Boolean Algebra-1kn6tY8TWBQ

बेसिक इलेक्ट्रॉनिक्स में फिर से आपका स्वागत है।
 इस व्याख्यान में, हम लॉजिकल फ़ंक्शन(Logical function) को जारी रखेंगे और देखेंगे कि कैसे उनका सरलीकरण किया जा सकता है।
 हम सम-ऑफ-प्रोडक्ट(sum-of-product)फार्म(form) और प्रोडक्ट-ऑफ-सम(product-of-sum) फॉर्म जैसे लॉजिकल फ़ंक्शन(Logical function) को व्यक्त करने के लिए उपयोग किए जाने वाले दो मानक रूपों को भी देखेंगे।
।
 अंत में, हम लॉजिकल फ़ंक्शन(logical function) के लिए ट्रुथ टेबल(truth table) में अक्सर देखे गए डोन्ट केयर स्थिति(Don't Care Condition) को देखेंगे।
 चलो शुरू करें।
 आइए हम कुछ और उपयोगी प्रमेयों को देखें; यहाँ A के बराबर A प्लस A B है।
 अब इस प्रमेय को सिद्ध करने केलिए हम दो दृष्टिकोण का पालन कर सकते हैं (a)जैसा कि हम कर रहे हैं हम लेफ्ट-हैंड साइड (LHS) और राइट-हैंड साइड की ओर(RHS) के लिए सभी संभावित इनपुट संयोजनों के लिए सत्य तालिकाओं का निर्माण कर सकते हैं और दिखा सकते हैं कि वे समान हैं।
 दृष्टिकोण (b) हम पहचान और प्रमेयों का उपयोग कर सकते हैं जो हम पहले से ही जानते हैं और फिर दिखाते हैं कि लेफ्ट-हैंड साइड (LHS) और राइट-हैंड साइड (RHS) समान हैं।
 तो, आइए हम इस मामले केलिए इस दूसरे दृष्टिकोण का अनुसरण करें, यह हमारा लेफ्ट-हैंड साइड (LHS) A प्लस A B है जिसे हम A डॉट 1 के रूप में लिख सकते हैं फिर हम इन दोनों टर्म (term) को इस तरह जोड़ सकते हैं।
 1 प्लस B क्या है? यह सिर्फ 1 है, और फिर A डॉट 1, A है और यह राइट-हैंड साइड (RHS) है जो इस प्रमेय को साबित करता है।
 यहाँ एक और समान प्रमेय A डॉट A प्लस B के बराबर A है।
 आइए हम लेफ्ट-हैंड साइड (LHS)से शुरू करते हैं, और हम इसे A डॉट A प्लस A डॉट B के रूप में लिख सकते हैं, A डॉट A क्या है ? Aहै, और यह हमें देता है A प्लस A B।
 और हमने पहले ही देखा है कि A प्लस A B, Aके समान है, इसलिए , हम A प्राप्त करते हैं अंतिम स्लाइड में, हमने इस प्रमेय को सिद्ध किया है और इस प्रमेय को भी, लेकिन हमें वास्तव में ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है कि हम इस दूसरे प्रमेय को पहले प्रमेय से प्राप्त कर सकते हैं बस ऑर(OR) ऐण्ड(AND) के बीच द्वैत के सिद्धांत (principle of duality)का उपयोग करके।
 आइए देखें कि यह कैसे किया जा सकता है।
 आइए हम लेफ्ट-हैंड साइड (LHS) इस A और B को डुअलिटी(duality) से A प्लस B ऑर(OR) A ऑर(OR) B देखते हैं और फिर यह A प्लस यह A डॉट डुअल (Dual) बन जाता है, जो कि A प्लस B है और इसलिए , हमारा लेफ्ट-हैंड साइड (LHS)अब A डॉट A प्लस B बन गया है; और राइट-हैंड साइड (RHS) केवल A है और A का डुअल (Dual)A है, क्योंकि इसमें कोई भी ऑपरेशन शामिल नहीं है।
 और इसलिए , हम इस प्रमेय A डॉट A प्लस B के बराबर A प्राप्त कर सकते हैं।
 इसी तरह, आइए हम A प्लस A बार 1के बराबर मानते हैं।
