्रेडिएंट, निश्चित रूप से यह एक वेक्टर ऑपरेटर है, इसलिए यह वेक्टर कैल्कुलस के संदर्भ में है जो हम अभिव्यक्ति लिख रहे हैं।
 तो यह एक वेक्टर ऑपरेटर है, या तो यह ग्रीक प्रतीक नबला है और वेक्टर कैलकुलस में इसे ग्रेडिएंट के रूप में जाना जाता है, स्केलर मात्रा का ग्रेडिएंट, दबाव एक स्केलर मात्रा है।
 इसलिए इसे के रूप में लिखा जा सकता है, X दिशा में यूनिट वेक्टर है, इसलिए यह एक ऑपरेटर है, इसलिए यह किसी भी स्केलर मात्रा को वेक्टर ढाल देता है जैसे कि यहां दिया गया है।
 यहाँ का मतलब गुना है लेकिन सरल गुणन नहीं है, यह एक स्केलर गुणा, है।
 तो मूल रूप से है और इसे इस रूप में व्यक्त किया जाता है।
 इसलिए यदि आप अभी देखते हैं, यदि आप इन चीजों को यहां प्लग इन करते हैं, तो आपको समान समीकरण मिलता है।
 अब ग्रेड या डेल स्क्वायर के लिए यह अभिव्यक्ति कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (Cartesian coordinate system) के संदर्भ में लिखी गई है और आप इस समीकरण को विभिन्न अन्य समन्वय प्रणाली में लिख सकते हैं।
 उदाहरण के लिए यदि आप किसी चैनल (channel) के माध्यम से प्रवाह को हल कर रहे हैं, तो यह उपयोगी है, एक समन्वय प्रणाली का उपयोग करें जैसे कि यहां प्रदर्शित किया गया है, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली।
 जबकि यदि आप एक गोल पाइप (circular pipe) के माध्यम से प्रवाह को हल कर रहे हैं, तो इसे बेलनाकार समन्वय प्रणाली (cylindrical coordinate system) मे लेना आसान है और इस वेक्टर रूप में समीकरण लिखकर यह समन्वय प्रणाली को स्वतंत्र बनाता है।
 इसका मतलब है कि यह समीकरण वास्तव में किसी भी समन्वय प्रणाली के लिए है यदि आपने उचित रूप से इस समीकरण में ग्रेड और डेल वर्ग के मूल्य को बदल दिया है।
 एक बेलनाकार या गोलाकार निर्देशांक में और के लिए अभिव्यक्ति अलग है लेकिन नवीयर-स्टोक्स समीकरण समान है।
 तो यह गणितीय समीकरणों का प्रतिनिधित्व करने का एक बहुत ही कॉम्पैक्ट तरीका है, इस विशेष मामले में नवियर-स्टोक्स समीकरण।
 तो यह हमें दूसरे व्याख्यान के अंत में लाता है।
 दूसरे व्याख्यान में हमने जो किया वह मूल रूप से हमने तनाव पर ध्यान दिया है और तनाव, खिचाव दर या विरूपण की दर से केसे संबंधित है और हमने अलग से देखा है कि अपप्रपण तनाव विकृति की दर से कैसे संबंधित है।
 सामान्य तनाव विकृति की दर से कैसे संबंधित है और हमें वेग क्षेत्र के संदर्भ में इन तनावों की अभिव्यक्ति मिली है।
 जो पहले व्याख्यान के अंत में जो संवेग समीकरण व्युत्पन्न हुए थे उनमे उपयोग होती है।
 वहां प्लग करने के बाद, हमें संवेग समीकरण, X-संवेग समीकरण और Y-संवेग समीकरण का पूर्ण रूप मिला।
 अब हमारे पास समीकरण का पूरा सेट है जो हमें एक प्रवाह में या द्रव में वेग क्षेत्र दे सकता है।
 इस समीकरण को हल करने से, मतलब द्रव्यमान संरक्षण और संवेग संरक्षण समीकरण से हम प्रवाह में किसी भी बिंदु पर वेग और दबाव प्राप्त कर सकते हैं।
 व्याख्यान के अंत में हमने यह भी प्रदर्शित किया कि कैसे सदिश संकेतन का उपयोग करके एक कॉम्पैक्ट और समन्वित मुक्त (coordinate free) तरीके से समीकरण को लिखा जाए।
 हम इस पर अपनी चर्चा जारी रखेंगे और हमारे पास इस सप्ताह के तीसरे व्याख्यान में प्राप्त समीकरण के उपयोग पर कुछ काम करेंगे।
 धन्यवाद।