Differential Analysis-bJ5Pojfvv9g

सुप्रभात, द्रव गतिशीलता और टर्बो मशीनों पर पाठ्यक्रम के 3 वें सप्ताह में आपका स्वागत है।
 पिछले 2 हफ्तों में हमने द्रव प्रवाह के परिचय और द्रव प्रवाह के विश्लेषण के लिए समाकल दृष्टिकोण को देखा है।
 इस सप्ताह में हम द्रव प्रवाह के विश्लेषण के लिए एक और दृष्टिकोण अपनाएंगे, वह है अवकल दृष्टिकोण।
 अवकल दृष्टिकोण वास्तव में समाकल दृष्टिकोण पर बनाता है, यही कारण है कि हमने अवकल दृष्टिकोण में आने से पहले इसका अध्ययन किया है।
 हम द्रव प्रवाह के समाकल विश्लेषण का उपयोग करके अवकल समीकरण प्राप्त करने के दौरान पिछले सप्ताह में पेश की गई अवधारणाओं का उपयोग करेंगे।
 तो, आइये अब स्लाइड्स पर जाते हैं।
 तो यह 3 वें सप्ताह का पहला व्याख्यान है।
 इसलिए, हम यहां जो देखते हैं, हम देखते हैं कि संरक्षण समीकरणों को प्राप्त करने के लिए हम समाकल दृष्टिकोण का उपयोग कैसे कर सकते हैं जो पहले परिभाषित किए गए थे।
 अब यदि आप देखते हैं कि हमने पिछले अध्याय के दौरान द्रव्यमान संवेग संरक्षण और कोणीय संवेग संरक्षण को देखा है।
 हम द्रव्यमान संरक्षण के साथ शुरुआत करेंगे।
 बस खुद को याद दिलाने के लिए, समाकल और अवकल दृष्टिकोण के बीच का अंतर है, समाकल दृष्टिकोण में हम एक परिमित आकार नियंत्रण मात्रा के लिए संरक्षण समीकरण लिखते हैं जैसे कि पिछले अध्याय में ट्यूटोरियल समस्याओं में प्रदर्शन किया और अवकल दृष्टिकोण में हम एक अनंत छोटे नियंत्रण मात्रा को देखते हैं, बहुत कम नियंत्रण मात्रा।
 उद्देश्य पूरे प्रवाह क्षेत्र के लिए अवकल समीकरणों को प्राप्त करना है, न कि समग्र मात्रा जैसे कि समाकल दृष्टिकोण से प्राप्त होता है, जैसे बल, जोर, टॉर्क आदि।
 यहाँ हम वेग क्षेत्र पर एक पूरी जानकारी चाहते हैं।
 इसे प्राप्त करने के लिए, हमें पूरे क्षेत्र के लिए उचित अवकल समीकरणों को हल करना होगा।
 बुनियादी संरक्षण समीकरण समान हैं, संरक्षण सिद्धांत समान हैं, लेकिन यह द्रव्यमान संवेग और कोणीय संवेग संरक्षण केवल एक बहुत ही कम नियंत्रण मात्रा पर लागू होता है।
 तो, हम द्रव्यमान संरक्षण समीकरण के साथ शुरू करते हैं।
 यदि आप समाकल दृष्टिकोण द्वारा दिए गए द्रव्यमान संरक्षण समीकरण को देखते हैं, तो इसका पहला पद है जो एक विशेष नियंत्रण मात्रा में द्रव्यमान के परिवर्तन की दर के बारे में बात करता है और दूसरा पद नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकलने वाले द्रव्यमान की दर है।
 नियंत्रण मात्रा से बाहर निकलने वाला कुल द्रव्यमान क्योंकि नियंत्रण सतहों के माध्यम से प्रवाह होता है।
 एक नियंत्रण मात्रा में द्रव्यमान विनिमय हो सकता है, इसलिए नियंत्रण सतहों के माध्यम से एक प्रवाह होता है, नियंत्रण सतहों पर वेग होता है।
 इस अध्याय में अपनी व्युत्पत्तियों को सरल बनाने के लिए हम हमेशा 2-D प्रवाह, दो-आयामी प्रवाह पर विचार करते हैं।
 हम इसे आसानी से विस्तारित कर सकते हैं।
 यदि हम अवधारणाओं को समझते हैं, तो हम इसे आसानी से तीन-आयामी प्रवाह तक बढ़ा सकते हैं।
 तो, एक छोटे (अनंत छोटे) नियंत्रण मात्रा के साथ शुरू करते है जो इस अक्षर ABCD के रूप में दिया गया है, Y अक्ष की ऊर्ध्वाधर दिशा और क्षैतिज दिशा X अक्ष है।
 अब, X दिशा में तात्विक आकार, अर्थात AD या BC, जिसे ∆X के रूप में दिया गया है और Y दिशा में तात्विक आकार, अर्थात AB या DC, जिसे ∆Y के रूप में दिया गया है।
 तो, यह मूल रूप से नियंत्रण मात्रा का आकार है।
 जैसा कि हम 2-D प्रवाह के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए इस स्लाइड के लंबवत नियंत्रण मात्रा का आकार वास्तव में 1 है।
 इसलिए, यदि आप इस नियंत्रण की मात्रा का वॉल्यूम प्राप्त करना चाहते हैं, तो यह सिर्फ ∆X को ∆Y ओर 1 से गुणा किया जाता है,यानि ∆X गुणा ∆Y है।
 आइए हम इसे ध्यान में रखें और इस नियंत्रण वॉल्यूम पर, इस समीकरण के अनुप्रयोग के साथ आगे बढ़ें।
 तो, हम XY अक्ष के संबंध में नियंत्रण मात्रा के स्थान पर विचार करते हैं।
 तो हम कहते हैं कि X,Y इस नियंत्रण मात्रा का स्थान है और अगर हम नियंत्रण सतह AB के माध्यम से नियंत्रण मात्रा में आने वाले वेग को देखते हैं, यह है।