 और हमें देखते हैं; इस प्रमेय के डुअल (Dual) क्या है यह जानकर कि प्लस और डॉट एक दूसरे के डुअल (Dual) और 1 और 0 भी एक दूसरे के डुअल (Dual) हैं।
 तो, डुअल (Dual) का लेफ्ट-हैंड साइड (LHS)क्या है, हम इस प्लस को डॉट के साथ बदल देते हैं और A डॉट A बार प्राप्त करते हैं।
 1 के राइट-हैंड साइड (RHS) के डुअल (Dual) का डुअल (Dual) क्या है।
 इसलिए , हमें यहां 0 मिलता है, और इसलिए हम A डॉट A बार के बराबर 0 लिख सकते हैं।
 इसलिए , जब हम इस प्रमेय को जान लेते हैं, तो हम इसे प्राप्त कर सकते हैं।
 हम इस द्वैत के सिद्धांत (principle of duality) के द्वारा फिर से साबित किए बिना प्राप्त कर सकते हैं।
 आइए हम जारी रखते हैं यहाँ एक और प्रमेय है, A प्लस A बार B के बराबर A प्लस B है, आइए हम इस प्रमेय को सिद्ध करें।
 हम A प्लस A बारB को A प्लस A बार और A प्लस B लिखने केलिए डिस्ट्रिब्यूशन लॉ(Distribution law) का उपयोग कर सकते हैं।
 A प्लस A बार क्या है यह 1 है, इसलिए यह 1 है डॉट A प्लस B है और बस A प्लस B है।
 , जो इस प्रमेय को सिद्ध करता है।
 इस 1 में एक डुअल (Dual)प्रमेय है, और आपको यह पता लगाना चाहिए कि इस मूल प्रमेय से यह कैसे चलता है।
 एक और प्रमेय A B प्लस A B बार A के बराबर है।
 आप यह कैसे साबित करते हैं, A B प्लस A B बार A डॉट B प्लस B बार फिर से डिस्ट्रिब्यूशन लॉ(Distribution law) है और B प्लस B बार 1 है, इसलिए यह A डॉट 1 है जो हमें A देता है।
 एक बार फिर, एक संबंधित डुअल (Dual)प्रमेय है, और आपको यह देखना चाहिए कि यह इस से आता है।
 आइए इस कथन पर विचार करें।
 भारत-ऑस्ट्रेलिया मैच में, यदि एक या अधिक निम्न स्थितियाँ मिलती हैं, तो भारत जीत जाएगा।
 और स्थितियां क्या हैं - (a) - तेंदुलकर एक शतक लगाते हैं, (b) तेंदुलकर शतक नहीं बनाते हैं, और शेन वार्न को विफल करते हैं, असफल होने का मतलब है कि वह विकेट लेने में विफल रहते हैं, (c)- तेंदुलकर शतक नहीं बनाते हैं AND सहवाग शतक बनाते हैं।
 तो, ये स्थितियां हैं।
 और स्पष्ट रूप से यह कथन काफी जटिल है; इसे समझना बहुत आसान नहीं है।
 और देखते हैं कि क्या हम इस कथन को सरल बनाने केलिए अपनी पहचान और सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं।
 आइए हम T को एक लॉजिकल वेरिएबल्स(Logical variable) परिभाषित करते हैं जो तेंदुलकर के शतक के लिए स्टैंड करता है,और इसका क्या मतलब है, इसका मतलब है कि यह वेरिएबल्स(variable) 1 है अगर तेंदुलकर वास्तव में एक शतक बनाते हैं, अन्यथा यह 0. है।
इसी तरह, सहवाग के शतक के लिए S स्टैंड करता है , वार्न विकेट लेने में विफल के लिए W स्टैंड करता है और भारत की जीत के लिए I स्टैंड करता है।
 और अब हम इस कथन को फिर से लिख सकते हैं जैसे कि I के बराबर T प्लस T बार Wप्लस T बार S है और हमारे पास यह ऑर(OR) ऑपरेशन यहां क्यों हैं क्योंकि बयान में कहा गया है कि भारत जीतेगा यदि निम्न में से 1 या अधिक शर्तें पूरी होती हैं और इस लॉजिकल या ऑपरेशन(operation) का ठीक यही अर्थ है।
