PHASORS-1-cyn5gJeVdsA

मूल इलेक्ट्रॉनिक्स में आपका स्वागत है।
 अब तक हमने dc स्रोतों के साथ सर्किट को देखा है, सर्किट में एक साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) वोल्टेज स्रोत है और विशेष रूप से हम तथाकथित साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) स्थिर स्थिति में समाधान में रूचि रखते हैं।
 इस व्याख्यान में हम पहले साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) स्थिर स्थिति शब्द का अर्थ देखेंगे; फिर हम फेजर(PHASOR) नामक एक नई अवधारणा का उपयोग करके उस स्थिति में वोल्टेज और धाराओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक सुविधाजनक तरीका देखेंगे।
 हम यह भी देखेंगे कि साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) स्थिर स्थिति में RL और C का प्रतिनिधित्व करने के लिए फेजर(PHASOR) का उपयोग कैसे किया जा सकता है।
 तो आइए शुरू करें; आइए हम इस शब्द की मदद से साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) स्थिर स्थिति के इस शब्द के अर्थ को समझने की कोशिश करें, यह एक साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) इनपुट वोल्टेज के साथ एक RC सर्किट है, यहां एक स्विच है जो t के बराबर 0 पर बंद हो जाता है और प्रारंभ में कपैसिटर(Capacitor) के बिना चार्ज किया जाता है; इसका मतलब है, V c 0 है।
 आइए सर्किट समीकरण के साथ इस समीकरण 1 से शुरू करें, यह क्या कहता है? यह कहता है कि यह वोल्टेज ड्रॉप प्लस यह वोल्टेज ड्रॉप स्रोत वोल्टेज के समान होना चाहिए, यह वोल्टेज ड्रॉप धारा(Current) में R गुणा है और धारा(Current) CdVc d t है।
 तो, यह वही है जो यहां R बार C V c प्राइम कहता है कि, प्लस V c से अधिक होने के लिए Vm cos ओमेगा t के बराबर होना चाहिए, जब स्विच बंद हो जाता है।
 t का समाधान वी सी(VC) 2 घटकों से बना है, यह एक समरूप घटक है जो इस सुपरस्क्रिप्ट h के साथ इंगित किया गया है और इस सुपरस्क्रिप्ट P के साथ संकेत दिया गया एक विशेष घटक है।
 समरूप घटक V c h t समरूप विभेदक समीकरण, R C V c प्राइम प्लस v c 0 के बराबर संतुष्ट करता है।
 इसलिए, हम स्रोत शब्द छोड़ देते हैं और यह सब हमें समीकरण मिलता है और इस समीकरण में यह समाधान होता है ए ई टाउ(tau) द्वारा माइनस से कम करने के लिए बढ़ाता है , R टाइम्स C के बराबर टाउ(tau) के साथ।
 आइए अब हम दूसरे समाधान को विशेष समाधान देखें, क्योंकि फोर्सिंग फ़ंक्शन वी एम(Vm) कॉस(Cos) ओमेगा (omega) t है, हम सी 1 कॉस(Cos) ओमेगा (omega) t के बराबर टी(T) का वी सीपी(V c p) आजमा सकते हैं, साथ ही C 2 ज्या(sin) ओमेगा(omega) t एक उम्मीदवार समाधान के रूप में और जब हम इसे समीकरण 1 में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम यहां इस समीकरण को प्राप्त करते हैं और स्थिरांक सी 1 और C 2 मिल सकते हैं।
 और स्थिरांक C 1 और C 2 को ज्या(sin) ओमेगा (omega) t के गुणांक और बाएं और दाएं तरफ कॉस(Cos) ओमेगा (omega) t के गुणांक द्वारा पाया जा सकता है।
 V m के बराबर 1 वोल्ट के साथ एक विशिष्ट उदाहरण है, एफ 1 किलो हेर्ट्ज 2 के बराबर है; Capacitance के लिए यहाँ 0.5 सूक्ष्म और फिर हम इस आंकड़े में V C प्राप्त करते दिखाए गए हैं।
