Flow field, Stresses on fluid element, Newtonian fluid-HO38IwiFdmg

शुभ प्रभात, हम अपने दूसरे व्याख्यान से शुरू करेंगे, पिछले व्याख्यान में हमने द्रव प्रवाह की कुछ मूल बातों पर ध्यान दिया, हमने द्रव को परिभाषित किया, हमने निरंतरता (continuum) को परिभाषित किया और हमने द्रव के कुछ गुणों को भी देखा, जैसे निरंतरता (continuum) के संदर्भ में घनत्व और वेग क्षेत्र भी।
 हमने यूलरियन (Eulerian) और लैग्रैजियन (Lagrangian) के दृष्टिकोण की अवधारणा को भी पेश किया।
 इसलिए, व्याख्यान 2 में, हम प्रवाह क्षेत्र के साथ जारी रखते हैं, प्रवाह क्षेत्र की कल्पना करने के विभिन्न तरीके हैं।
 तो, आइए हम वेग क्षेत्र का एक उदाहरण लेते हैं, पिछले मामले में जो हमने पिछले व्याख्यान में प्रदर्शित किया था जहाँ प्रवाह क्षेत्र एक स्थिर द्वि-आयामी (2-D) घटक था लेकिन अब हमने एक गैर-स्थिर प्रवाह क्षेत्र लिया है।
 तो, यहां T घटक है और खुद को याद दिलाने के लिए, वेग मूल रूप से एक बिंदु पर वेग है क्योंकि हम यहां द्रव यांत्रिकी में हमेशा यूलरियन दृष्टिकोण का पालन कर रहे हैं।
 यह एक बिंदु पर वेग है।
 अब, इसलिए वेग का X घटक, i कैप X दिशा में एक एकांक सदिश (Unit vector) है, वेग का X घटक जब समय 0 है, यह हर जगह पर 0 है क्योंकि X गुणा (multiply) T है।
 समय बढ़ने के साथ यह बढ़ता जाता है।
 वेग का Y घटक समय से स्वतंत्र है लेकिन यह Y की दिशा में बढ़ता है जब Y बढ़ता है।
 तो, यह एक 2-D अस्थिर प्रवाह है।
 अब, इस थोड़ी बदली हुई स्थिति के लिए प्रवाह क्षेत्र देखें।
 पहली चीज जो हम प्रवाह क्षेत्र की अनुमान लगाना के लिए उपयोग कर सकते हैं वह स्ट्रीमलाइन है।
 हमने अपने पिछले व्याख्यान में स्ट्रीमलाइन को परिभाषित किया था।
 मूल रूप से ये लाइनें स्ट्रीमलाइन हैं, इन रेखाओं की स्पर्शरेखा वास्तव में वेग की दिशा होती है और इन रेखाओं के लंबवत कोई प्रवाह नहीं होता है क्योंकि वेग, स्ट्रीमलाइन की स्पर्शरेखा है।
 आइए हम वेग वैक्टरों ओर स्ट्रीमलाइन को देखें जब समय 1 सेकंड है।
 तो, मूल रूप से अगर हम इसे रेखांकित (plot) करते हैं, तो यह इस तरह से है, वेग वाले वैक्टर को काले रंग में दिखाया गया है, जबकि स्ट्रीमलाइन को लाल रेखाओं के रूप में दिखाया गया है।
 इस विशेष स्थिति में निश्चित रूप से ये रेखाएँ सीधी हैं लेकिन ऐसा जरूरी नहीं है, यह हम बहुत जल्द देखेंगे।
 अब, हर जगह आप देख सकते हैं कि यदि आप रेखा पर स्पर्शरेखा बनाते हैं, तो यह वेग वेक्टर की दिशा में गिरता है।
 फिर से हम यहाँ देख सकते हैं कि T 1 सेकंड के बराबर है, तब X दिशात्मक वेग -X है जबकि Y दिशात्मक वेग -Y है।
 तो वेग क्षेत्र कुछ इस तरह है, जैसे हम 0,0 से दूर जाते हैं जो यहां दिखाया गया है, वेग मान बढ़ता है और सब कुछ मूल (origin) की ओर निर्देशित होता है।
 तो, यह मूल रूप से वेग क्षेत्र है।
