Angular momentum conservation, Non-inertial frame of reference-cvLhXs6CegM

सुप्रभात और 2वें सप्ताह में आपका स्वागत है और यह 2 वें सप्ताह का तीसरा व्याख्यान है, पिछले 2 व्याख्यानों में हमने द्रव गतिकी का समाकल विश्लेषण प्रस्तुत किया है।
 पहले व्याख्यान में हमने रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय की व्युत्पत्ति की और फिर दूसरे लेक्चर में हमने रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय को कुछ विशिष्ट अनुप्रयोगों के लिए लागू किया और हमने यह भी पाया कि रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय द्रव्यमान और संवेग संरक्षण के मामले में कैसा दिखता है।
 आज हम देखेंगे कि रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय को कोणीय संवेग संरक्षण (angular momentum conservation) के लिए किस रूप में लिया जाता है, क्योंकि टर्बो मशीनों के मामले में इसका बहुत अधिक उपयोग है।
 तो, इस सप्ताह के व्याख्यान का तीसरा भाग कोणीय संवेग संरक्षण से संबंधित है।
 तो चलिए स्लाइड को देखते हैं।
 कोणीय संवेग संरक्षण के मामले में, इसलिए हम इन संरक्षण समीकरणों को नियंत्रण वॉल्यूम में लागू कर रहे हैं ताकि हम खुद को याद दिला सकें कि हम तरल पदार्थ के मामले में सिस्टम के विपरीत नियंत्रण संस्करणों के साथ काम कर रहे हैं।
 अब, इस बात पर ध्यान दें कि किसी सिस्टम के लिए रेखीय संवेग संरक्षण (linear momentum conservation) किस रूप में दिखता है, एक नियंत्रण मात्रा के लिए नहीं, एक प्रणाली के लिए कैसा दिखता है।
 तो, यह मूल रूप से न्यूटन का गति का दूसरा नियम है जो संवेग के परिवर्तन की दर सभी बलों का योग है।
 फिर से यह एक वेक्टर समीकरण है जिसे और द्वारा अंकित किया गया है जो वेक्टर मात्रा हैं।
 अब, यह रैखिक संवेग संरक्षण हम नियंत्रण मात्रा के लिए भी प्राप्त कर चुके हैं।
 आइए कोणीय संवेग संरक्षण समीकरण में जाने से पहले देखें कि कोणीय संवेग क्या है।
 तो, कोणीय संवेग को रैखिक संवेग के मोमेंट (moment) के रूप में परिभाषित किया गया है।
 आइए देखें कि रैखिक संवेग के मोमेंट से हमारा क्या तात्पर्य है।
 तो, यह रैखिक संवेग संरक्षण समीकरण है जो यहां दिखाया गया है और परिभाषा के अनुसार कोणीय संवेग, रैखिक संवेग का मोमेंट है और हम देखेंगे कि क्यों कोणीय संवेग (angular momentum) को भी रेखीय संवेग (linear momentum) की तरह संरक्षित किया जाता है।
 आइए हम कोणीय संवेग के लिए एक गणितीय अभिव्यक्ति लिखें।
 उस अभिव्यक्ति को लिखने के लिए हम इस आंकड़े की मदद लेते हैं, यह आंकड़ा वास्तव में प्रक्षेपवक्र के साथ एक बिंदु को दर्शाता है और फिर हम यह पता लगाना चाहते हैं कि इस विशेष बिंदु के संवेग का मोमेंट क्या है जो वास्तव में एक कण का प्रतिनिधित्व करता है।
 तो, आइए देखें कि इस बिंदु के बारे में, इस कण के कोणीय संवेग कैसे पता करें।
 इसलिए, जब हम एक क्षण के बारे में बात करते हैं, तो यह एक विशेष बिंदु के बारे में होना चाहिए।
 तो, हम देखते हैं, इस केंद्र बिंदु के बारे में इस कण के कोणीय संवेग के लिए क्या अभिव्यक्ति है।
 तो, कण r दूरी पर स्थित है, कण की स्थिति वेक्टर है, इसलिए यहां दिया गया है और कण के रैखिक संवेग को इस तीर M द्वारा दिखाया गया है।
 अब हमें रेखीय संवेग का मोमेंट ज्ञात करना है।
 हम कण के इस स्थिति वेक्टर का केंद्र बिंदु के संबंध में विस्तार करते हैं, जिसके लिए हमे मोमेंट लेना है।
 तो, यह मूल रूप से एक स्थिति वेक्टर है और स्थिति वेक्टर और संवेग के बीच का कोण अल्फा है।
 हम इस कोण को α लेते है ।
 यह M भी इसी समतल (plane) में स्थित है जिसे यहाँ दिखाया गया है।
 इसका के साथ एक कोण है जो अल्फा द्वारा दिया गया है।
 अब M बार के 2 घटक हैं, एक घटक इस बिंदु पर कण के प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा है, इसलिए एक घटक स्थिति वेक्टर के लंबवत है, यह वह घटक है जो लंबवत है।