 और वे तीन स्थितियां क्या हैं, पहला तो तेंदुलकर का शतक है, जो इस लॉजिकल वेरिएबल्स(Logical variable) T के समान है, दूसरा है तेंदुलकर एक शतक और वार्न(warne) विफल नहीं होता है, इसलिए यह दो चीजों में से एक है T बार और दूसरा Wइत्यादि है।
 और हम अब इस अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं।
 आइए हम T को T प्लस T के रूप में लिखते हैं।
 फिर हम इस T और इस T बार Wको इस T को जोड़ सकते हैं और यहT बार ऐसा है कि यह T प्लस T बार W।
 हम T प्लस T बार डॉट T प्लस Wके रूप में लिख सकते हैं।
 इसी तरह , Tप्लस T बार S T प्लस T बार डॉट T प्लस ST प्लस T बार 1 है, जिससे हमें T प्लस Wफिर से T प्लस T बार 1मिलता है यहां 1 है जो हमें T प्लस S देता है।
 तो, हम T प्लस Wप्लस T प्लस S प्राप्त करते हैं जो T प्लस Wप्लस S के समान है क्योंकि यह T प्लस T, T के समान ही है।
 इसलिए , अब हमारे पास एक बहुत ही सरल कथन है और वह कहता है कि भारत जीतेगा यदि 1 या अधिक निम्न स्थितियाँ सत्य हैं; (a) तेंदुलकर स्ट्राइक करता है, जो तेंदुलकर एक शतक बनाता है, (b) वार्न विकेट लेने में विफल रहता है, और (c) सहवाग स्ट्राइक जो कि सहवाग शतक है।
 आइए अब मानक रूपों में लॉजिकल फ़ंक्शन(Logical function) पर चर्चा करते हैं, इसे एक उदाहरण के रूप में लेते हैं, यह तीन वेरिएबल्स(variable) A, B और C का एक फ़ंक्शन(function) है और हम इस फ़ंक्शन(function) को X 1 के रूप में इस फ़ंक्शन(function) को X 2 इत्यादि कहेंगे।
 तो, यह X X 1 प्लस X 2 प्लस X 3 प्लस X 4 के समान है।
 और इस फॉर्म को प्रोडक्ट(product) का योग कहा जाता है, क्योंकि यह वास्तव में एक योग(sum) की तरह दिखता है, ये ऑर(OR) ऑपरेशन हैं।
 तो, यह इन शर्तों का एक योग(sum) है और प्रत्येक टर्म(term) वास्तव में एक प्रोडक्ट(product) की तरह दिखता है, ये यहां ऐण्ड(AND) ऑपरेशन(operation) हैं।
 तो, इस फॉर्म को ऑर(OR) के अनुरूप उत्पादों का योग ऐण्ड(AND) के समान प्रोडक्ट(product) का योग कहा जाता है।
 हम X के लिए एक व्यवस्थित तरीके से ट्रुथ टेबल(truth table) का निर्माण कर सकते हैं यह जानते हुए कि हमारे पास प्रोडक्ट(product)का यह योग है।
 हम ऐसा कैसे करते हैं, एक A B और C के सभी संभावित संयोजनों को शामिल करता है, क्योंकि A BC में से प्रत्येक दो मानों को 0 या 1 ले सकता है।
 हमारे पास 2 से 3 संभावनाएं हैं और हमने पहले देखा है।
 दूसरा, X 1 को सारणीबद्ध करें, जो A बार BC बार वगैरह है।
 और हम कैसे करते हैं कि हम जानते हैं कि X 1 केवल 1 है यदि A बार 1 B 1 है और C बार 1 है जो A - 0 है, B 1 है और C 0 है अन्यथा X 1 0. है, तो हम कर सकते हैं इस तरह से X 1, X 2, X 3, X 4 को सारणीबद्ध करें।
 और अंत में, चूँकि X X 1 प्लस X 2 प्लस X 3 प्लस X 4 है।
 हम जानते हैं कि X 1 है यदि इन चार टर्म (term) में से कोई 1 है; अन्यथा X 0 है और इस तरीके से हम X को सारणीबद्ध कर सकते हैं।
 आइए एक उदाहरण लेते हैं और यह करते हैं।