 पूरा समाधान एक ई पिछले स्लाइड से टाउ(tau) द्वारा t को कम करने के लिए बढ़ाता है, यह समरूप हिस्सा प्लस सी 1 कॉस(Cos) ओमेगा (omega) t, प्लस सी 2 ज्या(sin) ओमेगा (omega) t यह समाधान का एक विशेष हिस्सा है।
 अब जब t इंफिनिटी(infinity) में पड़ता है, तो घातीय(एक्सपोनेंशियल) शब्द 0 हो जाता है, यह 0 तक जाता है और हमें इस भाग में सी 1 कॉस(Cos) ओमेगा (omega) t प्लस c 2 ज्या(sin) ओमेगा (omega) t के बराबर t के v के साथ छोड़ दिया जाता है।
 और हम देख सकते हैं कि इस केस में भी, यह हमारा t 0 के बराबर है, वह समय है जब स्विच बंद हो जाता है, और शुरुआत में कुछ घातीय(एक्सपोनेंशियल) क्षणिक होता है और अंत में, क्षणिक गायब हो जाता है और हमारे पास साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) स्थिर स्थिति होती है ।
 इसलिए, इसे साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) स्थिर स्थिति प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है, क्योंकि सर्किट में सभी मात्रा धाराओं और वोल्टेज प्रकृति में साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) होते हैं और यह किसी भी सर्किट के लिए आम तौर पर सच साबित होता है, जिसमें प्रतिरोधी कैपेसिटर्स इंडक्टर्स, साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) वोल्टेज और धारा(Current) स्रोत आश्रित स्रोत होते हैं सीसीसीएस, सीसीवीएस इत्यादि के रूप में, इसलिए, इन घटकों वाले किसी भी सर्किट में समान तरीके से व्यवहार किया जाता है जो सर्किट में प्रत्येक धारा(Current) और वोल्टेज पूरी तरह से साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) बन जाता है क्योंकि t इंफिनिटी (infinity) तक रहता है।
 इसलिए, सर्किट में प्रत्येक धारा(Current) और प्रत्येक वोल्टेज की प्रत्येक मात्रा में साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) स्थिर स्थिति में यह रूप होगा।
 आइए जारी रखें और अब हम फेजर(PHASOR) पेश करना चाहते हैं।
 साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) स्थिर राज्य फेजर(PHASOR) में धाराओं और वोल्टेज का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।
 तो, चलो देखते हैं कि एक फेजर(PHASOR) क्या है।
 एक फेजर(PHASOR) एक जटिल संख्या है, यही कारण है कि यह बोल्डफेस में लिखा गया है, इसमें X m और थीटा (Theta) का कोण आया है।
 तो, यह फेजर(PHASOR) X है और हम इसे X m के रूप में फिर से लिख सकते हैं जो यहां j थीटा (Theta) के लिए है, और इसमें डोमेन में निम्नलिखित व्याख्या है।
 फेजर(PHASOR) एक्स के अनुरूप हमारे पास एक्स के t द्वारा निर्दिष्ट समय डोमेन मात्रा है और व्याख्या इस प्रकार की X है जो इस संख्या का D I हिस्सा है जो फेजर(PHASOR) X को बढ़ाकर j ओमेगा (omega) t तक बढ़ाया गया है।
 तो देखते हैं कि यह क्या बदलता है; हमारा फेजर(PHASOR) कुछ भी नहीं है, लेकिन X m टाइम्स e j थीटा (Theta) को उठाया गया है जो ई ओमेगा (omega) t को बढ़ाकर गुणा करता है।