 हम इस अभिव्यक्ति को कैसे लिखते है? तो उस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, पहले हमें यह देखना चाहिए, जैसे हमने इस बिंदु को X, Y परिभाषित किया है, हमने इस बिंदु पर वेगों को परिभाषित किया है।
 यही इस नियंत्रण मात्रा का केंद्र है।
 X दिशात्मक वेग U है और Y दिशात्मक वेग V है।
 यदि हम वेग को जानते हैं, क्योंकि वेग निरंतर कार्य हैं, जैसा कि हम बिंदु X, Y पर वेग जानते हैं, हम टेलर की श्रृंखला विस्तार (Taylor’s series expansion) का उपयोग करके उसी क्रमिक सूचना से नियंत्रण सतह पर वेग पा सकते हैं।
 यदि हम इसे इस ओर ले जाते हैं, क्योंकि इस दिशा में नियंत्रण मात्रा का आकार ∆X है और नियंत्रण सतह नियंत्रण रेखा के केंद्र से ∆X/2 पर स्थित है।
 तो हम वेग के लिए अभिव्यक्ति को में लिख सकते हैं।
 मूल रूप से हम एक टेलर श्रृंखला विस्तार करते हैं और इस अभिव्यक्ति को वेग के लिए प्राप्त करते हैं।
 बेशक उच्च-क्रम पद की उपेक्षा की जा सकती है क्योंकि यह नियंत्रण मात्रा आकार बहुत छोटा है।
 तो, ∆X2, ∆X3 आदि जो कुछ भी विस्तार में दिखाई देता है उसे उपेक्षित किया जा सकता है।
 अब , X, Y बिंदु पर निश्चित रूप से वेग ढाल है।
 यह नियंत्रण सतह में आने वाला एक वेग है, बाहर जाने वाले वेग को भी इसी तरह से प्राप्त किया जा सकता है।
 यह है।
 तो, बाएं तरफ केंद्र से दूरी पर है और दाहिने तरफ इस नियंत्रण मात्रा के केंद्र से दूरी पर है, इसलिए हम इन 2 अभिव्यक्तियों को आसानी से लिख सकते हैं।
 इस तरह नियंत्रण सतहों पर एक नियंत्रण मात्रा के केंद्र में परिभाषित किसी भी मात्रा के लिए अभिव्यक्ति लिखना, इस विशेष अध्याय में अवकल के लिए उपयोग किया जाएगा।
 अब जैसा कि हमने U वेग के मामले में किया है, हम V वेग के मामले में भी ऐसा कर सकते हैं।
 तो एक बात आप यहाँ देख सकते हैं कि हमने प्रतीकों में थोड़ा बदलाव किया है क्योंकि, हमने अब वेग के Y घटक को प्रतीक V द्वारा परिभाषित किया है, इसीलिए हमने इस समीकरण में के रूप में वेग वेक्टर को परिभाषित किया है।
 यह इस विशेष मामले के लिए है यह एक दो-आयामी वेग क्षेत्र है और इसलिए X घटक U है और Y घटक V है।
 और हमें यह भी ध्यान रखना चाहिए कि यहाँ पर दिखाई देने वाली v वॉल्यूम का प्रतिनिधित्व करती है।
 तो, छोटा v उस आयतन को दर्शाता है जिसे हमने पहले संकेत दिया है।
 अब यह इस नियंत्रण मात्रा के नियंत्रण सतहों पर वेग के द्रव्यमान का परिदृश्य है।
 यह वही है जो हम एक परिमित आकार के नियंत्रण की मात्रा के मामले में भी करते थे, जैसे एक जेट द्वारा चलती प्लेट, जेट जो प्लेट पर लग रहा है।
 ऐसा करने के बाद, अब देखते हैं कि हम इस पैरामीटर का मान कैसे निर्धारित कर सकते हैं।
 तो, पहला पद जो अस्थिर पद है को के रूप में दिया गया है।
 तो यह इस प्रकार लिखा जा सकता है, इसलिए इस विशेष नियंत्रण मात्रा में ρ स्थिर नहीं है, लेकिन हम इस नियंत्रण मात्रा के केंद्र में ρ पर विचार कर सकते हैं क्योंकि यह एक बहुत छोटी मात्रा है, हम केंद्र X, Y पर केंद्र घनत्व पर विचार कर सकते हैं जो कि ρ है।
 इस व्युत्पत्ति में हम घनत्व को एक परिवर्तनीय मात्रा के रूप में भी मान रहे हैं, न कि एक स्थिर मात्रा के।
 तो हम इसे लिख सकते हैं, हम घनत्व को बिंदु X, Y पर ρ के साथ प्रतिस्थापित कर सकते हैं और मान सकते हैं कि घनत्व इस अभिव्यक्ति के लिए भिन्न नहीं है, यह कम से कम इस नियंत्रण मात्रा के भीतर भिन्न नहीं है।
 इसलिए, यदि आप यह मान लेते हैं, तो आप घनत्व को बाहर निकाल सकते हैं, इस इंटीग्रल संकेत से बाहर निकल सकते हैं और आप वॉल्यूम के लिए समाकल कर सकते हैं।
 यदि आप इसे वॉल्यूम के लिए समाकल करते हैं जो आपको जो मिलता है वह कुल आयतन है।
 संपूर्ण वॉल्यूम पर dV को एकीकृत करें, तो आपको कुल वॉल्यूम मिलता है जो ∆X∆Y है।
 तो, पहला पद है।
 तो, यह समझने में काफी आसान है।
 अब अगला भाग देखते हैं।
 अगला भाग हिस्सा है, यह हिस्सा वास्तव में नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकलने वाले द्रव्यमान की शुद्ध दर है, इसका मतलब है कि वह दर जिस पर द्रव्यमान नियंत्रण मात्रा से बाहर जा रहा है, इस मामले के लिए, सतह AD और सतह DC के माध्यम से माइनस जिस दर पर द्रव्यमान सतह AB और सतह BC के माध्यम से नियंत्रण की मात्रा में आ रहा है।
 तो, हम ऐसा व्यवस्थित रूप से करते हैं, हम पहले X दिशा में द्रव्यमान के बाहर निकलने की दर का पता लगाते हैं।