 और अन्य घटक है जो के साथ है।
 अब जब हम रैखिक संवेग का मोमेंट ले रहे हैं, तो हमें यह समझना होगा कि वह मोमेंट केवल उस घटक पर लागू होता है जो इस वेक्टर के लंबवत है।
 इसलिए, अगर हम अब कोणीय संवेग के लिए अभिव्यक्ति लिखना चाहते हैं जो इस अभिव्यक्ति में के रूप में अंकित की जाती है, यह के रूप में दिया जाता है।
 तो, हम इसके बारे में बात कर रहे हैं, यह वास्तव में एक वेक्टर नहीं है, मेरा मतलब है कि अभिव्यक्ति बिल्कुल एक वेक्टर मात्रा नहीं है, इसलिए यह होना चाहिए, जो कि के रूप में दिया जाएगा, इस दिशा में M का घटक है।
 अब घटक कोई भी मोमेंट नहीं देता है।
 यह अभिव्यक्ति है।
 अब हम इसे के रूप में लिख सकते हैं।
 मूल रूप से फिर से वेक्टर संकेतन में है, एक वेक्टर है, इसलिए इसे के रूप में दिया जाता है, मूल रूप से यह स्थिति वेक्टर और रैखिक संवेग का एक क्रॉस प्रॉडक्ट है।
 के बजाय के रूप में हम इसे क्यों ले गए हैं, यह कन्वेंशन (Convention) के कारण है।
 कन्वेंशन दाएं हाथ के नियम के अनुसार है, अगर हम इसे इस तरह लिखते हैं, इसका मतलब है कि , इसका मतलब है कि अगर हम अपना हाथ यहां कहीं रखते हैं और फिर हम अंगूठे के अलावा 4 उंगलियों के साथ रोटेशन की दिशा को अंकित करते हैं, फिर अंगूठे की दिशा या कोणीय संवेग की दिशा का संकेत देगी।
 तो, की दिशा यह है।
 तो, की इस की दिशा है और इस का विस्तार (magnitude) है, हमें यह देखना होगा कि क्या यह मात्रा भी संरक्षित है।
 तो, यह मूल रूप से कोणीय संवेग का गंतव्य है, यह रैखिक संवेग का मोमेंट है।
 हम पता लगा सकते हैं कि क्या यह मात्रा संरक्षित है या हम इसके समान समीकरण प्राप्त कर सकते हैं जैसे कि हमें कोणीय संवेग के लिए मिला है।
 तो हम एक सिस्टम के लिए t के संबंध में इस का अवकल (derivative) लेते हैं।
 केवल खुद को याद दिलाने के लिए कि हम केवल सिस्टम के बारे में बात कर रहे हैं और हम नियंत्रण मात्रा में नहीं गए हैं।
 तो, सिस्टम के लिए हम इसे के रूप में लिख सकते हैं और हम क्रॉस प्रॉडक्ट का नियम उपयोग कर सकते है, हम सीधे क्रॉस प्रॉडक्ट के लिए नियम लागू कर सकते हैं।
 इसका मतलब है कि यह के बराबर होगा।
 यह वास्तव में इसे इन 2 घटकों में तोड़ने की अनुमति है।
 अब, यदि आप इसे इस तरह लिखते हैं, तो पहला घटक क्या है? पहला घटक जिसे हम देख सकते हैं यहाँ दिखाई दे रहा है जो कि रैखिक संवेग संरक्षण समीकरण में भी है।
 तो इसे बल या बल वेक्टर के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
 तो, हम इसे के रूप में लिख सकते हैं।
 दूसरा हिस्सा dr/dt वास्तव में वेग है।
 तो, यह है।
 अब, यह हिस्सा पहला भाग वास्तव में टोर्क के बराबर है।
 यह निश्चित रूप से मोमेंट है, मतलब कि संवेग का मोमेंट कोणीय संवेग है, बल का मोमेंट टोर्क है और वास्तव में शून्य है, एक वेक्टर का क्रॉस प्रॉडक्ट शून्य होता है क्योंकि उनके बीच का कोण शून्य है और Sin0 =0 है।
 इसलिए यहा जो कुछ बचा है वह एक सिस्टम के लिए कोणीय संवेग संरक्षण समीकरण है।
 तो, यह एक सिस्टम के लिए कोणीय संवेग संरक्षण है मूल रूप से एक सिस्टम के टॉर्क का योग है।
 निश्चित रूप से यह हमें अच्छी तरह से पता है कि संवेग के परिवर्तन की दर के लिए हमें एक रैखिक संवेग की आवश्यकता होती है, हमें एक बल की आवश्यकता होती है और कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर के लिए हमें एक टॉर्क की आवश्यकता होती है।
 अब इस टॉर्क को सभी टॉर्क के योग के रूप में भी दिया गया है।
 टॉर्क एक वेक्टर मात्रा है, आप 3-अक्षों के टॉर्क का उपयोग कर सकते हैं।
 जैसे कि हमने बल के मामले में सतह बलों के योग के रूप में, शरीर के बल के योग के रूप में, सतह और शरीर बल के योग के रूप में लिखा था।
 यहाँ हम इसे सतह बलों द्वारा उत्पादित टॉर्क के योग के रूप में भी लिख सकते हैं जैसे घर्षण बल, दबाव बल इत्यादि और शरीर द्वारा उत्पादित टॉर्क की तरह भी लिख सकते हैं जैसे गुरुत्वाकर्षण द्वारा उत्पादित टॉर्क।