 अब, यदि हम उच्च समय पर जाते हैं, मान लो T 5 सेकंड के बराबर हैं, तब वेग वैक्टर और स्ट्रीमलाइन, कैसा दिखता है।
 तो, हम जो देखते हैं वह प्रवाह की पूरी अस्थिरता को प्रदर्शित करता है, उच्च समय में प्रवाह क्षेत्र पूरी तरह से बदल गया है और स्ट्रीमलाइन भी बदल गए हैं।
 तो, इसका मतलब है कि स्ट्रीमलाइन वास्तव में समय के साथ बदलता है क्योंकि वेग क्षेत्र बदलता है।
 जब हम विश्लेषण कर रहे होते हैं तो ज्यादातर स्ट्रीमलाइन का उपयोग प्रवाह क्षेत्र की कल्पना के लिए किया जाता है।
 तो, प्रवाह की दिशा को देखने के लिए यह बहुत उपयोगी है, स्ट्रीमलाइन का उपयोग करके प्रवाह की दिशा को समझने के लिए।
 प्रायोगिक तौर पर स्ट्रीमलाइन हासिल करना मुश्किल है।
 तो प्रायोगिक रूप से एक प्रवाह क्षेत्र की कल्पना के लिए, हम विभिन्न प्रकार की लाइनों का उपयोग करते हैं।
 हम अगली स्लाइड में देखेंगे।
 तो, प्रवाह रेखा को देखने के लिए उपयोग की जाने वाली रेखा को टाइमलाइन (Timeline) कहा जाता है।
 तो, आइए हम वेग वैक्टर और टाइमलाइन को देखते है जब T 0 और 0.5 सेकंड के बराबर है।
 इससे पहले कि हम इसमें जाएं, हम परिभाषित करते है कि टाइमलाइन (Timeline) क्या है।
 समयरेखा/टाइमलाइन मूल रूप से प्रवाह में पेश की जाने वाली रेखाएँ होती हैं जो रेखा मे विरूपण बताती हैं या रेखा में परिवर्तन बताती हैं जब प्रवाह विकसित होता है या जैसे ही समय बदलता है।
 इसलिए, हम प्रवाह में उदाहरण के लिए एक सीधी रेखा का परिचय लेते हैं और देखते हैं कि समय बीतने के साथ-साथ यह कैसे बदल जाती है।
 इसका क्या महत्व है और हम इसे प्रायोगिक रूप से कैसे देख सकते हैं।
 हमने एक वेग क्षेत्र का उदाहरण लिया है जैसा कि यहाँ दिखाया गया है।
 वेग क्षेत्र X दिशात्मक वेग की तरह है जो Y के समानुपाती है, जिसका अर्थ यह है की जब Y 0 के बराबर होता है, तो X दिशात्मक वेग भी 0 होता है और जैसे ही Y मे अक्ष पर जाते हैं तो वेग बढ़ता है।
 Y वेग वास्तव में सर्वत्र शून्य है।
 अब अगर हम लाल वृत्तो को मिलते है तो हमे एक रेखा मिलती है ।
 इसे हम एक रेखा कहेंगे जो T 0 पर प्राप्त होती है।
 यदि हम समान रेखा को 0.5 सेकंड पर देखते हैं, तो यह कुछ इस तरह दिखाई देगी।
 तो, यह एक टाइमलाइन (Timeline) का एक उदाहरण है।
 यह कैसे उपयोगी है? यदि हम Y दिशा के साथ वेग भिन्नता को देखते हैं, तो X दिशात्मक वेग Y दिशा में रैखिक रूप से बदल रहा है।
 यह सीधे Y समन्वय के साथ आनुपातिक है।
 यदि आप टाइमलाइन को गुणात्मक रूप से देखते हैं, तो यह वेग प्रोफ़ाइल को बहुत अच्छे से दर्शाता है।
 इसलिए, प्रायोगिक तौर पर आप यहां से कुछ कणों को हटाकर इस स्ट्रीमलाइन को उत्पन्न कर सकते हैं।
 हम कहते हैं कि हम नीचे से बुलबुले छोड़ते हैं, यह एक सपाट प्लेट पर प्रवाह के समान है, यह एक सपाट प्लेट पर बहने के समान है, जो वेग प्रोफ़ाइल के संबंध में नहीं है, बल्कि निचली दीवार पर नो स्लिप की स्थिति के संबंध में है।