 तो, यह X दिशा है, X दिशा से बाहर निकलने वाले द्रव्यमान की दर का पता लगाने के लिए हम इसे इस तरह से लिख सकते हैं।
 अब आप यहाँ देख सकते हैं कि घनत्व एक अस्थिर मात्रा है।
 ρ वेग के समान है, ρ एक सतत कृत्य (continuous function) है और इसे ρ प्लस के रूप में परिभाषित किया जाता है।
 इसे टेलर श्रृंखला में विस्तारित करके हम ρ परिभाषित कर सकते हैं, वेग की तरह, पहला डेरिवेटिव भी निरंतर है।
 इसलिए यह मानते हुए कि हम वास्तव में के रूप में लिख सकते हैं।
 तो, यह एक्स दिशा पर बाहर निकलने वाली सतह पर घनत्व है, अर्थात वेग U द्वारा गुणा की गई सतह DC है, यही हमने यहां लिखा है ।
 तो, , बाहर निकलने वाली सतह पर घनत्व (ρ), बाहर निकलने वाली सतह पर वेग ओर सतह क्षेत्र से गुणा होता है।
 सतह क्षेत्र ×1 है।
 हमने यहां 1 नहीं लिखा है क्योंकि यह दो आयामी विश्लेषण है, इसलिए हम इसे द्वारा बदल सकते हैं।
 तो, यह मूल रूप X दिशा में, वह द्रव्यमान है जो नियंत्रण मात्रा से बाहर निकल रहा है माइनस द्रव्यमान जो नियंत्रण मात्रा में आ रहा है।
 तो, यह फिर से इस रूप मे लिखा जा सकता है।
 यदि हम, यदि हम इन 2 मात्राओं को गुणा करते हैं और इस अभिव्यक्ति को सरल करते हैं, तो हमें जो मिलेगा वह है।
 तो, यह बहुत सरल है, हम सीधे इसे सरल बना सकते हैं और इस अभिव्यक्ति को प्राप्त कर सकते हैं।
 यह द्रव्यमान दर है जो X दिशा से बाहर निकल रही है, इसी तरह हम Y दिशा में से बाहर निकलने की द्रव्यमान दर प्राप्त कर सकते हैं।
 हम सतह AD से Y दिशा में जो भी द्रव्यमान बाहर जा रहे हैं उसे लिख सकते हैं, यहां वेग है, अब क्षेत्र क्योंकि यह V वेग के लंबवत क्षेत्र है।
 इस नियंत्रण मात्रा में V वेग के लंबवत क्षेत्र को मूल रूप से को 1 से गुणा किया जाता है, इसलिए है, यह अभिव्यक्ति द्रव्यमान है, Y दिशा में नियंत्रण मात्रा में प्रवेश करने वाले द्रव्यमान की दर है, इसलिए यह Y से होकर आता है , इसलिए यहां पर हमें के समान अभिव्यक्ति मिलती है।
 इसलिए, हमारे पास अब सब कुछ है, जो द्रव्यमान संरक्षण के लिए अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए आवश्यक है।
 तो हम, यह पहला भाग है, इसलिए द्रव्यमान के बाहर निकलने की शुद्ध दर, इसलिए उस में जाने से पहले, इन 2 को नियंत्रण रेखा से बाहर निकलने वाले द्रव्यमान की शुद्ध दर को प्राप्त करने के लिए एक साथ जोड़ा जा सकता है, जिसे इनके योग के रूप में लिखा जा सकता है।
 अब यह भाग समीकरण के अस्थिर भाग का निर्माण करता है, यह भाग उस भाग का निर्माण करता है जिसमें संवहन घटक (convective component) शामिल होता है।
 संवहन का अर्थ है जो नियंत्रण सतहों के माध्यम से आदान-प्रदान करता है, वेग या द्रव्यमान जो वेग के माध्यम से नियंत्रण सतहों से आदान-प्रदान करता है।
 अगर हम इन 2 भागों को एक साथ जोड़ते हैं तो हमें जो मिलता है वह इस तरह है, यह हमारी अंतिम अभिव्यक्ति है।
 बेशक, शून्य नहीं है, यह एक अनंत छोटा लेकिन गैर-शून्य नियंत्रण मात्रा है, इसलिए इसे बाहर निकाला जा सकता है, जो 0 के बराबर नहीं है, तो क्या शून्य के बराबर है, =0 तो, यह मूल रूप से हमारा द्रव्यमान संरक्षण समीकरण है जो एक द्वि-आयामी संपीड़ित प्रवाह और अस्थिर प्रवाह के लिए लागू है।
 द्वि-आयामी क्योंकि केवल 2 आयामों का संबंध माना जाता है और सपीड्य होता है क्योंकि घनत्व को इस अभिव्यक्ति में परिवर्तनशील मात्रा के रूप में माना गया है।
 हम इसे एक स्थिर और संपीड़ित प्रवाह की स्थिति में कम कर सकते हैं।
 इसलिए यदि आप प्रवाह को स्थिर मानते हैं, तो निश्चित रूप से पहला पद समाप्त हो जाता है और आपको यह अभिव्यक्ति मिल जाती है।
 यह एक स्थिर संपीड़ित प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण या द्रव्यमान संरक्षण समीकरण है।
 अब हम एक अस्थिर, असंपीड़ित प्रवाह के लिए भी पता लगा सकते हैं।
 हम प्रवाह को अस्थिर रखते हैं लेकिन हम इसे असंपीड़ित बनाते हैं, लेकिन यदि आप निरंतरता समीकरण में दिखाई देने वाले एकमात्र अस्थिर शब्द को देखते हैं, तो इसका मतलब है कि इस समीकरण का घनत्व से संबंध है।
 और यह धारणा बनाकर कि यह असंपीड़ित है, यह घनत्व वैसे भी स्थिर है, इसलिए यह छोड़ दिया जाता है।
 तो, यह एक अस्थिर प्रवाह के लिए भी छोड़ दिया जाता है और जो हमारे पास जो बच जाता है वह इस समीकरण के बराबर है।