 तो चलिए , अब इस फंक्शन X केलिए ट्रुथ टेबल(truth table) बनाते हैं, जिसे हमने अंतिम स्लाइड में देखा था।
 और चरण संख्या एक जैसा कि हमने कहा कि सभी संभावनाओं, A , B और C के सभी विभिन्न संयोजनों की गणना करना है और हमें बस एक बार फिर से गुजरना है क्योंकि यह बहुत महत्वपूर्ण है।
 इसलिए , हम 0 0 0 से शुरू करते हैं और फिर हम C को हर एक प्रविष्टि को बदलने की अनुमति देते हैं।
 तो, 0 से 1, 1 से 0 इत्यादि पर हम हर दो प्रविष्टियों को बदलने की अनुमति देते हैं 0 0 फिर उसके बाद 1 1 फिर 0 0 और उसके बाद 1 1. और हम A को हर चार प्रविष्टियों को बदलने की अनुमति देते हैं, इसलिए चार 0 चार के बाद 1. और अगर हमारे पास उदाहरण केलिए एक और वेरिएबल्स(variable) था, तो वह वेरिएबल्स(variable) हर आठ प्रविष्टियों और इतने पर बदल जाएगा और यह सभी संभावित इनपुट संयोजनों को समाप्त करने का एक तरीका है।
 अब हम X 1 को देखते हैं, और X 1 A बार B C बार के समान है और यह टर्म(term) 1 है यदि A बार 1है, B है1, और C बार 1 है और A बार 1 है जब A 0. है, तो क्या है हमें आवश्यकता है कि A 0 के बराबर है, B 1 के बराबर है, C 0 के बराबर है, इसलिए 0 1 0. तो, आइए हम इस तालिका में इसे देखें।
 तो, इस संयोजन(combination) के लिए X 1 होगा1, और अन्य सभी संयोजनों केलिए X 1 भी 0 होगा।
 X 2 के बारे में क्या है, हमें आवश्यकता है, A, 0 के बराबर, B 1 के बराबर, C 1 के बराबर, की आवश्यकता है, इसलिए 0 1 1 यहां है।
 तो, इस संयोजन के लिए X 2 1 है और यह अन्यथा यह 0 है।
 X 3, हमें A के बराबर 1, B के बराबर 0, C के बराबर 0, की आवश्यकता है, इसलिए 1 0 0 यहाँ है जो यहां और इसी तरह से है।
 X 4 हमें A के बराबर 1, B के बराबर 1, C के बराबर 0 चाहिए, इसलिए, 1 1 0 यहाँ, वह 1 है और अन्य सभी 0 है अब, हम X 1, X 2, X 3, X 4 और अब हम X केलिए सत्य तालिका का निर्माण कर सकते हैं।
 और चूंकि यह एक ऑर(OR) ऑपरेशन है, यदि X इनमें से कोई भी 1 है।
 तो, इसलिए , X यहाँ 1, यहाँ, यहाँ और यहाँ 1 होगा, और अन्यथा यह 0 होगा तो, चार 1 और अन्यथा सभी 0, ताकि X कैसा दिखता है।
 आइए अब हम एक लॉजिकल फ़ंक्शन(logical function) लिखने केलिए एक वैकल्पिक रूप देखें।
 तो, आइए एक फ़ंक्शन(function) Y पर फिर से तीन वेरिएबल्स(variables) A BC पर विचार करें और जो Y जैसा दिखता है वह Y 1 और Y 2 और Y 3 और Y 4 है; Y 1 A प्लस B प्लस CA या B या C है; Y 2 A प्लस B प्लस C बार वगैरह है।
 अब, इस फॉर्म को `प्रोडक्ट ऑफ़ सम'(product of sum) कहा जाता है क्योंकि यह एक प्रोडक्ट की तरह दिखता है, हालांकि यह वास्तव में एक AND ऑपरेशन है और इनमें से प्रत्येक इस ऑर(OR) ऑपरेशन के कारण योग की तरह दिखता है।
 तो, इसीलिए इसे प्रोडक्ट ऑफ़ सम'(product of sum) कहा जाता है।
 और हम Y केलिए एक व्यवस्थित तरीके से सत्य तालिका(truth table) का निर्माण कर सकते हैं जैसे हमने सम ऑफ प्रोडक्ट(sum of products) के लिए किया था।