 अब हम जे ओमेगा (omega) t प्लस थीटा (Theta) को उठाए जाने के लिए इन 2 शर्तों को जोड़ सकते हैं, j ओमेगा (omega) t प्लस थीटा (Theta) को क्या उठाया गया है? यह कॉस (Cos) ओमेगा (omega) t प्लस थेटा, ओमेगा (omega) t प्लस थीटा (Theta), के j प्लस ज्या(sin) है और हम केवल उस अभिव्यक्ति का असली हिस्सा ले रहे हैं, इसलिए, हमें X m कॉस (Cos) ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(Theta) मिलता है।
 तो, यही समय है कि एक फेजर(PHASOR) एक्स समय डोमेन में मेल खाता है।
 आइए कुछ और टिप्पणियां करें, फासर्स का उपयोग साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) स्थिर स्थिति में सर्किट के विश्लेषण को सरल बनाता है और हम इसके कुछ उदाहरण देखेंगे।
 ध्यान दें कि एक फेजर(PHASOR) ध्रुवीय रूप या आयताकार रूप में लिखा जा सकता है, यह ध्रुवीय रूप x m कोण थेटा को परिमाण कोण रूप भी कहा जाता है, जो X के रूप में वही है जो X m e को j थीटा (Theta) तक बढ़ाता है और जिसे x m के रूप में लिखा जा सकता है कोस(Cos) थीटा (Theta) प्लस j x m ज्या(sin) थीटा (Theta) इसे आयताकार रूप कहा जाता है।
 यह आंकड़ा दिखाता है कि x के ध्रुवीय और आयताकार रूपों का प्रतिनिधित्व कैसे किया जा सकता है, यह धुरी x का असली हिस्सा है जो जटिल संख्या है, यह धुरी x का काल्पनिक हिस्सा है, यह हमारा फेजर(PHASOR) है, इसमें x m की परिमाण है और थीटा(Theta) के कोण।
 वैकल्पिक रूप से हम इस घटक को भी लिख सकते हैं जो X का वास्तविक घटक है और यह घटक x का काल्पनिक घटक है, और यह हमें आयताकार रूप देता है।
 अब एक अंतिम टिप्पणी ओमेगा (omega) t शब्द बहुत महत्वपूर्ण है हमेशा निहित है।
 इसलिए, जब हम उदाहरण एक्स के लिए एक फेजर(PHASOR) लिखते हैं, तो हम वहां ओमेगा (omega) t नहीं लिखते हैं, लेकिन यह समझा जाता है कि ओमेगा (omega) t हमेशा निहित है और इस तरह यह डोमेन अभिव्यक्ति में इस समय आता है।
 आइए अब कुछ उदाहरण लें कि समय डोमेन और आवृत्ति डोमेन में कुछ कैसे प्रदर्शित किया जा सकता है।
 यहां टी 3.2 कॉस ओमेगा (omega)tप्लस 30 डिग्री वोल्ट का वोल्टेज वी 1 है, हम इसे फेजर(PHASOR) फॉर्म में लिख सकते हैं; परिमाण 3.2 है और कोण 30 डिग्री है।
 तो, यही है कि फेजर(PHASOR) 3.2 कोण 30 डिग्री की तरह दिखता है।
 हम यह भी लिख सकते हैं कि 3.2 ई के रूप में जे PI(pi) 6 तक बढ़ाना है, क्योंकि 30 डिग्री 6 रेडियंस द्वारा PI(pi) के समान है।
 t का एक और उदाहरण `I 'माइनस से 1.5 कॉस(Cos) है, ओमेगा (omega)tप्लस 60 डिग्री है।
 अब यह उस रूप में काफी नहीं है जिसे हम चाहते हैं, क्योंकि हमारे पास यह माइनस चिह्न है।
 तो, आइए इस अभिव्यक्ति को 1.5 कोस(Cos), ओमेगा (omega) t प्लस PI(pi) 3 के रूप में दोबारा लिखें जो कि 60 डिग्री सेल्सियस पाई है; यह माइनस स PI(pi) इस माइनस चिह्न के लिए यहां खाता है और यह फॉर्म त्रिकोणमितीय पहचान का पालन करता है।
 अब हम इन 2 शब्दों को जोड़ सकते हैं और ओमेगा (omega) t माइनस 2 PI(pi) 3 से प्राप्त कर सकते हैं और अब हम इसी तरह के फेजर(PHASOR) को लिख सकते हैं।
 सामान्य 1.5 और कोण माइनस 2 PI(pi) 3 तक।
 अगला उदाहरण t 2 के बराबर टी 2 माइनस से कम ओमेगा (omega) t; एक बार फिर हम इसको यहां माइनस साइन नहीं करना चाहते हैं, इसलिए हम इस अभिव्यक्ति को 0.1 कॉस(Cos)ओमेगा (omega)tप्लस PI(pi) के रूप में फिर से लिखते हैं, यह प्लस PI(pi) यहां माइनस चिह्न की भी गणना करता है और ध्यान दें कि हम या तो प्लस PI(pi) लिख सकते हैं या हम माइनस PI(pi) लिख सकते हैं हमने यह पिछले उदाहरण में किया था।