 तो, अब अगर आप बुलबुले छोड़ते हैं, अगर कोई प्रवाह नहीं था, तो बुलबुले वास्तव में इस लाइन का पालन करेंगे और जब प्रवाह होता है, तो धीरे-धीरे ये स्थानांतरित हो जाएगें।
 बुलबुले जो दीवार के बहुत करीब स्थित हैं, वे स्थानांतरित नहीं होंगे या वे बहुत छोटी दूरी पर स्थानांतरित होगे, दीवार से दूर वेग अधिक है, इसलिए वे बड़ी दूरी स्थानांतरित होंगे ।
 इसलिए, यदि हमें वेग प्रोफ़ाइल की विशेषताओं के बारे में पीटीए सीएचएल जाता है, तो हम टाइमलाइन (timelines) का उपयोग कर सकते हैं।
 इसे आगे प्रदर्शित करने के लिए, हम एक और वेग क्षेत्र लेते हैं।
 इसलिए, अब X दिशा में वेग क्षेत्र कहने के बजाय जो पिछले मामले में Y के लिए सीधे आनुपातिक था, अब यह Y के वर्गमूल या Y की शक्ति ½ के अनुपात में है।
 Y वेग या VY फिर से शून्य है।
 आइए देखते हैं कि इस स्थिति के तहत टाइमलाइन का क्या होता है।
 तो, अब फिर से समय 0 है, यह प्रवाह क्षेत्र में पेश की जाने वाली रेखा है और 0.5 सेकंड के बाद इसके साथ क्या होता है।
 तो, यह समय T, 0 के बराबर है, आप इसे इस प्लेट के नीचे से जारी बुलबुले के रूप में कल्पना कर सकते हैं और यह प्रवाह की अनुपस्थिति में उठता है।
 अब, जैसे कि प्रवाह क्षेत्र स्थापित होता है, उस स्थिति में बुलबुले चलते हैं और वे कुछ इस तरह से स्थिति लेते हैं, जो पहले मामले से अलग है।
 इसलिए, दूसरे मामले में 0.5 सेकंड पर, बुलबुले जो स्थान लेते है वो वेग प्रोफ़ाइल के समान हो जाते है।
 तो, इस तरह के दृश्य वास्तव में हमें प्रवाह की स्थिति में वेग प्रोफ़ाइल की विशेषताओं को सीधे देखने में मदद करता हैं।
 हमने पिछली स्लाइड में स्ट्रीमलाइन देखी है जो कि गणना प्रवाह (computed flow field) क्षेत्र की कल्पना के लिए अधिक उपयोगी है।
 प्रायोगिक तौर पर वेग प्रोफ़ाइल को देखने के लिए टाइमलाइन उपयोगी है।
 प्रवाह क्षेत्र को दीखाने के अन्य तरीके भी है जो हम अगली स्लाइड में देखेंगे।
 ऐसा करने के लिए, हम इस क्षेत्र (Domain)को सोचते हैं, यह एक विशेष द्रव क्षेत्र पर विचार करते हैं।
 तो, यह मूल रूप से प्रवाह में एक विशेष क्षेत्र है, प्रवाह में एक छोटा क्षेत्र है, हम अब उस क्षेत्र में एक द्रव कण मानते हैं।
 अगर हम इस क्षेत्र में एक कण को प्रवाह क्षेत्र में स्थापित करते हैं, जो यहां स्थापित है, तो यह वास्तव में बढ़ना शुरू कर देगा क्योंकि इस डोमेन में एक स्थापित (established)प्रवाह क्षेत्र है।
 इसलिए, कण प्रवाह क्षेत्र का अनुसरण करता है और नए क्षेत्र में चला जाता है, फिर से अपनी अगली स्थिति में जाता है, तो इस तरह से यह चलता रहता है।
 प्रवाह क्षेत्र से हम ऐसा कह सकते है कि वह इस कण को विशेष प्रक्षेपवक्र (trajectory) में ले जाता है।
 इस कण का अनुसरण (follow) करते हुए जो रेखा बनती है उसे पथ रेखा (Path Line) कहते हैं पथ रेखा यह भी देखने के लिए उपयोगी है कि कण एक प्रवाह के भीतर कैसे चल रहे हैं या एक प्रवाह के भीतर द्रव कण कैसे चल रहे हैं।