 घनत्व स्थिर होने के कारण इसे बाहर निकाला जा सकता है।
 यह समीकरण एक असंपीड़ित प्रवाह स्थिति के लिए स्थिर और अस्थिर प्रवाह के लिए समान है क्योंकि निरंतरता समीकरण में एकमात्र अस्थिरता घनत्व से संबंधित है।
 तो यह समीकरण है जो एक दो आयामी अस्थिर या असंपीड़ित प्रवाह के लिए मान्य है।
 यदि हम एक त्रि-आयामी प्रवाह चाहते हैं, तो साधारण अंतर होगा, हमारे पास एक और समाकल होगा।
 तो हम यह कहते है कि W, Z दिशा में वेग है, इसलिए के बराबर है।
 तो हम एक छोटे से छोटे नियंत्रण की मात्रा के लिए समाकल विश्लेषण का उपयोग करके द्रव्यमान संरक्षण समीकरण मिला है।
 अब हम संवेग संरक्षण समीकरण पर चलते हैं।
 संवेग संरक्षण समीकरण के लिए भी हम यही दृष्टिकोण अपनाते हैं।
 हम जो करते हैं वह समाकल दृष्टिकोण से शुरू होता है।
 समाकल दृष्टिकोण में, संवेग संरक्षण समीकरण इस रूप में लिखा गया है।
 इसलिए बाएं हाथ की ओर रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय से आता है और दाएं हाथ मूल रूप से नियंत्रण मात्रा पर कार्य करने वाले सभी बलों का योग है।
 यह एक वेक्टर समीकरण है।
 यदि हम इसे 2-D प्रवाह के रूप में मानते हैं, तो इसके 2 घटक हैं।
 तो, निरंतरता समीकरण के विपरीत, संवेग संरक्षण समीकरण गैर-शून्य है।
 इसलिए, हम संवेग संरक्षण समीकरण के लिए अवकल समीकरण पर पहुंचने के दौरान बाएं हाथ के और दाएं हाथ के पद को अलग-अलग डील करेंगे।
 तो पहले इस स्लाइड में हम बाएं हाथ की तरफ देखेंगे जो संवेग का अस्थिर हिस्सा है और नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकलने वाला शुद्ध संवेग है।
 तो, हम इस हिस्से को लेते हैं, फिर से हम 2-D और असंपीडनीय प्रवाह लेते हैं।
 द्रव्यमान संरक्षण के लिए अंतिम मामले में हमने संपीडनीय प्रवाह पर विचार किया है लेकिन इस मामले में हमने केवल असंपीडनीय प्रवाह पर विचार किया क्योंकि संपीड़ित प्रवाह के मामले में घनत्व भिन्नता हमारी अभिव्यक्ति को बहुत बड़ा बना देगी।
 इसलिए हम उस अभिव्यक्ति को सरल रखना चाहते हैं, यही कारण है कि हमने असंपीडनीय प्रवाह मान लिया है, लेकिन घनत्व को प्रवाह क्षेत्र के माध्यम से लगातार बदलते फ़ंक्शन के रूप में मानते हुए हम संपीड़ित प्रवाह के लिए उसी दृष्टिकोण का विस्तार कर सकते हैं।
 ठीक है तो अब हम इस भाग को देखते हैं, नियंत्रण की मात्रा समान है, फिर से हमारे पास नियंत्रण खंड के इन 2 किनारों को ∆X और ∆Y के रूप में परिभाषित किया गया है, यह बिंदु है और इस बिंदु में हम X,Y से जानते हैं।
 यह नियंत्रण मात्रा मे एक बिंदु X,Y है, U वेग X का और V वेग Y का घटक हैं, इसलिए ये सभी अंतिम स्लाइड में परिभाषित किए गए थे।
 तो हम जल्दी से इस पर जा सकते हैं।
 अब देखते हैं कि X दिशा में संवेग संरक्षण समीकरण कैसे लिखें।
 फिर से हम केवल X दिशा और Y दिशा में संवेग संरक्षण के लिए व्युत्पत्ति करेंगे, वही प्रक्रिया आगे बढ़ाई जा सकती है।
 इसलिए हम X दिशा में संवेग संरक्षण समीकरण को देखेंगे।
 X दिशा में संवेग संरक्षण समीकरण में हमारे पास पहला पद, जो कि अस्थिर पद है, पहले उस पद को लेते है।
 यहां पर फिर से घनत्व स्थिर है, इसलिए घनत्व इस अवकल से बाहर जा सकता है।
 हमने घनत्व बाहर निकाल लिया है और नियंत्रण मात्रा के भीतर, इस अस्थिर अवधि के लिए वेग, हम इसे स्थिर मान सकते हैं और फिर हम इसे भी बाहर निकाल सकते हैं।
 हम इसे लिख सकते है।
 अब , ∆X∆Y के बराबर होता है।
 तो मूल रूप से यह अभिव्यक्ति है जो हमें पहले पद या अस्थिर पद के लिए मिलती है या नियंत्रण की मात्रा के भीतर संवेग के परिवर्तन की दर।
 दूसरा पद नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकलते X-संवेग की शुद्ध दर है।
 तो पहले नियंत्रण की मात्रा के भीतर X-संवेग के परिवर्तन की दर थी, दूसरा पद नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकलते X-संवेग की दर है।
 अब यह हमें बहुत सावधानी से करना होगा।
 आइए देखें कि X-संवेग क्या है, हम इसे चरणबद्ध तरीके से करते हैं ताकि हम यहां सभी विचारों को समझ सकें।
 तो पहली बात, U वेग द्वारा परिवहन किए गए X-संवेग के परिवर्तन की दर है।
 यह बहुत महत्वपूर्ण है कि X-संवेग पर विचार करें, X दिशा में तरल पदार्थ का X-संवेग U वेग द्वारा ले जाया जाता है और X-संवेग को Y घटक में V वेग द्वारा भी ले जाया जाता है।