 और हम देखते हैं कि हम उसके बारे में कैसे जा सकते हैं।
 चरण संख्या 1; हम A BC के सभी संभावित संयोजनों की गणना करते हैं और यह हमने पहले ही एक से अधिक बार देखा है।
 चरण संख्या 2, हम Y 1 को सारणीबद्ध करते हैं जो A प्लस B प्लस C है और यह देखते हुए कि Y 1 0 है, केवल अगर इनमें से प्रत्येक 1 है अर्थात A 0 है, B 0 है, और C 0 है और उसी में है जिस तरह से हम Y 2 Y 3 और Y 4. को सारणीबद्ध करते हैं और अंत में, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि Y 1 और Y 1, Y 2, Y 3 और Y 4. है और इसलिए , Y 0 है यदि इनमें से कोई भी 0 है अन्यथा Y है 1, और हम A B C के एक समारोह के रूप में Y को सारणीबद्ध करने केलिए उपयोग कर सकते हैं तो, हम इसे यह काम करने दो।
 तो, यहाँ हमारी तालिका है।
 और हम उन सभी इनपुट संयोजनों को सूचीबद्ध करने के फिर से इस हिस्से से नहीं गुजरेंगे, जिन्हें हमने पहले देखा है।
 आइए हम Y 1 से शुरू करते हैं जो A प्लस B प्लस C है और Y 1 केवल 0 है यदि इनमें से प्रत्येक 0. है, तो A , 0 है, B 0 है और C 0 है और यहीं पर होता है।
 तो, उस प्रविष्टि केलिए , Y 1 0 है, अन्यथा Y 1 ऐसा है।
 Y 2 के बारे में क्या है, Y 2 0 है, यदि A 0 है B0 है और C बार 0 है तो इसका मतलब है, C 1 है।
 इसलिए , हमारे पास 0 0 1 है जो यहां लिखा गया है।
 तो, उस संयोजन केलिए Y 2 0 है और अन्यथा यह 1 जैसा है।
 Y 3 के बारे में क्या है, Y 3 एक बार प्लस B प्लस C बार है।
 तो, जो हमें चाहिए वह A 1 के बराबर है, B 0 के बराबर है, C 1 के बराबर है; इसलिए , 1 0 1 यह यहाँ लिखा है।
 तो, Y 3 वहां 0 है और अन्यथा यह 1 है।
 Y 4 के बारे में क्या? Y4, A बार प्लस B बार प्लस C बार है।
 तो, हमें A के बराबर 1 , B के बराबर 1 और यहां C के बराबर 1 की आवश्यकता है यहीं; 0 वहाँ और 1 यहाँ भी।
 और अब हम अपने Y को A, B, C. Y के फ़ंक्शन(function) के रूप में प्राप्त कर सकते हैं।
 तो, Y 0 है यदि इनमें से कोई भी 0 है, तो इसका मतलब है कि, Y यहाँ 0 होगा, यहाँ, यहाँ और यहाँ, इसलिए चार 0 और शेष सभी 1 हैं, इसलिए यह हमारा समग्र फ़ंक्शन(function) Y है।
 और हमें इस बारे में टिप्पणी करने दें।
 यदि हम इस तालिका की तुलना उस तालिका से करते हैं जो हमने फ़ंक्शन(function) X केलिए देखी है, तो दो स्लाइड पहले, आप पाएंगे कि ये प्रविष्टियां समान हैं, तो इसका मतलब है कि यह Y X के समान है जिसे हमने वहां देखा था।
 लेकिन वह X एक बहुत ही अलग फ़ंक्शन(function) की तरह दिखता था और केवल यह कहने केलिए जाता है कि यह एक उदाहरण है कि एक ही फ़ंक्शन(function) को दो अलग-अलग रूपों में लिखा जा सकता है, जाहिरा तौर पर अलग-अलग रूप।
 इस स्थिति में, X सम ऑफ प्रोडक्ट(Sum Of Products) फॉर्म में था और Y प्रोडक्ट ऑफ सम(product Of sum) फार्म में था।
 तो, वे पूरी तरह से अलग दिखते हैं, लेकिन वे वास्तव में समान फ़ंक्शन हैं।
 तो, ऐसा हो सकता है और हमें यह बात याद रखनी चाहिए ।
 अब हम कुछ परिभाषाओं पर विचार करेंगे।