 इन 2 भाग के अलावा हमारे पास शाफ्ट द्वारा उत्पादित टॉर्क भी है।
 यह मूल रूप से नया घटक है जो सिस्टम के कोणीय संवेग संरक्षण के लिए महत्वपूर्ण है।
 हम इस शाफ्ट टोक़ के बारे में ओर अधिक देखेंगे जब हम एक नियंत्रण मात्रा के लिए कोणीय संवेग संरक्षण लिखते हैं।
 तो, हम आगे बढ़ते हैं, यह एक सिस्टम के लिए कोणीय संवेग संरक्षण है, आइए अब हम एक नियंत्रण मात्रा के लिए कोणीय संवेग संरक्षण पर चलते हैं।
 अगर हमें याद है कि रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय इस तरह दिया गया है।
 मूल रूप से यह सिस्टम के लिए किसी भी मात्रा का, नियंत्रण मात्रा की मात्रा के साथ समय अवकल से संबंधित है, यह नियंत्रण सतह है।
 अब, β को किस रूप में परिभाषित किया गया था? बीटा मूल रूप से प्रॉपर्टि B प्रति यूनिट द्रव्यमान था, B कोई भी मात्रा हो सकती है।
 हमने इसे द्रव्यमान के रूप में, गति के रूप में देखा है, अब हम इस मात्रा B को कोणीय संवेग के रूप में देख रहे हैं।
 है, अगर हम B मात्रा को द्रव्यमान (M) के साथ विभाजित करते हैं तो हमें β मिलता है, β मूल रूप से है।
 रैखिक संवेग संरक्षण समीकरण इसलिए, हम इस समीकरण में को प्लग-इन कर सकते हैं, जो हमें मिलता है वह मूल रूप से एक नियंत्रण मात्रा के लिए कोणीय संवेग संरक्षण है।
 कोणीय संवेग संरक्षण समीकरण यह एक नियंत्रण मात्रा के मामले में कोणीय संवेग संरक्षण है।
 अगर हम सिर्फ रैखिक संवेग संरक्षण के मामले में याद करते हैं, तो हमारे पास β, के रूप में था, यह कोणीय संवेग संरक्षण के मामले में द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, यही एकमात्र अंतर है।
 अब देखते हैं, जैसे हमने रैखिक संवेग संरक्षण के मामले में देखा, हमने इस समीकरण को लागू किया, इसलिए समीकरण का यह हिस्सा वास्तव में नियंत्रण मात्रा के लिए कोणीय संवेग संरक्षण है।
 यह जटिल दिखता है क्योंकि इसमें इंटीग्रल हैं, इसमें डिफ़्फेरेन्सियल्स है , अवकल हैं, हम इसे एक स्थिर और अंसपीड्य प्रवाह जैसी सरल स्थितियों के लिए लिखते हैं ताकि हम इस समीकरण को एक सरलीकृत रूप में लिख सकें जो कि अधिकांश अनुप्रयोगों में मामला है जिसे हम देख रहे है।
 स्थिर का मतलब है कि यह समय अपरिवर्तनीय है और अंसपीड्य का मतलब है कि कोई घनत्व परिवर्तन नहीं है।
 इसे हम पहले ही परिभाषित कर चुके हैं।
 इस प्रकार एक सिस्टम के लिए कोणीय संवेग संरक्षण को लिखा जा सकता है, यह सामान्य कोणीय संवेग संरक्षण है, एक स्थिर अंसपीड्य प्रवाह के लिए हम आगे कह सकते हैं कि यह घटक शून्य है क्योंकि यह समय के साथ अपरिवर्तनीय है।
 इसलिए, समय के संबंध में किसी भी मात्रा का कोई भी अवकल शून्य है और हम इसे 0 लिख सकते हैं।
 दूसरी मात्रा जो संपूर्ण नियंत्रण सतह पर कोणीय संवेग का एकीकरण है वह सभी टोर्क़ के योग के बराबर है।
 यह आगे लिखा जा सकता है कि कोणीय संवेग, सतह के साथ लगातार बदल रहा है।
 इनलेट या निकास के माध्यम से जो कुछ भी आ रहा है, वह भी इनलेट या निकास के साथ बदलता रहता है।
 यह कई स्थितियों के लिए उपयोग नहीं हो सकता है।
 हमारे पास इस तरह का एक मामला हो सकता है जहां आंतरिक कोणीय संवेग जो नियंत्रण सतह के माध्यम से अंदर आ रहा है वह स्थिर है ओर बाह्य कोणीय संवेग जो नियंत्रण सतह के माध्यम से बाहर जा रहा है वह भी स्थिर है।
 यह नियंत्रण सतह के साथ बदल नहीं रहा है।
 अगर ऐसा है तो हम इस समीकरण को और सरल कर सकते हैं और इसे इस मात्रा के योग के रूप में लिख सकते हैं, जो कि नियंत्रण की मात्रा से कोणीय गति का शुद्ध निकास टार्क के योग के बराबर है।
 अब आपके पास कई इनलेट और निकास हो सकते हैं।
 यदि आपके पास एक इनलेट और एक निकास है, तो यह द्रव का कोणीय संवेग होगा।