 प्रायोगिक रूप से इस तरह की पथ रेखाओं को आप एक रंग इंजेक्ट कर सकते हैं जैसे हमने यहाँ किया है, आइए हम देखते हैं कि यह नीला कण एक नीले रंग को दरसा रहा है, हम इस स्थान पर एक डाई इंजेक्ट करते हैं और फिर इसे रेखांकित करते हैं, जब यह प्रवाह क्षेत्र में घूम रहा होता है।
 तो, यह हमें एक मार्ग रेखा (path line) देता है।
 जैसे स्ट्रीमलाइन के मामले में, पथ रेखा भी एक अस्थिर प्रवाह है, यह समय का एक कृत्य है।
 उदाहरण के लिए, यदि यह एक अस्थिर प्रवाह है, जब किसी कण को एक बिंदु पर पेश किया जाये तो समय के अगले पल में यह एक ही प्रक्षेपवक्र (trajectory) का पालन करे ऐसा जरूरी नहीं है।
 तो, पथ रेखा समान नहीं होगी।
 हम इस तथ्य को इस अगले चित्र में प्रदर्शित करेंगे।
 अब हम कहते हैं कि हमारे पास प्रवाह में पेश किया गया यह नीला कण है।
 जैसा कि इसे पेश किया जाता है, यह अपनी नई स्थिति में चला जाता है, जो यह है।
 उसी समय, हम एक दूसरे कण को पेश करते हैं जो रंग में अलग है।
 अब, यह कण जो दूसरे समय में पेश किया जाता है, यह अस्थिर प्रवाह मे, एक अलग प्रक्षेपवक्र का पालन करता है, तो आप एक ही बिंदु पर इंजेक्शन के बाद एक अलग पथ रेखा देख सकते हैं।
 दूसरे पल में हम कहते हैं कि जब पहला कण फिर से अपनी नई स्थिति में चला गया है और दूसरा कण भी पहले से दूसरे स्थान पर चला गया है, हम तीसरे पल में एक और हरे कण का परिचय देते हैं।
 फिर हम इसको अनुगमन करते हैं, तो यह फिर से एक अलग तरीके से जा सकता है क्योंकि प्रवाह क्षेत्र अस्थिर है।
 इनमें से हर एक रेखा, हमारी पिछली परिभाषा के अनुसार, वास्तव में एक पथ रेखा है।
 यह एक कण द्वारा प्रवाह में लिया गया मार्ग है, इसलिए ये सभी वास्तव में पथ रेखाएं हैं।
 विभिन्न रंगों द्वारा दिखाई गई तीनों रेखाएँ पथ रेखाएँ हैं।
 हम उन सभी कणों (जो एक ही बिंदु से पेश किए गये थे) के बिन्दुपथ (locus) स्थान से जुड़कर एक और रेखा को परिभाषित कर सकते हैं, इस रेखा को लहर रेखा (streak line) कहा जाता है।
 तो, मूल रूप से यह कणों का ठिकाना है जिसे एक ही बिंदु पर इंजेक्ट किया गया थे।
 अब, अगर यह क्षेत्र अस्थिर नहीं होता, जेसा पहले प्रदर्शित किया गया है, तब ये कण वास्तव में पहले कण के प्रक्षेपवक्र में चल रहे होते, पहले कण की पथ रेखा में।
 तीसरा कण जो हरे रंग का है वह भी पहले कण की पथ रेखा में चलता और यदि हम सभी कणों के एक नियंत्रण रेखा से जुड़ते हैं, तो हम वास्तव में पथ रेखा वापस प्राप्त करेंगे।
 इसलिए, यह देखा जा सकता है कि एक स्थिर प्रवाह के मामले में, पथ रेखाएं और लहर रेखा वास्तव में एक-दूसरे के साथ मिलती हैं।