 आइए इस फ़ंक्शन(function)X को तीन वेरिएबल्स(variables) A , B, C, A BC बार प्लस A बार BC प्लस A बार BC बार मानें।
 अब, इस फॉर्म को सम ऑफ प्रोडक्ट(Sum Of Products ) मानक कहा जाता है और प्रत्येक व्यक्ति इस एक या एक टर्म(term) को या इस एक को, जिसमें तीनों वेरिएबल्स(variables) होते हैं, कोमिन्टर्म(minterm) कहा जाता है।
 तो, इस अभिव्यक्ति में तीनमिन्टर्म(minterm) हैं।
 और अगर हम X केलिए ट्रुथ टेबल(truth table) तैयार करते हैं, तो हम पाएंगे कि X के लिए 1 की संख्या यहांमिन्टर्म(minterm) की संख्या के समान है।
 तो, हम X के लिए सत्य तालिका में तीन 1 पाएंगे।
 अब, X को A BC बार के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, पहला टर्म(term) जैसा कि प्लस A बार B है और हम इन दो टर्म (term) को जोड़ सकते हैं क्योंकि यह A बार B यहां आम है और हम A बार B और C प्लस C बार प्राप्त करते हैं, C प्लस C बार 1. है, तो हमें जो मिलता है वह A बार B है जो 1 के साथ समाप्त होता है, जो सिर्फ A बार B है।
 अब, हमारे पास एक और सम ऑफ प्रोडक्ट(Sum Of Products )फॉर्म है, लेकिन ध्यान दें कि इस टर्म(term) के यहाँ प्रोडक्ट(product) टर्म(term) में तीनों वेरिएबल्स(variable) नहीं हैं, और इसलिए यद्यपि यह भी सम ऑफ प्रोडक्ट(Sum Of Products )फॉर्म(form) है क्योंकि यह मानक एक नहीं है।
 पूरी तरह से अनुरूप तरीके से, हम मानक प्रोडक्ट-ऑफ-सम(product-of-sum) फॉर्म(form) के बारे में भी बात कर सकते हैं, और आइए हम इसे एक उदाहरण के रूप में लेते हैं, यहां X के बराबर A प्लस B प्लस CA बार प्लस B प्लस CA बार प्लस B बार प्लस C है।
 और निश्चित रूप से, हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि यह ऐण्ड(AND) ऑपरेशन यहां भी है, हालांकि हम स्पष्ट रूप से इसे कभी-कभी नहीं दिखाते हैं।
 अब इस फॉर्म को प्रोडक्ट-ऑफ-सम(product-of-sum) फॉर्म का मानक और प्रत्येक व्यक्तिगत टर्म(term) कहा जाता है जिसमें तीनों वेरिएबल्स(variable) होते हैं।
 ध्यान दें कि यहाँ तीन वेरिएबल्स(variable) हैं, यहाँ और साथ ही यहाँ प्रत्येक व्यक्तिगत टर्म को A मैक्सटर्म(maxterm) कहा जाता है।
 तो, यह एक मैक्सटर्म(maxterm) है जो एक मैक्सटर्म(maxterm) है और यह भी एक मैक्सटर्म(maxterm) है।
 तो, इस अभिव्यक्ति में तीन अधिकतम हैं।
 और यदि हम X केलिए एक ट्रुथ टेबल(truth table) तैयार करते हैं, तो उस तालिका में 0 की संख्या अधिक से अधिक संख्या में होगी।
 तो, इस मामले में, तीन 0 होंगे क्योंकि हमारे पास अब तीन मैक्सटर्म(maxterm) हैं, X को फिर से लिखा जा सकता है।
 यह हमारी मूल व्यंजक(Expression) है और हम ध्यान दें कि इस दूसरी कोष्ठक(bracket) और तीसरी कोष्ठक में कुछ चीजें कॉमन हैं A बार प्लस C यहां, A बार(bar) प्लस C यहां, इसलिए वह कॉमन(common) है।
 तो, आइए हम इस संपूर्ण अभिव्यक्ति को इस रूप में लिखते हैं।
 तो, हमने लिखा है कि A बार(bar) प्लस C प्लस B और A बार प्लस C प्लस B बार।