 अब संबंधित फेजर(PHASOR) परिमाण 0.1 है और पीई(pi) के बराबर कोण है; इसके बाद हमारे पास t का I 2 है जो की 0.18 ज्या(sin) ओमेगा (omega)tके बराबर है।
 अब हमें यहां पर ज्या(sin) की आवश्यकता नहीं है इसलिए, हम इस अभिव्यक्ति को 0.18 कॉस(Cos), ओमेगा (omega) t माइनस PI(pi) के रूप में दोबारा लिख ​​दें और अब हम इसी तरह के फेजर(PHASOR) को लिख सकते हैं, आई 2 0.18 के बराबर है जो परिमाण 0.18 कोण माइनस PI(pi) है 2 से, तो वह कोण है।
 आइए अब रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन का एक उदाहरण लें, आवृत्ति डोमेन विवरण को फेजर(PHASOR) आई 3 दिया गया है जो कि एंपीयर(amperes) में 1 प्लस जे 1 है।
 अब हम उस समय डोमेन रूप में रूपांतरित करना चाहते हैं, अब यह आयताकार रूप में है जिसे हम पहले इसे ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करते हैं।
 तो, वे वर्ग रूट 2 कोण 45 डिग्री हैं, और यह हम समय डोमेन में सीधे लिख सकते हैं।
 तो आई(I) 3 का टी वर्ग रूट 2 कॉस ओमेगा (omega) t प्लस 45 डिग्री है, और हमेशा याद रखें कि यह ओमेगा (omega) t निहित है।
 इसलिए, हम इसे फेजर(PHASOR) में नहीं लिखते हैं, लेकिन हम समझते हैं कि यह हमेशा वहां होता है।
 आइए अब addition फेजर(Phasors) के बारे में बात करते हैं, सबसे पहले हमें 2 साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) टाइम डोमेन मात्राओं को जोड़ने पर विचार करें जैसे t के बराबर v 1 के बराबर v, प्लस v 2 के t, V 1 t को v m 1 कॉस(cos) ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(Theta) 1 द्वारा दिया जाता है, और t 2 V t V m 2 कॉस(Cos) ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(Theta) 2 द्वारा दिया जाता है।
 अब संबंधित फासरों(Phasor) के अतिरिक्त पर विचार करें; यह फेजर(PHASOR) t के v 1 के अनुरूप है, यह फेजर(PHASOR) t के v 2 के अनुरूप है।
 इसलिए, V 1 इसलिए, v m 1 ई है जो 1 को बढ़ाता है और यह v m 1 और कोण थेटा थेटा(Theta) 1 v 2 समान रूप से v m 2 e j थेटा(Theta) को बढ़ाता है 2. उस समय डोमेन में यह फेजर(PHASOR) V जो है V 1 प्लस V 2 V tilde t के अनुरूप है, V tilde t फेजर(PHASOR) v टाइम्स e के वास्तविक हिस्से के बराबर जे ओमेगा (omega) t के लिए उठाया।
 जैसा कि हमने पहले देखा है, इस समय डोमेन में एक फेजर(PHASOR) लिखा जा सकता है।
 तो, अब, हम V के लिए प्रतिस्थापित करते हैं जो Vm 1 है, e j t 1 को बढ़ाता है, प्लस V m 2 e j थेटा(Theta) 2 को उस तरह बढ़ाता है; और अब हम इसे जम्मू 1 तक बढ़ा सकते हैं और e ओमेगा (omega) t को बढ़ा सकते हैं ताकि ओ ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(Theta)1 को बढ़ाया जा सके और इसी प्रकार e ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(Theta) 2 में उठाया जा सके।
 अब हमें इस संपूर्ण अभिव्यक्ति का असली हिस्सा लेने की जरूरत है, और यह v m 1 कॉस(Cos) ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(Theta)1, प्लस v m 2 कॉस ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(Theta) 2 बन गया है।