 इसलिए, हम इन 2 भागों से अलग-अलग निपटते हैं।
 पहला भाग यह है कि X-संवेग की दर क्या है या नियंत्रित गति से बाहर निकलने वाले X-संवेग की दर क्या है जिसे U वेग से ले जाया जाता है।
 तो यह U वेग इस नियंत्रण सतह के माध्यम मे तरल पदार्थ को संवेग में लाता है और इस नियंत्रण सतह के माध्यम से X दिशा में संवेग को बाहर निकालता है।
 तो हम इसे इस तरिके से लिख सकते है X-संवेग गुणा DC सतह का क्षेत्र (संवेग गोइंग आउट) घटा X-संवेग गुणा AB सतह का क्षेत्र (संवेग कॉमिंग इन)।
 अब हमें इन 2 के लिए अभिव्यक्ति की आवश्यकता है, हम लिख सकते हैं X-संवेग मूल रूप से नियंत्रण सतह पर, ρ, जो नियंत्रण सतह पर वेग से गुणा होती है।
 तो नियंत्रण सतह बाहर निकलने वाली सतह है जिसका मतलब सतह DC से है, इसलिए तो मूल रूप से बाहर निकलने वाली सतह पर X-संवेग गुणा सतह का क्षेत्र है, ∆Y क्षेत्र है।
 अब अगर हम इसे एक संपीड़ित प्रवाह के रूप में लेते हैं, तो हमें इस घनत्व को एक परिवर्तनीय मात्रा के साथ बदलना होगा।
 इसका मतलब है कि ρ= ρ इस (DC) नियंत्रण सतह के लिए।
 लेकिन हम अभिव्यक्ति को सरल रखना चाहते हैं और मूल रूप से कार्यविधि का प्रदर्शन कर रहे हैं।
 तो मूल रूप से U वेग द्वारा नियंत्रण मात्रा से बाहर परिवहन किया गया X-संवेग है और इसी तरह से U वेग द्वारा नियंत्रण मात्रा मे अंदर परिवहन किया गया X-संवेग होगा।
 अब यदि हम इस समीकरण को सरल करते हैं, तो हम इसे लिख सकते हैं।
 तो इसे इस रूप में सरल बनाया जा सकता है।
 मूल रूप से अगर आप ρ∆Y को बाहर लेते हैं, तो आप इससे इस तरह देख सकते हैं जैसे (a+b)2 – (a-b)2 जो 4ab होता है।
 तो हमें पहले घटक के योगदान का पहला घटक मिलता है, जिसका अर्थ है कि U गति से X-संवेग।
 अब दूसरा घटक, V वेग द्वारा ले जाने वाले X-संवेग की दर के बारे में बात करता है।
 तो इस विश्लेषण में यह समझने के लिए एक बहुत महत्वपूर्ण बात है कि यद्यपि आपके पास U वेग में भिन्नता नहीं है, लेकिन V वेग में भिन्नता हो सकती है।
 मेरा मतलब है कि U वेग में स्थानिक भिन्नता नहीं है, लेकिन V वेग की भिन्नता नियंत्रण की मात्रा में X-संवेग के परिवर्तन की दर ला सकती है।
 और ऐसा क्यों है, ऐसा इसलिए है क्योंकि हमारे पास इन नियंत्रण सतहों में कुछ X-संवेग है।
 तो नियंत्रण सतह BC और AD मे एक X-संवेग है इसलिए इसे इस प्रकार दिया गया है।
 यदि आप यहाँ U वेग को जानते हैं, जैसे हमने बाकी सतहों के लिए किया है, तो हम टेलर श्रृंखला विस्तार (Taylor’s series expansion) का उपयोग करके इन सतहों में भी कर सकते हैं और हम वेग को लिख सकते हैं।
 के बजाय, है क्योंकि हम Y दिशा में भिन्नता के बारे में बात कर रहे हैं।
 U निरंतर है और X और Y दोनों के संबंध में इसका अवकल निरंतर है।
 अब हम इसे लिख सकते हैं और हम सतह AD पर पहले की तरह अभिव्यक्ति लिख सकते हैं।
 अब भले ही आप इस भाग को भूल जाते हैं, तो हम कहें कि ये 2 समान हैं, मतलब X-संवेग जो AB के माध्यम से अंदर आ रहा है, X-संवेग जो CD के माध्यम से बाहर जा रहा है समान है, अर्थात ये 2 वेग समान हैं।
 उस स्थिति में भी वेग का V घटक संवेग प्रदान कर सकता है।
 यहां तक कि एक निरंतर संवेग हो सकता है।
 भले ही आप इस U वेग को इस वेग के समान मानते हैं, लेकिन V वेग की भिन्नता के परिणामस्वरूप नियंत्रण की मात्रा में X-संवेग में परिवर्तन हो सकता है।
 जिसे समझना बहुत जरूरी है।
 और यह वह मात्रा है जिसे हम यहां प्राप्त करने की कोशिश कर रहे हैं, जो कि V वेग द्वारा ले जाने वाली X-संवेग की दर है।
 इसलिए, यदि आप ऐसा करते हैं, तो फिर से हम इस रूप में लिख सकते हैं, यह X-संवेग गुणा क्षेत्रफल से है जिससे संवेग बाहर निकल रहा है।
 जिसका मतलब है कि सतह के माध्यम से बाहर जाने वाला X-संवेग से गुणा किया गया क्षेत्र (AD सतह के माध्यम से बाहर जा रहा है)।
 अब इस अभिव्यक्ति के लिए जो X-संवेग को क्षेत्र से गुणा करने के बाद आती है, यहां हमें यह याद रखना होगा कि यह V वेग द्वारा ले जाया गया X-संवेग है।
 तो संवेग के लिए अभिव्यक्ति ρ जिसे U वेग के घटक से गुणा किया जाता है ओर V वेग के घटक गुणा किया जाता है क्योंकि यह वेग के V घटक द्वारा ले जाया जाता है।