 अब, हम उस वितरण का नियम (Distributive law)का उपयोग कर सकते हैं, जिसे हमने पहले देखा है कि दूसरा वितरण का नियम (Distributive law) सटीक है, जिसे हमने देखा है, और इन दोनों कोष्ठकों को फिर से जोड़ दें तो हमें A बार प्लस C प्लस B और B बार मिलता है और B और B बार निश्चित रूप से 0 है।
 और फिर हमें यहां A बार प्लस C मिलता है और यह कोष्ठक जैसा है वैसा ही रहता है।
 तो, अंत में, हमारे पास A प्लस B प्लस C और A बार प्लस C है।
 अब यह प्रोडक्ट-ऑफ-सम(product-of-sum) फॉर्म(form) भी है यह एक योग है यहां यह एक राशि है और यहां एक प्रोडक्ट(product) ऑर(OR) ऐण्ड(AND) ऑपरेशन है, लेकिन यह है मानक रूप नहीं, क्योंकि यहाँ हमारे पास तीनों वेरिएबल्स(variable) नहीं हैं।
 हमने अभी तक देखा है कि डिजिटल वेरिएबल्स(variable) या एक लॉजिकल वेरिएबल्स(Logical variable) केवल दो मान 0 और 1 ले सकता है, लेकिन एक तीसरी संभावना है और इसे डोन्ट केयर स्थिति(Don't Care Condition) कहा जाता है।
 तो, आइए हम उदाहरण के साथ इसका क्या अर्थ बताते हैं।
 हम कहते हैं कि मैं एक व्यापारी है जो बहुत व्यस्त है, और मेरे पास समय नहीं है कि मैं समय-समय पर नियुक्तियों जैसे सांसारिक मामलों के बारे में सोचता रहै और इस तरह, मैं उस समय को और अधिक पैसा बनाने के लिए खर्च करूंगा।
 इसलिए , मैं एक बॉक्स डिजाइन करना चाहता है जिसमें तीन इनपुट A , B, C और एक आउटपुट S है जो मुझे मेरी नियुक्तियों को निर्धारित करने में मदद करेगा।
 तो, आइए हम अपने वेरिएबल्स(variables) को लॉजिकल वेरिएबल्स(Logical variable) A, B, C और S. परिभाषित करें।
 A स्टैंड फॉर मैं शहर में हूँ; और नियुक्ति के लिए सुझा जा रहे टाइम स्लॉट का अर्थ है कि यदि यह पूरी स्थिति सत्य है तो A 1 है; अन्यथा A 0 है।
 B का मतलब है कि मेरा पसंदीदा खिलाड़ी एक मैच खेलने के लिए निर्धारित है जिसे मैं T V पर देख सकता हूं, उदाहरण के लिए, तेंदुलकर या जो कोई भी आपका पसंदीदा खिलाड़ी है।
 C मेरे व्यवसाय के लिए नियुक्ति के लिए महत्वपूर्ण है; और S आउटपुट वेरिएबल्स(variable) है, यह अपॉइंटमेंट को शेड्यूल(schedule) करने के लिए है।
 आइए अब हम इन शर्तों के साथ सत्य तालिका(truth table) तैयार करते हैं।
 तो, यहाँ तालिका A , B, C इनपुट वेरिएबल्स(variable) हैं और S आउटपुट वेरिएबल्स(variables) हैं।
 और अब हम इन प्रविष्टियों में से प्रत्येक को A, 0 के बराबर, B को X के बराबर, C को X के बराबर समझने की कोशिश करते हैं,अब S 0 है, A 0 के बराबर का अर्थ क्या है; इसका मतलब है कि, यह स्थिति झूठी है और इसका मतलब है कि, सुझाव दिया जा रहा है कि समय स्लॉट(time slot) उपलब्ध नहीं है।
 इसलिए , मेरे पसंदीदा खिलाड़ी के खेलने या नियुक्ति के महत्वपूर्ण होने का सवाल ही नहीं उठता।
 इसलिए , इसलिए , इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि B है 0 या 1. या C है 0या 1 है, नियुक्ति को निर्धारित करने की कोई गुंजाइश नहीं है और इसलिए , S 0. है।