 जिस दर से द्रव का कोणीय संवेग नियन्त्रण मात्रा में प्रवेश करता है उसमे से वह दर जिस पर द्रव का कोणीय संवेग उस नियंत्रण मात्रा से बाहर निकलता है घटा कर जो बचता है वह हस्तांतरित टोर्क़ होगा।
 यह वही है जो यहाँ लिखा गया है, इसलिए हमने इसे ρ के रूप में लिखा है, जो और के रूप में है।
 इसलिए, जैसा कि हम यहाँ देख सकते हैं , S नियंत्रण सतह का सतह क्षेत्र है और डॉट प्रॉडक्ट यह दर्शाता है कि सतह के लंबवत वेग, सतह के माध्यम से बाहर जाने वाले द्रव्यमान प्रवाह के लिए जिम्मेदार है।
 तो, को एक साथ क्लब किया जा सकता है और के रूप में लिखा जा सकता है और फिर इस पूर्ण समीकरण को के रूप में लिखा जा सकता है।
 मूल रूप से यह उस मामले की तुलना में अधिक सरलीकृत समीकरण है ऐसे मामले के लिए जहां यह स्थिर, अंसपीड्य और जहा सतहों के साथ वेग या कोणीय संवेग का कोई रूपांतर नहीं है।
 तो, इस परिस्थिति के तहत हम इस समीकरण को अधिक सरल तरीके से लिख सकते हैं जैसे कि यहां दिखाया गया है।
 यह हमारे लिए बहुत उपयोगी है क्योंकि अधिकांश मामलों के लिए हम इस कोणीय संवेग संरक्षण समीकरण को उपयोग कर रहे हैं।
 यह बस कहता है कि नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकलने वाले कोणीय संवेग की शुद्ध दर सभी टोर्क़ के योग के बराबर है।
 यदि नियंत्रण मात्रा से बाहर निकलने वाले कोणीय संवेग की शुद्ध दर -ve है, तो इसका मतलब है कि नियंत्रण मात्रा में कोणीय संवेग का शुद्ध प्रवाह अंदरूनी है।
 इसका मतलब है कि टोर्क़ -ve या रिवर्स है।
 तो, आप इसे आगे की स्लाइड में देखेंगे।
 तो, अगली स्लाइड में हम एक नियंत्रण मात्रा के लिए कोणीय अनुप्रयोग संरक्षण के अनुप्रयोग को प्रदर्शित करते हैं।
 तो, हमने 2 नियंत्रण सतहों को लिया है, यह एक विशिष्ट टर्बो मशीन प्रकार का अनुप्रयोग है।
 नियंत्रण सतह 1 आंतरिक सतह है और बाहरी सतह को नियंत्रण सतह 2 के रूप में नामित किया गया है।
 अब हम किसी विशेष बिंदु पर या इस सतह के माध्यम से कहते हैं कि द्रव नियंत्रण की मात्रा में आ रहा है, नियंत्रण मात्रा इन 2 नियंत्रण सतहों के बीच कोणीय स्थान है, इसलिए यह इस नियंत्रण सतह 1 में आ रहा है और नियंत्रण सतह 2 से बाहर जा रहा है।
 जब यह अंदर आ रहा है तब वेग और कुछ कोणीय संवेग के साथ आ रहा है और जब यह बाहर जा रहा है तो वेग वेक्टर और एक निश्चित कोणीय संवेग पर बाहर जा रहा है।
 इस स्थिति के लिए यदि हम कोणीय संवेग संरक्षण समीकरण लागू करते हैं, तो हम देखते हैं कि हमें क्या मिलता है।
 हम पिछले समीकरण से शुरू करते हैं जो हमें पिछली स्लाइड में मिला था।
 इस विशेष एप्लिकेशन के लिए हम फिर से उपयोग कर सकते हैं, इसलिए टॉर्क का योग, टोक़ जो सतह बलों के कारण, शारीरिक बलों और शाफ्ट के कारण लग रहा है।
 अब, पहला भाग, सतह की ताकतों के कारण टॉर्क, यानी बल जो दबाव बल या घर्षण बल से लग रहा है।
 हम इस हिस्से को छोड़ सकते है।
 इसलिए हम इस एप्लिकेशन के लिए यह पहला भाग शून्य करेंगे।
 शरीर के बल के कारण टॉर्क, इसका मतलब है कि नियंत्रण मात्रा में तरल पदार्थ का वजन, आइए हम उस हिस्से को भी शून्य मानते हैं, हम उस हिस्से को अनदेखा करते है।
 हम केवल शाफ्ट टॉर्क के साथ बचे हैं।
 शाफ्ट टॉर्क एक पंप के मामले में नियंत्रण मात्रा में तरल पदार्थ को आपूर्ति की गई टॉर्क है या टॉर्क आउटपुट, टरबाइन के मामले में कंट्रोल वॉल्यूम से निकलने वाला टॉर्क।
 तो, यह मूल रूप से इस शाफ्ट टॉर्क का अर्थ है।
 यदि यह एक पंप है, हम इस समीकरण को सरल बनाने से पहले कल्पना कर सकते हैं, हम आसानी से समझ सकते हैं कि यदि यह शाफ्ट टॉर्क पॉजिटिव है, तो इसका मतलब है कि यह ()-)) अंतर भी पॉजिटिव होगा, इसका मतलब है कि द्रव का कोणीय संवेग जो कंट्रोल वॉल्यूम से बाहर आ रहा है, द्रव का कोणीय संवेग जो कंट्रोल वॉल्यूम मे आ रहा है से अधिक है।
 तो, पंप के मामले में यह स्थिति है।
 पंप वास्तव में नियंत्रण मात्रा में तरल पदार्थ को कोणीय संवेग पहुंचाता है ताकि बाहर निकलने वाले तरल पदार्थ का कोणीय संवेग नियंत्रण मात्रा में आने वाले द्रव से अधिक हो।