 उदाहरण के लिए, पथ की लकीर को देखने के लिए प्रायोगिक विधि एक धुआँ दृश्य है, इसका मतलब है कि आप पथ रेखा के मामले में हैं, हम एक रंग को इंजेक्ट करते हैं, रंग की एक छोटी सी बूंद और देखते हैं कि रंग ने कैसा प्रक्षेपवक्र लिया है, जबकि लहर रेखा के मामले में, हम एक विशेष बिंदु पर कुछ रंग को इंजेक्ट करते है या धुएं को रखते हैं और पूरे धुएं द्वारा लिए गए प्रक्षेपवक्र पर नज़र रखते हैं।
 तो, यह धुआँ दृश्य लहर रेखा का एक उदाहरण है।
 इसलिए, प्रवाह क्षेत्र की कल्पना करने के संदर्भ में हमने क्या देखा है, हमने स्ट्रीमलाइन की अवधारणा पेश की है, स्ट्रीमलाइन वास्तव में वे रेखाएँ हैं जिनसे वेग वैक्टर स्पर्शरेखा होती हैं।
 समय रेखाएं वो होती हैं जो प्रवाह क्षेत्र में समय के साथ विकसित होती है।
 यदि आप परिचय देते हैं, तो यह किसी विशेष दिशा में नहीं है, बल्कि आप प्रवाह क्षेत्र में एक रेखा का परिचय दें और देखें कि यह समय के साथ कैसे विकसित होता है।
 यदि आप जान-बूझकर प्रारंभिक समय पर एक रेखा शुरू करते हैं, तो आप समयरेखा के विकास को देखकर वेग प्रोफ़ाइल का पता लगा सकते हैं।
 पथ रेखा मूल रूप से एक द्रव कण का एक प्रक्षेपवक्र है।
 तो, पथ रेखा एक विशेष द्रव कण से संबंधित होती है।
 स्ट्रीक लाइन एक ही बिंदु से गुजरने वाले द्रव कण का स्थान/बिन्दुपथ है।
 अब जैसा कि हमने पहले कहा है, आप देख सकते हैं कि एक स्थिर प्रवाह में, ये सभी रेखाएँ, केवल समय रेखा नहीं बल्कि स्ट्रीमलाइन, पथ रेखा और लहर रेखा, वे वास्तव में एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं।
 एक अस्थिर प्रवाह में, जैसा कि इसके दूसरे भाग में प्रदर्शित होता है, स्लाइड के इस दाहिने हिस्से में, वे काफी भिन्न हो सकते हैं, पथ रेखाएं एक अस्थिर प्रवाह में काफी भिन्न हो सकती हैं, वे एक दूसरे के साथ मेल नहीं खाते हैं ।
 दूसरा, हमने निरंतरता की अवधारणा को शुरू करने के बाद, हमने विभिन्न क्षेत्रों के विभिन्न गुणों पर ध्यान दिया है, हमने वेग क्षेत्र को देखा है, हमने अलग-अलग दृष्टिकोणों को देखकर प्रवाह की कल्पना कैसे की है, इस पर ध्यान दिया है।
 अब हम तरल पदार्थ पर तनाव या द्रव में तनाव क्षेत्र को देखते हैं।
 इसलिए, एक द्रव तत्व पर तनाव को देखने के लिए, हमें इसे X, Y और Z की संदर्भ प्रणाली के रूप में लेते है और हम तीन आयामी (3-D) द्रव तत्व पर विचार करते हैं जैसा कि यहां दिखाया गया है।
 अब, यदि हम द्रव तत्व पर तनाव को देखते हैं, पहले हम सामान्य तनावों की बात करते हैं, उन तनावों की तरह जो उस सतह के लंबवत होते हैं जिस पर वह कार्य कर रहा होता है।
 या हम इसे एक अलग तरीके से कह सकते हैं, हम कह सकते हैं कि तनाव दिशा है, तनाव का उन्मुखीकरण सतह की दिशा के समानांतर है।
 सतह की दिशा (direction of plane) से क्या अभिप्राय है? सतह की दिशा वास्तव में सतह पर खींचे गए लंब की दिशा है।
 यदि आप इस सतह को लेते हैं और लंबवत खींचते हैं, तो इसका उन्मुखीकरण सामान्य तनाव के उन्मुखीकरण के समान होगा।