 इसी तरह हम ∆X को क्षेत्र मान कर गुणा कर सकते हैं और फिर हम उसको लिख सकते हैं जो कंट्रोल वॉल्यूम में आ रहा है।
 मतलब की ρ× U वेग का घटक × V वेग का घटक × सतह का क्षेत्र।
 तो यह मूल रूप से X-संवेग है।
 यदि हम इस अभिव्यक्ति को सरल बनाते हैं, तो हमें जो मिलता है वह इस तरह है।
 अगर हमें इन 2 चीजों को गुणा करके इस पूरी अभिव्यक्ति को सरल बनाना है. यदि हम ऐसा करते हैं, तो हमें इस रूप में एक अंतिम अभिव्यक्ति मिलेगी।
 अब इन 2 भागों को जोड़कर हमें नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकलने वाले X-संवेग की शुद्ध दर मिलती है।
 वह क्या है, यहां भी अगर आप देखते हैं, ∆X∆Y में है, तो यह वॉल्यूम समीकरण में दिखाई देता है।
 तो, आइए हम इस अभिव्यक्ति को ध्यान से देखें।
 कुछ भाग सीधे U वेग से ले जाने वाले X-संवेग की दर से आता है, कुछ भाग सीधे V वेग द्वारा ले जाने वाले X- संवेग की दर से आता है।
 तो, यह वहाँ से आया है।
 इन सभी अभिव्यक्तियों का एक सामान्य कारक है।
 अब हम इसे आगे परिभाषित कर सकते हैं कि हम क्या कर सकते हैं, हम इसे इस रूप में लिख सकते हैं, यह समझाने के लिए कि इसे इस रूप में कैसे लिखा जाए, हमने वास्तव में पहले घटक को 2 भागों में तोड़ दिया है।
 पहला भाग यहाँ दिखाया गया है, जो के साथ जोड़ा गया है और दूसरा भाग यहाँ दिखाया गया है, वह इस घटक के साथ जोड़ा गया है।
 अब, यदि हम ध्यान से देखें तो हम देखेंगे कि इसे इस रूप में लिखने का कारण है।
 यदि आप ρU को एक्सप्रेशन से बाहर निकालते हैं, तो आपको जो मिलता है वह है और जो अनिवार्य रूप से एक सातत्य समीकरण (continuity equation) है।
 और आप इसे सीधे यहां से हटा सकते हैं क्योंकि हमने इस प्रवाह को 2-D और अंसपीड्य प्रवाह के रूप में लिया है और 2-D के अंसपीड्य प्रवाह के लिए, शून्य है।
 तो, इस तरह से इन समीकरणों को प्राप्त करते समय हमें निरंतरता समीकरण का उपयोग करना होगा और भावों को सरल बनाना होगा ताकि हम अंत में एक अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकें जो कि सार्थक है।
 तो X-संवेग की शुद्ध दर जो कंट्रोल वॉल्यूम से बाहर निकल रही है, है बेशक मौलिक वॉल्यूम के साथ गुणा किया गया है।
 तो यह अंतिम अभिव्यक्ति है।
 अब इस समाकल दृष्टिकोण में यदि हम वापस जाते हैं, तो पहला पद यह था, इसे के रूप में प्राप्त किया गया था और दूसरा पद, इसका मतलब है कि नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकलने वाली X-संवेग की शुद्ध दर, यह है।
 इसलिए यदि हम इन 2 भागों को क्लब करते हैं तो हमें समीकरण मिलता है।
 यह समीकरण मूल रूप से 2-D अंसपीड्य प्रवाह के लिए X-संवेग समीकरण है।
 लेकिन निश्चित रूप से दाहिने हाथ की ओर सरलीकृत नहीं किया गया है।
 तो हम ऐसा करेंगे, लेकिन इसमें जाने से पहले इस समीकरण के अर्थ या इस समीकरण के भौतिक अर्थ को समझ लेते हैं।
 इसलिए यदि आप इस समीकरण को देखते हैं कि आपको जो मिलता है वह, ρ घनत्व है और यह वॉल्यूम है, यदि आप वॉल्यूम के साथ घनत्व गुणा करते हैं तो आपको द्रव्यमान मिलता है।
 तो यह समीकरण वास्तव में आपको बताता है कि नियंत्रण मात्रा पर कार्य करने वाली सभी बलों का योग, द्रव्यमान को एक विशेष मात्रा से गुणा करने के बराबर होता है और उस विशेष मात्रा को त्वरण होना चाहिए जैसा कि हम सभी जानते हैं।
 इसलिए मूल रूप से यह सब करके जो हमें मिला है वह त्वरण के लिए एक अभिव्यक्ति है।
 तो यह हिस्सा वास्तव में यूलरियन वेग (Eulerian velocity) के संदर्भ में लिखे गए प्रवाह का त्वरण है।
 इसलिए हम इसे लिख सकते हैं क्योंकि यह अनिवार्य रूप से है, हम जानते हैं कि त्वरण समय के साथ वेग के परिवर्तन की दर है।
 तो उस अर्थ में हम इसे इस तरह अवकल के रूप में लिख सकते हैं।
 तो यह आंशिक अवकल (partial derivative) से अलग है और इसे कुल व्युत्पन्न (total derivative) कहा जाता है।
 तो यह है।
 इसलिए यह मूल रूप से द्रव का कुल त्वरण है।
 द्रव का कुल त्वरण क्या है, हम देखते हैं कि इसमें 2 घटक हैं, पहला घटक एक अस्थिर घटक है और दूसरे घटक में कोई समय शामिल नहीं है, जो यह भी बताता है कि आपके यूलरियन क्षेत्र में या आपके यूलरियन के वेग के विवरण में, जो वेग एक विशेष बिंदु पर परिभाषित किया जाता है और एक कण के लिए नहीं।