 वास्तव में, v के समान है वहां ठीक नहीं है।
 अब निष्कर्ष क्या है? निष्कर्ष यह है कि यदि हमारे पास t के t और v 2 के v 1 जैसे V साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) भिन्न मात्राएं हैं, तो हम उन्हें सीधे जोड़कर अपनी राशि प्राप्त कर सकते हैं या हम परिणामी फेजर(PHASOR) V से संबंधित फ़ैसर जोड़ सकते हैं।
 यहां, हम उस समय डोमेन मात्रा प्राप्त कर सकते हैं।
 तो आखिरी स्लाइड से हम कह सकते हैं कि टाइम(Time) डोमेन में साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) मात्राओं को जोड़ने से साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) स्थिर स्थिति में संबंधित फासरों के अतिरिक्त प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
 और निम्नलिखित बिंदु के कारण यह हमारे लिए बहुत महत्वपूर्ण है; KCL और KVL समीकरण, जो एक नोड पर 0 के बराबर t के सिग्मा I k है, जो किसी दिए गए नोड पर सभी धाराओं को 0 तक जोड़ता है और एक लूप में 0 के बराबर t के सिग्मा V के होते हैं, यह सभी वोल्टेज है एक लूप के साथ 0 तक जोड़ें।
 इन समीकरणों में साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) मात्राओं को जोड़ने के लिए राशि है और इसलिए, संबंधित फेजर(PHASOR) समीकरणों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, फेजर(PHASOR) समीकरण क्या हैं? एक नोड पर 0 के बराबर फेजर(PHASOR) धाराओं का सिग्मा और फेजर(PHASOR) शाखा वोल्टेज के सिग्मा एक लूप में 0 के बराबर है।
 आइए अब पहले अवरोधक के प्रतिबाधा से शुरू होने वाली प्रतिबाधा की अवधारणा को पेश करें; यहां टाइम(Time) में एक अवरोधक है जो t के प्रतिरोधी धारा(Current) आई(I) है, और t का V प्रतिरोधी में वोल्टेज है।
 अब आवृत्ति डोमेन में हम इस धारा को फेजर(PHASOR) I और वोल्टेज V के साथ वोल्टेज के साथ प्रतिस्थापित करते हैं; और अब हम फेजर(PHASOR) वी को फेजर(PHASOR) I टाइम्स के बराबर लिख सकते हैं, जो कभी कभी Z कहलाता है, जहां Z को प्रतिबाधा कहा जाता है और हम वास्तव में दिखाते हैं कि हम ऐसा कर सकते हैं।
 I टी V I m कॉस(Cos) ओमेगा (omega)tप्लस थेटा(theta) के बाद, हमारे पास t के बराबर R टाइम्स I t है जो कि हर समय वैध है और यह R के बराबर है I, कॉस(cos) ओमेगा (omega) t plus theta के लिए प्रतिस्थापन के बाद वहां से t का, और हम इसे परिभाषित कर सकते हैं कि V m कॉस(cos) ओमेगा (omega) t प्लस थेटा जहां V m R टाइम्स I है।
 अब t के t और V के अनुरूप फेजर(PHASOR) क्रमश है I आई(I) के लिए है हमारे पास R I m कोण थेटा(theta) है, I m परिमाण है और थेटा(theta) कोण है; v के लिए हमारे पास R I m कोण थेटा(theta) है, R I m परिमाण है और थेटा(theta) कोण है।
 इसलिए, हमने फेजर(PHASOR) V और फेजर(PHASOR) I के बीच निम्नलिखित संबंध हैं, जो कि वी आर टाइम्स आई(I) के बराबर है और हम देख सकते हैं कि यहां से V जो कि R I m कोण थेटा(theta) आई(I) है ।
 तो, इसलिए, V केवल R गुणा I है और इसलिए, एक अवरोधक की प्रतिबाधा जिसे j द्वारा बराबर j के रूप में परिभाषित किया गया है, Z से R प्लस j 0 के बराबर Z बराबर है आर और R वास्तविक संख्या है ।