 तो, यह एक तत्व है जिस पर सामान्य तनाव दिखाए जाते हैं।
 वास्तव में आप देख सकते हैं कि नामकरण का एक निश्चित संकेत है।
 यह सिग्मा एक्स ()के बजाय सिग्मा एक्सएक्स () कहते है, इसका मतलब है कि यह तनाव X दिशा में और X सतह/प्लेन (plane) में भी कार्य करता है।
 हम इसे और देखेंगे जब हम अपप्रपण तनावों (shear stress) का प्रयोग करेंगे।
 तो, पीले तीर वास्तव में तीन सतह पर इस द्रव तत्व पर काम करने वाले अपप्रपण तनावों को दर्शाते हैं जो इस दृश्य में दिखाई देते हैं।
. आइए हम इसका एक उदाहरण लेते हैं () यह वास्तव में X दिशा में Y सतह पर कार्य कर रहा है।
 हमारी Y सतह से क्या तात्पर्य है? वह Y सतह का स्वाभाविक रूप से मतलब है, यदि आप इस सतह पर एक लम्ब डालते हैं, तो यह Y अक्ष के समानांतर होगा।
 तो, पहला उस सतह का प्रतिनिधित्व करता है ओर दूसरा दिशा का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर वह कार्य कर रहा है, तो, इसी तरह आप इसे ताओ , , और नाम दे सकते हैं।
 तो, ये वो तनाव हैं जो द्रव तत्व पर काम कर रहे हैं।
 दोनों सामान्य तनाव (Normal stress) और अपप्रपण तनाव (shear stress) हैं।
 यदि आपको तनाव का सुगठित तरीके से वर्णन करना है, तब आप तनाव टेंसर (stress tensor) का उपयोग कर सकते हैं।
 तो, तनाव टेंसर के वास्तव में नौ घटक हैं।
 उस विवरण में जाने से पहले, जब हम वास्तव में एक बल का वर्णन करते हैं, तो यह एक सदिश इकाई (vector quantity) है, इसके तीन घटक हैं।
 लेकिन जब हम एक तनाव का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो हमें नौ घटकों की आवश्यकता होती है।
 इसके पीछे का कारण है, जब हम किसी बल का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो यह सिर्फ एक बल है, जबकि तनाव प्रति इकाई क्षेत्र में बल होता है।
 इसलिए, हमें इस बारे में ध्यान होना चाहिए कि जिस क्षेत्र पर बल कार्य कर रहा है वह बल की दिशा के लिए कैसे उन्मुख है।
 तो, यह वास्तव में सामान्य तनाव और अपप्रपण तनाव में अंतर करता है।
 तो, जैसे त्रि-आयामी (3-D) स्थिति में, यह तत्व त्रि-आयामी तत्व है, आपके पास तीन सामान्य बल हो सकते हैं ओर कि आपके पास तीन अलग-अलग दिशाओं में लगने वाले तीन अपप्रपण तनाव (shear stress) हो सकते हैं।
 बेशक आपके पास कुछ पूरक तनाव भी होंगे जो अन्य सतह पर लग रहे है जो दूसरे सतह के समानांतर है वो इस चित्र में दिखाई नहीं देते हैं।
 इसलिए, जब हम तनाव के बारे में बात करते हैं, तो हम हम केवल तीन घटकों का उपयोग करके तनाव की स्थिति की व्याख्या नहीं कर सकते हैं, अगर हमें सामान्य तनावों के साथ-साथ अपप्रपण तनावों का भी उपयोग करना होता है।
 यही कारण है कि हम एक सदिश के बजाय एक तनाव टेंसर (stress tensor) का उपयोग करते हैं।
 यदि हम 2-D तत्वों के लिए तनाव टेंसर के बारे में बात करते हैं तो निश्चित रूप से Z दिशा में सामान्य तनाव नहीं होगा और कोई अपप्रपण तनाव भी नहीं होगा।