 यह एक टरबाइन के मामले में उल्टा है।
 तो, टरबाइन क्या करता है? इस अभिव्यक्ति में हम कहते हैं, शाफ्ट टॉर्क का योग -ve है, इसका मतलब है कि नियंत्रण मात्रा से बाहर जाने वाले द्रव का कोणीय संवेग नियंत्रण मात्रा में आने वाले द्रव के कोणीय संवेग से कम है।
 या दूसरे शब्दों में, तरल पदार्थ कोणीय संवेग खो रहा है जब यह नियंत्रण मात्रा को पार करता है।
 यह वह संवेग है जो टरबाइन को टॉर्क के रूप में स्थानांतरित किया जाता है।
 तो, एक टरबाइन के मामले में, शाफ्ट टॉर्क नकारात्मक है जो दूसरे शब्दों में मतलब है कि नियंत्रण मात्रा से बाहर निकलने वाले तरल पदार्थ का कोणीय संवेग नियंत्रण मात्रा में आने वाले तरल पदार्थ के कोणीय संवेग से कम है।
 अब, हम समीकरण के इस बाएं हाथ को थोड़ा और सरल करते है।
 हम इस विशेष मामले के लिए द्रव्यमान संरक्षण को भी जानते हैं।
 हम सीधे कह सकते हैं कि नियंत्रण की मात्रा का द्रव्यमान प्रवाह दर बराबर है, रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय को लागू करके हम इसे फिर से प्राप्त कर सकते हैं।
 तो, इसका मतलब है = कि बाहर आने वाले द्रव्यमान प्रवाह की दर अंदर आने वाले द्रव्यमान प्रवाह की दर के बराबर है।
 जिसे हम के रूप में लिख सकते हैं या ρQ कर सकते हैं।
 द्रव्यमान प्रवाह दर वास्तव में घनत्व गुणा वॉल्यूम प्रवाह दर है।
 अब, यदि हम इसे लिखते हैं, तो हम कोणीय संवेग संरक्षण के लिए = इस अभिव्यक्ति का उपयोग कर सकते हैं।
 यदि हम ऐसा करते हैं, फिर हम )out-)in)= प्राप्त करते हैं।
 अब, यह , आइए हम इसे थोड़ा आगे देखें, हम को हल कर सकते हैं।
 इनलेट वेग 2 घटकों में है, एक रेडियल घटक है और दूसरा स्पर्शरेखा (tangential) घटक है।
 रेडियल घटक हमारे लिए महत्वपूर्ण नहीं है क्योंकि हम संवेग के मोमेंट के बारे में बात कर रहे हैं या हम एक क्रॉस प्रॉडक्ट के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए जो महत्वपूर्ण है वह स्पर्शरेखा घटक है।
 इसी तरह बाहर निकलने के बिंदु पर को हल कर सकते हैं।
, नियंत्रण सतह से बाहर निकलने पर हम वेग को 2 घटकों में हल कर सकते हैं, एक रेडियल, दूसरा स्पर्शरेखा।
 अब हम प्रवेश पर स्पज्या वेग (tangential velocity) को Vt1 के रूप में और बाहर निकलने पर (एक्साइटिंग कंट्रोल सतह, कंट्रोल सतह 2 से) स्पज्या वेग को Vt2 से परिभाषित कर सकते हैं।
 हम सामान्य/ लंब (normal) घटक का नामकरण नहीं कर रहे हैं क्योंकि वे किसी भी गति का उत्पादन नहीं करते हैं।
 अब हम इस से लिख सकते हैं, अगर हम इस को इस rVt कर सकते हैं, नियंत्रण सतह 1 के लिए , को r1Vt1 के रूप मे लिख सकते है और नियंत्रण सतह 2 के लिए , को r2Vt2 के रूप मे लिख सकते है।
 इसलिए, यदि हम ऐसा करते हैं, तो हमें एक बहुत ही सरल अभिव्यक्ति मिलती है और ρQ(r2Vt2-r1Vt1) = Tshaft इस अभिव्यक्ति को यूलर टर्बो मशीन समीकरण (Euler Turbo machine equation) के रूप में जाना जाता है।
 यह कोणीय संवेग संरक्षण समीकरण का एक स्केलर रूप है जो टर्बो मशीन अनुप्रयोगों के लिए बहुत उपयोगी है।
 आप बाद वाले हिस्से में इस समीकरण का उपयोग करेंगे (टर्बो मशीनों के हिस्से में)।
 इसलिए, अब हम चर्चा करते हैं कि पंप या कंप्रेसर के मामले के लिए यह शाफ्ट टॉर्क सकारात्मक है क्योंकि उस विशेष मामले में, पंप और कंप्रेसर के मामले में, शाफ्ट वास्तव में कोणीय संवेग को द्रव तक पहुंचाता है।
 तो बाहर निकलने वाले तरल पदार्थ में, आने वाले तरल पदार्थ की तुलना में उच्च कोणीय संवेग होता है।
 जबकि एक टरबाइन के मामले में, द्रव टरबाइन मे अपना कोणीय संवेग खो देता है।
 नियंत्रण मात्रा को पार करते ही संवेग खो जाता है और उसी को टॉर्क के रूप में टरबाइन मे हस्तांतरित किया जाता है और Tshaft या शाफ्ट में टॉर्क नकारात्मक है।
 इसलिए, यह एक प्रकार का अनुक्रम (convention) है और जो इस समीकरण के अनुरूप है, जिसे हमने यहां प्राप्त किया है।