 इसलिए, हम उस वास्तविक संख्या को R प्लस j 0 के रूप में लिखते हैं।
 इसलिए, प्रतिरोधी की प्रतिबाधा प्रतिरोध ही है।
 आइए हम एक संधारित्र(capacitor) के लिए अब एक ही प्रक्रिया का पालन करें, और इसके प्रतिबाधा को फिर से z के रूप में चिह्नित करें।
 तो t के संधारित्र V में इस वोल्टेज को v m cos ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(theta) के बराबर होना चाहिए, धारा(Current) क्या है? उस दिशा में धारा(Current) में यह c dVdt है और जब हम इस मात्रा को अलग करते हैं तो हमें कम से कम ओमेगा V m ज्या(sin) ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(theta) मिलता है।
 और अब हम पहचान कॉस(cos) फ़ाई(phi) प्लस PI(pi) द्वारा 2 का उपयोग कर सकते हैं माइनस ज्या(sin) फ़ाई(phi) और हम इन 3 शर्तों के बराबर c ओमेगा V m के बराबर t प्राप्त करते हैं, ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(theta) प्लस PI(pi) के 2 बार इस तरह से।
 फासरों के केस(Case) में, फेजर(PHASOR) V V m कोण थेटा(theta) है, V m परिमाण है और थेटा कोण और फेजर(PHASOR) है I ओमेगा c V m कोण थेटा(theta) प्लस PI(pi) 2 है।
 ओमेगा C V m परिमाण और थेटा(theta) प्लस PI(pi) 2 है कोण।
 अब हम I को ओमेगा C v m के बराबर के रूप में I को फिर लिख सकते हैं, e j प्लस PI(pi) को 2 तक बढ़ाएं जो ओमेगा सीवीएम(CVm) टाइम्स है, ई जे टाइम्स को बढ़ाता है और j p 2 तक बढ़ाया जाता है और यह मात्रा जे PI(pi) में उठाई जाती है 2 से कुछ भी नहीं है जे।
 तो, हम तब जे ओमेगा सी बार प्राप्त करते हैं, V I j थेटा को उठाता है।
 अब यह मात्रा फेजर(PHASOR) V के अलावा कुछ भी नहीं है और इसलिए, हम आई(I) जे ओमेगा c टाइम्स फेजर(PHASOR) V के रूप में लिख सकते हैं।
 छोटे फेजर(PHASOR) में I j ओमेगा c टाइम्स फेजर(PHASOR) V के बराबर है, और इसलिए संधारित्र Z की प्रतिबाधा v के बराबर है I द्वारा z j ओमेगा c से 1 के बराबर है और प्रवेश जिसे y द्वारा बराबर y के रूप में परिभाषित किया गया है, y बराबर j ओमेगा c नोटिस है कि हमारे पास अब ओमेगा है; इसका मतलब है, कम आवृत्तियों पर एक संधारित्र की प्रतिबाधा बड़ी होती है और उच्च आवृत्तियों पर प्रतिबाधा छोटी होती है।
 आइए अब हम एक प्रेरक के लिए प्रक्रिया को दोहराएं, चलिए I टी का I m कॉस(Cos) ओमेगा प्लस थेटा(Theta) के लिए प्रक्रिया करते हैं, फिर हमें t के I d डीटी के रूप में वी मिलता है, हम t को अलग कर सकते हैं और V प्राप्त कर सकते हैं t बराबर से कम से कम ओमेगा I बराबर ज्या(sin) ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(Theta) अब, हम आइडेंटिटी (identity) कॉस(Cos) Phi प्लस PI(pi) 2 का उपयोग कर सकते हैं 2 से कम से कम ज्या(sin) phi के बराबर है और t के V प्राप्त करने के लिए L ओमेगा I m टाइम्स कॉस(Cos), ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(Theta) प्लस PI(pi) 2 है।
 इसलिए, हमने इस माइनस ज्या(sin) ओमेगा को बदल दिया है t प्लस थेटा(Theta) द्वारा कॉस(Cos) ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(Theta) प्लस PI(pi) 2 ।