 यह विशेष वेग जो केवल एक विशेष बिंदु पर परिभाषित किया जाता है, भले ही यह समय का कृत्य (function) न हो।
 तब आपके पास त्वरण हो सकता है।
 आपके पास त्वरण कैसे हो सकता है, इस 2 घटक के कारण आपके पास त्वरण हो सकता है।
 तो पहला घटक स्थानीय त्वरण है जो समय के साथ नियंत्रण की मात्रा के भीतर वेग के परिवर्तन की दर पर विचार करता है और दूसरा भाग वेग के संवहन घटक का गठन करता है।
 वेग के संवहन घटक में हमारे पास मूल रूप से घनत्व के साथ-साथ अगर हम विचार करते हैं, तो यह संवेग जो नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकलता है - संवेग जो नियंत्रण की मात्रा में आ रहा है।
 अब वेग का यह हिस्सा एक यूलरियन क्षेत्र का उपयोग करके प्रवाह के विवरण के मामले में विचार करना बहुत महत्वपूर्ण है।
 यह हमारे पहले अध्याय में प्रदर्शित किया गया था जब हमने एक प्रवाह क्षेत्र पर विचार किया था जो समय से स्वतंत्र है लेकिन जब हम एक द्रव कण के वेग पर विचार करते हैं, तो यह समय के साथ बदल रहा था।
 इसलिए द्रव कण निश्चित रूप से त्वरण का अनुभव करता है लेकिन हमारे यूलरियन विवरण के संदर्भ में वेग क्षेत्र समय से स्वतंत्र है।
 यदि हम अब उस वेग क्षेत्र पर विचार करते हैं जो समय से स्वतंत्र था, और इस अभिव्यक्ति में वेग का मान प्लग-इन करते है, तो हम देखेंगे कि स्थानीय त्वरण (local acceleration) शून्य है, निश्चित रूप से क्योंकि यह समय से स्वतंत्र है लेकिन संवहन त्वरण (convective acceleration) नॉनजरो है।
 यह द्रव कण के त्वरण की व्याख्या करता है क्योंकि द्रव कण इस नियंत्रण मात्रा मे घूमता रहता है।
 इसलिए, यूलरियन क्षेत्र के अपने विवरण मे विचार करने के लिए यह एक बहुत महत्वपूर्ण बात है।
 तो अंत में हम अपने X-संवेग समीकरण को के रूप मे लिख सकते है जो बलों के योग के बराबर।
 अब हम दूसरे भाग को देखते हैं।
 हमने पहले बाईं ओर का वर्णन किया है, आइए अब दाईं ओर देखें।
 दाहिने हाथ की ओर बलों का योग है।
 हम अगली स्लाइड में ऐसा ही करेंगे।
 तो यह हमारी पूरी अभिव्यक्ति है, हमें X घटक के लिए यह मिला है हमें बाएं हाथ के लिए एक अभिव्यक्ति मिली है जो मूल रूप से द्रव्यमान × कुल त्वरण है।
 हमें अभी बलों को ढूंढना है।
 इसलिए हम X दिशा में एक बल संतुलन करते हैं क्योंकि हम इस व्युत्पत्ति में X-संवेग समीकरण पर विचार कर रहे हैं।
 बेशक 2-डी असंपीड्य प्रवाह है, अब ये ऐसी चीजें हैं जो ज्ञात हैं, अगर हम देखें, तो बल संतुलन करते समय हमें X दिशा में कार्य करने वाली सभी ताकतों को देखना चाहिए, जो यहां क्षैतिज दिशा है।
 पहले अपप्रपण बल (shear stress) पर विचार करता है जो इस विशेष द्रव तत्व पर काम कर रहे हैं।
 अपप्रपण बल जैसे हमने वेग और घनत्व के घटकों के लिए किया था, हम अपप्रपण तनाव को इस तरह से लिख सकते हैं, इसलिए शीर्ष सतह पर अपप्रपण तनाव नीचे की सतह पर अपप्रपण तनाव से अलग है।
 अपप्रपण तनाव में यह अंतर X दिशा में एक शुद्ध बल लाएगा जो इन 2 मात्राओं को घटाकर दिया जाएगा।
 अपप्रपण तनाव में अंतर बलों की इस प्रस्तुति में माना जाने वाला पहला योगदान है, जो नियंत्रण मात्रा पर काम करने वाले शुद्ध बलों के लिए है।
 दूसरा बल जो यहां माना जाता है वह सामान्य तनाव (normal stress) है, बल सामान्य तनावों के कारण है, सतह CD और AB पर काम करने वाला तनाव, वे समान नहीं हैं, जैसे कि हमने अन्य मात्राओं को परिभाषित किया था, तनावों का अंतर गुणा क्षेत्र, X दिशा में एक बल अभिनय लाएगा।
 तो यह दूसरा विचार है।
 यह सभी बल नहीं है क्योंकि हमारे पास दबाव का क्षेत्र है।
 इसलिए दबाव क्षेत्र में हमारे पास इन 2 सतहों पर एक दबाव घटक होता है जैसे कि हमने समाकल दृष्टिकोण में बलों को खोजने के दौरान किया था।
 बलों का योग जब हम प्राप्त करते हैं तो हम नियंत्रण क्षेत्र में दबाव क्षेत्र पर विचार करते हैं।
 तो निश्चित रूप से दबाव हमेशा नियंत्रण मात्रा में आवक कार्य कर रहा है और फिर यह बल के रूप में कार्य करता है? तो अपप्रपण से आने वाली ताकतें, सामान्य तनाव से आने वाली ताकतें और दबाव की ताकतें (प्रवाह क्षेत्र में दबाव की भिन्नता या वितरण से आने वाली ताकतें)।
 तो अब हम उन्हें क्लब करते हैं, बलों का योग, पहला घटक कतरनी तनाव घटक है, क्योंकि क्षेत्र द्वारा गुणा किया जाता है।