 अब अगला भाग, यह वास्तव में हमें रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय के अन्य 3 अनुप्रयोगों के अंत में लाता है, पहले वाला द्रव्यमान था, दूसरा संवेग था और तीसरा कोणीय संवेग था।
 अब, हम समाकल विश्लेषण पर इस विशेष अध्याय के अंत में आने से पहले हम क्या करना चाहते हैं, रेखीय त्वरण (linear acceleration) के साथ एक नियंत्रण मात्रा के लिए संवेग संरक्षण समीकरण को भी देखते हैं।
 इसलिए, जब हम संवेग संरक्षण प्राप्त करते हैं, तो यह एक नियंत्रण मात्रा के लिए निरंतर वेग से चल रहा था।
 इसलिए संवेग संरक्षण समीकरण का वह रूप त्वरित नियंत्रण मात्रा (accelerating control volume) के लिए लागू नहीं है।
 लेकिन व्यावहारिक अनुप्रयोगों में हम अक्सर ऐसी स्थितियों का सामना करते हैं जहां हमें त्वरित नियंत्रण मात्रा का उपयोग करना पड़ता है।
 रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय की व्युत्पत्ति में हमने मान लिया है कि द्रव वेग को परिभाषित करने के लिए हमारी समन्वय प्रणाली (coordinate system) नियंत्रण मात्रा के लिए निर्धारित है।
 यदि नियंत्रण की मात्रा तेज हो रही है, तो इसका मतलब है कि संदर्भ फ्रेम (reference frame) भी तेज हो रहा है और इस तरह के संदर्भ फ्रेम को गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम (non-inertial frame of reference) के रूप में जाना जाता है।
 हम एक ऐसी स्थिति को देखेंगे जहां हमारे पास एक रैखिक त्वरण (linear acceleration) है, सामान्य त्वरण नहीं है लेकिन नियंत्रण मात्रा का एक रैखिक त्वरण है।
 हम देखेंगे कि समीकरण उसके लिए कैसे बदलता है।
 ऐसा एक अनुप्रयोग है जब हम रॉकेट पर कार्यरत धक्ख्का के समाकल विश्लेषण का उपयोग करने की कोशिश करते हैं।
 जब हम ऐसा करने की कोशिश करते हैं, तो हम वास्तव में रॉकेट के चारों ओर एक नियंत्रण मात्रा डालते हैं और बल को खोजने की कोशिश करते हैं।
 लेकिन एक रॉकेट चलता है, यह त्वरित हो जाता है और रॉकेट से जुड़ी नियंत्रण मात्रा को भी त्वरित करना पड़ता है।
 इसलिए, अब हम देखेंगे कि कंट्रोल फ्रेम से जुड़े संदर्भ फ्रेम के इस त्वरण को समायोजित करने के लिए हमारे समीकरणों को कैसे बदलना है।
 यह एक त्वरित नियंत्रण मात्रा का मामला है।
 उस में जाने से पहले, हमें इसका कारण समझना चाहिए कि हमें एक अलग समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता क्यों है।
 यदि हम देखते हैं, फिर से रेखीय संवेग समीकरण को देखें, तो यह मूल रूप से सभी बलों के योग जो सिस्टम पर कार्य कर रहे हैं, संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर है।
 अब सिस्टम का यह वेग मूल रूप से नियंत्रण की मात्रा के संदर्भ में या संदर्भ फ्रेम के संबंध में है जिसके साथ हम बल को खोजना चाहते हैं।
 हम इसपर थोड़ी देर बाद आएंगे।
 तो, जैसा कि आप देख सकते हैं कि सिस्टम का वेग जमीन पर तय संदर्भ फ्रेम है।
 ज्यादातर मामलों में यह संदर्भ फ्रेम जमीन के लिए तय किया जाता है क्योंकि हम यह पता लगाना चाहते हैं कि एक ग्राउंड फिक्स्ड कोऑर्डिनेट सिस्टम के संबंध में बल क्या है।
 उदाहरण के लिए रॉकेट के इस मामले में, हमें रॉकेट को जमीन से बाहर भेजना होता है और हम यह पता लगाना चाहते हैं कि वास्तव में रॉकेट को जमीन से दूर भेजने के लिए कौन सा बल या कितना जोर चाहिए।
 अब हम वास्तव में इसे थोड़ा और विवरणों में वर्णित कर सकते हैं कि क्यों कार्यरत बल समन्वय प्रणाली (coordinate system) पर निर्भर करता है।
 उदाहरण के लिए, यदि आप इस रॉकेट को लेते हैं, तो मान लीजिए कि एक पर्यवेक्षक (observer) जो रॉकेट के अंदर बैठा है, वह एक गेंद को ऊपर की ओर फेंकता है, इसलिए जब वह ऐसा करता है, तो गेंद को ऊपर की ओर फेंकने के लिए बल की आवश्यकता होती है और यह उस बल से भिन्न होता है अगर कोई पर्यवेक्षक जो जमीन पर बैठा हो तो उसे उसी गति से गेंद फेंकनी होती है लेकिन रॉकेट के त्वरण को देखते हुए।