 अब फासरों के केस(Case) में हमारे पास I कोण थेटा(Theta) के बराबर है, I m आयाम(magnitude) है और थेटा कोण है और V ओमेगा L I के बराबर है; ओमेगा L I m परिमाण कोण थेटा(Theta) प्लस PI(pi) 2 है जो कोण है और v को ओमेगा L के बराबर V के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, I m e टाइम्स j थेटा(Theta) प्लस PI(pi) 2 तक बढ़ाया गया है, ओमेगा L I j को उठाता है थेटा(Theta) टाइम्स e j 2 तक बढ़ाया गया, यह कुछ भी नहीं है; तो यह j ओमेगा I टाइम्स बन जाता है जिसे I m e को J थेटा(Theta) में उठाया और यह मात्रा हमारे फेजर(PHASOR) I के अलावा कुछ भी नहीं है।
 आखिरकार, हमें फेजर(PHASOR) V बराबर j ओमेगा L टाइम्स फेजर(PHASOR) I और वहां से एक इंडक्टर z के बराबर v के बराबर होता है।
 द्वारा I z के बराबर j ओमेगा L है, और V द्वारा बराबर एक इंडक्टर Y से I के बराबर V से Y के बराबर 1 ओवर j ओमेगा (omega) L है ध्यान दें कि प्रेरक प्रतिबाधा भी आवृत्ति पर निर्भर करता है, लेकिन यह आवृत्ति के लिए सीधे आनुपातिक है; इसलिए कम आवृत्तियों पर प्रतिबाधा छोटी है और उच्च आवृत्तियों पर प्रतिबाधा बड़ी है।
 आइए अब स्रोतों को देखें, साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) धारा(Current) स्रोत और साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) वोल्टेज स्रोत और स्वतंत्र साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) धारा(Current) स्रोत I S टी के बराबर है I m cos ओमेगा (omega) t प्लस theta को फेजर(PHASOR) द्वारा दर्शाया जा सकता है, I m कोण थेटा(Theta) परिमाण I m कोण theta जो कि एक स्थिर जटिल संख्या है।
 इसलिए, हमारे पास समय डोमेन और आवृत्ति डोमेन में संबंधित फेजर(PHASOR) में यह स्रोत है, और यह कि I S स्थिर है।
 इसी तरह t के एक स्वतंत्र साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) वोल्टेज स्रोत बनाम V m कॉस(Cos) ओमेगा (omega) t प्लस थेटा(Theta) को फेजर(PHASOR) V m कोण थेटा(Theta) द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो कि इस तरह की जटिल संख्या है।
 आश्रित स्रोतों के बारे में क्या? आश्रित स्रोतों का इलाज साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) स्थिर स्थिति में किया जा सकता है, वैसे ही जैसा कि हमने एक ऐसे रजिस्टर का इलाज किया जो संबंधित फेजर(PHASOR) रिलेशनशिप से है।
 उदाहरण के लिए, आइए CCVS पर विचार करें जो धारा(Current) नियंत्रित वोल्टेज स्रोत है; उस समय डोमेन में हमारे पास t का v है जो कि CCVS के बराबर वोल्टेज है, t के निरंतर समय I c जहां आई(I) t का सी नियंत्रित नियंत्रण है।
 अब फ्रीक्वेंसी डोमेन में यह रिलेशनशिप V फेजर(PHASOR) बराबर आर टाइम्स I c फेजर(PHASOR) के बराबर सरल होता है; और इसी प्रकार हम अन्य आश्रित स्रोतों जैसे CCCS या VCVS आदि के लिए संबंध लिख सकते हैं।
 संक्षेप में हमने देखा है कि कौन से चरण हैं और साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) स्थिर स्थिति में धाराओं और वोल्टेज का प्रतिनिधित्व करने के लिए उनका उपयोग कैसे किया जा सकता है।
 हमने यह भी देखा है कि फेजर(PHASOR) का उपयोग करते हुए साइनसॉइडल(SINUSOIDAL) स्थिर स्थिति में R L और c का प्रतिनिधित्व कैसे किया जा सकता है।
 अगले व्याख्यान में हम इन विचारों को सर्किट तक बढ़ाएंगे, तब तक अलविदा।