 अब, इन स्थितियों को डोन्ट केयर स्थिति(Don't Care Condition)कहा जाता है।
 तो, इसका क्या मतलब है यह वास्तव में मायने नहीं रखता है, चाहे वह 0 या 1 हो, फ़ंक्शन(function) अन्य मामले में बदलने वाला नहीं है।
 तो, कृपया ध्यान दें कि हमारे पास सत्य तालिका(Truth Table) में X नामक एक नई इकाई(entity) है जो हमारे द्वारा देखी गई की डोन्ट केयर स्थिति(Don't Care Condition) करती है।
 अब, अगली प्रविष्टि A, 1 के बराबर, B, 0 के बराबर, C, Xके बराबर, और S 1 के बराबर, आइए देखें कि यह कैसे काम करता है A 1 है।
 इसलिए , समय स्लॉट उपलब्ध है B 0 है, इसलिए मेरा पसंदीदा खिलाड़ी उस दिन एक मैच खेलने नहीं जा रहा है।
 C का ध्यान नहीं है, जिसका अर्थ है कि यह वास्तव में मायने नहीं रखता है कि यह नियुक्ति मेरे व्यवसाय केलिए महत्वपूर्ण है या नहीं, और किसी भी तरह से मैं आगे बढ़कर इस नियुक्ति को निर्धारित करूंगा।
 इसलिए , इसलिए , S 1 के बराबर है।
 अगला, हमारे पास 1 1 0 है, S 0. के बराबर है।
 इसलिए , समय स्लॉट उपलब्ध है मेरा पसंदीदा खिलाड़ी उस दिन एक मैच खेल रहा है जिसे मैं देखना चाहता है कि क्या मेरे पास है एक विकल्प और यह पता चला है कि निराशा मेरे व्यवसाय केलिए महत्वपूर्ण नहीं है।
 इसलिए , मैं आगे बढ़ूंगा और मैच देखूंगा और नियुक्ति को शेड्यूल नहीं करूंगा।
 इसलिए , इसलिए , S 0. है।
 अगला, समय स्लॉट उपलब्ध है, मेरा पसंदीदा खिलाड़ी उस दिन एक मैच खेल रहा है, लेकिन अब मैं मैच नहीं देखना चाहता क्योंकि नियुक्ति मेरे व्यवसाय केलिए महत्वपूर्ण है।
 इसलिए , मैं मैच के बारे में चिंता नहीं करूंगा, मैं अपने व्यवसाय के बारे में चिंता करूंगा, और इसलिए मैं नियुक्ति को शेड्यूल करूंगा, इसलिए इसलिए S 1 है।
 संक्षेप में, हमने लॉजिकल वेरिएबल्स(Logical variable) के लिए एक नया मान देखा है और जिसे X द्वारा दर्शाया गया है; यह डोन्ट केयर स्थिति(Don't Care Condition) है।
 X 0 या 1 हो सकता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता है, यह उस फ़ंक्शन(function) के मान को नहीं बदलता है जिसमें हम रुचि रखते हैं और इसलिए , इसे डोन्ट केयर स्थिति(Don't Care Condition) कहा जाता है।
 और डोन्ट केयर स्थिति(Don't Care Condition) का उपयोग अक्सर लॉजिकल फ़ंक्शन(Logical function) के अधिक कुशल कार्यान्वयन को प्राप्त करने केलिए किया जा सकता है।
 और हम कई उदाहरण देखेंगे कि यह कैसे किया जा सकता है।
 सारांश में, हमने देखा है कि प्रोडक्ट-ऑफ-सम(product-of-sum) फॉर्म या प्रोडक्ट-ऑफ-सम(product-of-sum) फॉर्म में एक लॉजिकल फ़ंक्शन(Logical function) कैसे व्यक्त किया जा सकता है।
 हमने लॉजिकल वेरिएबल्स(Logical variable) केलिए एक तीसरे संभावित मान पर भी ध्यान दिया जो X द्वारा निरूपित डोन्ट केयर स्थिति(Don't Care Condition) है।
 अगली कक्षा में, हम लॉजिकल फ़ंक्शन(Logical function) को कम करने के तरीके पर ध्यान देंगे।
 फिर मिलते हैं।