 यदि आप उस गेंद पर हो जो रॉकेट के भीतर बैठे पर्यवेक्षक द्वारा फेंक दिया जाता है जमीन नियत समन्वय प्रणाली (ground fixed coordinate system) से, तो गेंद पर रॉकेट के अंदर पर्यवेक्षक द्वारा और साथ ही साथ रॉकेट के त्वरण द्वारा लगाया गया त्वरण है।
 इन दोनों को, गेंद को जमीन के संबंध में उठाने के लिए आवश्यक बल खोजने के लिए विचार करना होगा।
 लेकिन रॉकेट के अंदर एक पर्यवेक्षक के लिए, गेंद को फेंकने के लिए आवश्यक बल समान होता है, चाहे तो वह रॉकेट में बैठता है और गेंद फेंकता है या वह जमीन पर बैठता है और गेंद फेंकता है।
 तो, बल वास्तव में समन्वय प्रणाली (coordinate system) की पसंद पर निर्भर है।
 हमारे अधिकांश अनुप्रयोगों में जैसे मैंने पहले उल्लेख किया था, हम एक ज़मीनी समन्वित प्रणाली के संबंध में बल का पता लगाना चाहते हैं, इसलिए वेग ज़मीनी नियत समन्वय प्रणाली (ground fixed coordinate system) के संबंध में भी है।
 दूसरी ओर यदि हम रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय में अभिव्यक्तियों को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय के लिए समीकरण में जो वेग दिखाई देता है, वह वेग वास्तव में ग्राउंड फिक्स्ड कोऑर्डिनेट सिस्टम के संबंध में नहीं है, यह एक संदर्भ फ्रेम है जिसे नियंत्रण मात्रा में तय किया गया है।
 इस रॉकेट में उदाहरण के लिए, CV वास्तव में इस वेग को परिभाषित करने के लिए संदर्भ फ्रेम के तहत आगे बढ़ रहा है, तरल पदार्थ का वेग इस नियंत्रण मात्रा के लिए तय किया गया है।
 अगर ऐसा है, तो अब इन 2 पदों को बराबर नहीं कर सकते, क्योंकि यहां वेग को इन रूप में परिभाषित किया गया है, बाईं ओर वेग ज़मीनी नियत समन्वय प्रणाली के रूप में है जबकि दाईं ओर हमारे पास वेग है जो वह त्वरित संदर्भ फ्रेम (accelerating reference frame) के संबंध में परिभाषित किया गया है जो नियंत्रण मात्रा के लिए निर्धारित है।
 या हम कह सकते हैं कि यह गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम (non-inertial frame of reference) है, संदर्भ फ्रेम जमीन के संबंध में आगे बड़ रहा है।
 अब इन 2 में क्या संबंध है? उनकी बराबरी नहीं की जा सकती है, लेकिन इन 2 के बीच कुछ संबंध होना चाहिए, वह रिश्ता क्या है? यदि हम ऐसा पता लगा सकते हैं, तो हम रैखिक त्वरण के मामले में नियंत्रण की मात्रा के लिए संवेग संरक्षण के संशोधित रूप का पता लगा सकते हैं।
 तो आइए हम इसे देखें, यह जमीन के संबंध में तरल पदार्थ या वस्तु का वेग है, इसलिए यह Vsystem मूल रूप से जमीन के संबंध में इस पूरे सिस्टम का वेग है, यह V, CV के संबंध में द्रव या वस्तु का वेग है।
 तो, ये 2 रिलेटिव वेग से संबंधित हैं।
 यह Vr वास्तव में जमीन के संबंध में CV का वेग है।
 यह समीकरण किसी भी रिलेटिव वेग अभिव्यक्ति के लिए सच है जहां द्रव + वस्तु का वेग जमीन के संबंध में, द्रव + वस्तु का वेग CV के संबंध में + CV का वेग जमीन के संबंध के बराबर है।
 (Vsystem = V + Vr) तो यह वेगों के बीच का संबंध है।
 लेकिन यहाँ हम देख सकते हैं कि यद्यपि CV के लिए हम लिखते हैं कि यह CV के संबंध में द्रव + वस्तु का वेग है लेकिन CV के संबंध में वस्तु का वेग शून्य है क्योंकि वस्तु CV के साथ, कंट्रोल वॉल्यूम के समान वेग, के साथ आगे बढ़ रहा है, केवल तरल पदार्थ कंट्रोल वॉल्यूम की तुलना में एक अलग वेग पर घूम रहा है।
 आप ऐसा कैसे कह सकते हैं क्योंकि यदि आप उस नियंत्रण मात्रा पर बैठते हैं, तो आप द्रव को घूमते हुए देख सकते हैं, इसलिए यह कहते हैं कि द्रव वास्तव में त्वरित नियंत्रण मात्रा के संबंध में आगे बढ़ रहा है।
 अब एक बार हमारे पास यह अभिव्यक्ति है, जैसा कि आप यहां डेरिवेटिव के साथ काम कर रहे हैं, आइए हम इसे दोनों पक्षों का डेरिवेटिव लेते हैं।