 हम यहाँ क्या निरीक्षण करते हैं कि कतरनी तनाव के मामले में क्षेत्र ∆X है, क्योंकि यह इस सतह पर कार्य करता है, अन्य बल जो कि सामान्य तनाव के कारण बल हैं ∆Y पर कार्य करता, ∆Y क्षेत्र की सतह।
 इसलिए हमने डेल्टा वाई के साथ इसे गुणा किया है और तीसरा घटक दबाव है जो फिर से ∆Y सतह पर काम करता है।
 इसलिए ये नियंत्रण मात्रा पर कार्य करने वाले सभी बलों का योग हैं।
 हालाँकि यह अभिव्यक्ति जटिल दिखती है लेकिन इसे सरल बनाया जा सकता है क्योंकि यदि आप इसे ध्यान से देखें, तो हम कुछ घटकों को रद्द करते हुए देखते हैं और कुछ घटकों को एक साथ जोड़ा जा सकता है।
 अगर उन्हें अपप्रपण तनाव के लिए एक साथ क्लब किया जाता है, तो के रूप में लिखा जा सकता है।
 और इसी तरह सामान्य तनाव और दबाव के लिए।
 इसलिए यदि हम ऐसा करते हैं तो हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है।
 तो यह माइनस साइन है क्योंकि दबाव नियंत्रण सतह पर काम कर रहा है।
 इसलिए, अब हमने बलों का योग प्राप्त किया है, यदि हम इस मूल्य को FX के लिए प्लग-इन करते हैं, तो हमें जो मिलता है, वह X-संवेग समीकरण है।
 ।
 बेशक हमने वॉल्यूम को रद्द कर दिया है, क्योंकि तात्विक मात्रा दोनों तरफ है।
 हमें ऐसा करने की अनुमति है क्योंकि नॉनजरो मात्रा है।
 हम जानते हैं कि यह एक गैर-शून्य मात्रा है, यदि किसी समीकरण के दोनों पक्षों में एक गैर-शून्य मात्रा दिखाई देती है, तो हम इसे रद्द कर सकते हैं।
 तो, यह एक गैर-शून्य मात्रा है जिसे हम इसे रद्द करते हैं और हमें अंतिम अभिव्यक्ति मिलती है जो X-संवेग समीकरण है।
 तो यह X- संवेग समीकरण, समीकरण के अंतिम रूप के लगभग करीब है।
 हम कुल त्वरण को स्थानीय त्वरण और संवहन त्वरण रूप में लिख सकते हैं और इसे फिर से लिख सकते हैं।
 तो इस तरह से हम Y- संवेग समीकरण भी प्राप्त कर सकते हैं।
 Y- संवेग समीकरण में हमें जो मिलता है वह मूल रूप से अपप्रपण तनाव है जो इन सतहों पर कार्य करता है।
 सतह जो X अक्ष के लंबवत होती है और फिर हमारे पास सामान्य तनाव होते हैं जो Y समतल पर कार्य कर रहे हैं, जिसका अर्थ है कि नियंत्रण की मात्रा के दोनों पक्षों में Y समतल और हमारे पास दबाव बल हैं।
 इसलिए यह बहुत समान है।
 लेकिन केवल इस अंतर के साथ कि हमारे पास ρ×g है, जो इस नियंत्रण मात्रा के अंदर तरल पदार्थ का वजन है।
 तो यह देखते हुए कि Y- संवेग समीकरण के लिए जो हमें मिलता है वह इस तरह का समीकरण है।
 X- संवेग समीकरण Y- संवेग समीकरण इसलिए यदि आप देखते हैं कि यह X- संवेग समीकरण के समान है तो केवल U को V से बदल दिया जाता है और दबाव Y के संबंध में होता है जो समझ में आता है क्योंकि हमने Y दिशा में दबाव भिन्नता पर विचार किया है और इसी तरह अपप्रपण तनाव और सामान्य तनाव के लिए, इसके अतिरिक्त हमारे पास है।
 इस अभिव्यक्ति में नियंत्रण मात्रा में द्रव का वजन।
 तो अंत में यह हमारा Y- संवेग समीकरण है।
 तो अब हम X और Y- संवेग समीकरण को लगभग प्राप्त कर चुके हैं।
 लेकिन यह प्रवाह क्षेत्र की जानकारी प्राप्त करने के लिए हमारे लिए पर्याप्त नहीं है क्योंकि हम अभी भी अपप्रपण तनाव और सामान्य तनाव के लिए अभिव्यक्ति नहीं जानते हैं।
 तो यह हमारे अगले व्याख्यान का विषय होगा जहां हम देखेंगे कि वेग घटक के संदर्भ में अपप्रपण तनाव और सामान्य तनाव को कैसे व्यक्त किया जाए ताकि हम केवल वेग के संदर्भ में आंशिक अवकल समीकरण (partial differential equation) प्राप्त कर सकें और यहाँ दबाव भी आ रहा है।
 तब हम प्रवाह क्षेत्र प्राप्त कर सकते हैं।
 इसलिए यह हमें 3 वें सप्ताह के पहले व्याख्यान के अंत में लाता है जब हम समाकल विश्लेषण से निपटते हैं, हमने यहां क्या किया है, हम अवकल दृष्टिकोण से शुरू करते हैं जो अनंत छोटे नियंत्रण मात्रा पर लागू होते हैं।
 तब हमने समाकल दृष्टिकोण से संरक्षण समीकरण के बाएं हाथ को देखा, यही रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय है, फिर हम इस पर विचार करते हुए कि हमें कुल त्वरण के लिए अभिव्यक्ति मिलती है जो स्थानीय और संवहन त्वरण का गठन करती है और फिर बलों के योग पर विचार करके हम अंत में X-संवेग समीकरण प्राप्त करते हैं और यह बताया कि इसी तरह हम Y-संवेग समीकरण कैसे प्राप्त कर सकते हैं।
 अगले व्याख्यान में हम वेग क्षेत्र के संदर्भ में अपप्रपण तनावों को लिखने का तरीका जानेंगे।
 धन्यवाद।