 यदि हम ऐसा करते हैं, तो हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है कि सिस्टम के संबंध में वेग का डेरिवेटिव इन 2 वेगों के योग के डेरिवेटिव के बराबर है।
 अब हम यहां आसानी से देख सकते हैं कि यदि यह सापेक्ष वेग (relative velocity) स्थिर है, इसका मतलब है कि CV जमीन के संबंध में आगे बढ़ रहा है, तो यह पद गायब हो जाता है, , 0 के बराबर है।
 ये 2 वेग, हालांकि और समान नहीं हैं, लेकिन इन दोनों का डेरिवेटिव समान हैं।
 तो, उसी समीकरण का उपयोग केवल इस अंतर के साथ किया जा सकता है कि यह अब नियंत्रण मात्रा के संबंध में वेग है।
 हमने इससे पहले भी प्रदर्शित किया है जब हमने उदाहरण देखा कि जहां एक प्लेट स्थिर थी और एक प्लेट एक निरंतर वेग के साथ आगे बढ़ रही थी, तब बल का मान बदल जाता है।
 अब यह स्थिति ऐसी नहीं है, यह स्थिति ऐसी है कि समय के साथ बदल रहा है, यह स्थिर नहीं है, अर्थात नियंत्रण की मात्रा ज्यादा या कम हो रही है, यह दोनों पर लागू होती है।
 इसलिए, हम इसे त्वरण के रूप में आगे लिखते हैं, यह मूल रूप से जमीन के संबंध में नियंत्रण मात्रा का त्वरण है, इसलिए हम इसे इस रूप में लिखते हैं।
 अब हम इस अभिव्यक्ति को थोड़ा और विस्तार से देखते हैं कि बल को dM के रूप में लिखा जा सकता है, संवेग परिवर्तन की दर या हम इस M को के रूप में लिख सकते हैं।
 इसका मतलब यह है कि dm सिस्टम के भीतर एक भौतिक द्रव्यमान है और system उस द्रव्यमान का वेग है।
 अगर हम इसे सिस्टम पर समाकल करते हैं, तो यह हमें पूरे सिस्टम की गति प्रदान करेगा।
 तो, यह उस रूप में लिखा गया है, तो हम वास्तव में इस डेरिवेटिव को अंदर ले जा सकते हैं क्योंकि सिस्टम समय के साथ नहीं बदल रहा है, अगर हम इस डेरिवेटिव को लेते हैं, तो हम इसे के रूप में लिख सकते हैं, हमने ऐसा इसलिए किया ताकि हम इस समीकरण का उपयोग कर सकते हैं और तरल पदार्थ + वस्तु या मुख्य रूप से तरल पदार्थ को नियंत्रण मात्रा के संबंध में ला सकते हैं, सिस्टम के संबंध में नहीं।
 तो, हम के रूप में लिख सकते हैं, हम इस समीकरण का उपयोग कर सकते हैं।
 निश्चित रूप से एक बार जब हम इसे इस रूप में लिखते हैं, तो हम वास्तव में इसे CV के रूप में ले सकते हैं क्योंकि यदि आपको याद है, तो रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय की हमारी व्युत्पत्ति में, किसी भी समय T जहां हम CV और सिस्टम पर विचार कर रहे हैं वास्तव में एक दूसरे के साथ ओवरलैप होता है।
 इसलिए, हम इसे इस रूप में लिखते हैं, तो अंत में हम इस को लिख सकते हैं – तो, यह रैखिक त्वरण के साथ एक CV के लिए गति संरक्षण का संशोधित रूप है।
 तो, हम यह नहीं कहते कि इसके बराबर है, हम कहते हैं - जड़ता बल , वास्तव में एक जड़ता बल है, यदि आप देखते हैं कि यह संपूर्ण नियंत्रण मात्रा का द्रव्यमान है, पूरे नियंत्रण मात्रा पर गुणा त्वरण है।
 तो, यह मूल रूप से जड़ता बल जो अंदर आ रहा है, इसलिए शुद्ध बल - जड़ता बल, समान अभिव्यक्ति के बराबर है।
 और ये वेग नियंत्रण वॉल्यूम के लिए निर्धारित संदर्भ फ्रेम के संबंध में हैं।
 हम अपने ट्यूटोरियल सत्र के दौरान एक समस्या करते हुए इस समीकरण के अनुप्रयोग को आगे प्रदर्शित करेंगे।
 तो, यह हमें 3वें व्याख्यान के अंत में लाता है, जो इस पाठ्यक्रम के दूसरे सप्ताह का अंतिम व्याख्यान है और इस व्याख्यान में हम कोणीय संवेग संरक्षण समीकरण के लिए रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय के अनुप्रयोग को देखा हैं और हमने यह भी देखा है एक टर्बो मशीन के मामले के लिए कोणीय संवेग संरक्षण को कैसे सरल बनाया जा सकता है और हमने यूलर टर्बो मशीन समीकरण को भी देखा है।
 इस व्याख्यान के अंत में हमने संवेग संरक्षण को देखा है, एक गैर-जड़ता के लिए रैखिक संवेग संरक्षण, एक नियंत्रण मात्रा के लिए जो त्वरित हो रही है, जिसका अर्थ है गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के मामले में।
 धन्यवाद।