 मूल रूप से यदि आप देखते हैं कि जब Z दिशा में सामान्य तनाव है तो उस दिशा मे दो ओर अपप्रपण (shear) तनाव हैं।
 हमारे पास 2-D में तनाव टेंसोर (stress tensor) कुछ इस तरह दिखते हैं, जैसा कि इस द्रव कण में दिख रहा है।
 विचार करने के महत्वपूर्ण बात यह है कि यह तनाव जो दिख रहा है वह किसी चीज से कैसे संबंधित है।
 जैसे कि तरल पदार्थ के प्रवाह की बात करते हैं, ठोस के लिए हम जानते हैं कि तनाव, खिंचाव से संबंधित है जिसके लिए हम हूक्स लॉं (Hook’s law) का उपयोग करते हैं।
 हालांकि यहां तनाव सीमा के भीतर होना जरूरी है तभी तनाव और खिंचाव समानुपातिक होते हैं।
 आइए देखें कि यह (द्रव) कैसे रूपांतरित होता है।
 द्रव के मामले में नियम बदल जाता है।
 हमने अपने पहले व्याख्यान में देखा था कि तरल पदार्थ ठोस पदार्थ की तुलना में अलग व्यवहार करते हैं जब उनपर अपप्रपण बल लागू किया जाता है।
 अब हम देखते हैं कि तनाव को वह द्रव के संदर्भ में कैसे व्यक्त किया जाता है या हूक्स का नियम (Hook’s law) तरल पर कैसे लागू होता है।
 बेशक हम जानते हैं कि तनाव और खिंचाव एक दूसरे के समानुपातिक हैं और E एक लचीलापन (elastic) मापक है जो एक गुण है यह ठोस पदार्थों की विशेषता है।
 हम यह भी कह सकते हैं की ठोस लचीले होते हैं जबकि तरल पदार्थ चिपचिपे (viscous) होते हैं।
 तो द्रव के केस में यह भी एक गुण होता है जो तरल पदार्थ में तनाव और उसके बदलाव में संबंध बनाता है।
 इसमें जाने से पहले हम 3D स्थिति की बजाय 2D तत्वों को देखते हैं क्योंकि 3D बहुत जटिल है।
 तो तरल पदार्थ के लिए हम 2-D तत्व पर ध्यान देते हैं जो अपप्रपण तनाव के अधीन हैं।
 हम यहां केवल अपप्रपण तनाव पर ध्यान देंगे क्योंकि सामान्य तनाव केवल तभी महत्वपूर्ण है जब हम संपीड़ितता (compressibility) की बात करते हैं संपीड़ितता के बारे में हम अंत में बात करेंगे, संपीड़ित प्रवाह तरल पदार्थ के प्रवाह का पीछे का हिस्सा है लेकिन सामान्यत सामान्य तनाव को संपीड़ित में अधिक संबोधित किया जाता है।
 आइए हम अपप्रपण भाग को देखते हैं अपप्रपण भाग द्रव के विरूपण से कैसे संबंधित है।
 जब अपप्रपण बल काम करता है तो द्रव लगातार बहता है।
 हम यह देख सकते हैं कि यह कैसे लगातार विकृति होता है तो यह विरूपण को कैसे जोड़ता है या अपप्रपण तनाव और विकृति के बीच संबंध को कैसे परिभाषित करता है।
 इसका नियम क्या है? तो, हम T समय में इस तत्व को लेते हैं, बल इस 2-डी द्रव तत्व पर कार्य करता है, बेशक यह विकृत हो जाएगा, इसका अर्थ है कि इसका आकार T + T पर बदल जाएगा जिसे हम ले सकते हैं, तरल तत्व के किनारे के कोण को विरूपण के रूप में इसकी प्रारंभिक दिशा के साथ बनाया गया है, इसलिए यह विकृत हो जाता है।
 सवाल यह है कि हम इसे तनाव, अपप्रपण तनाव से कैसे संबंधित कर सकते हैं।
   हम जल्द ही देखेंगे कि न्यूटोनियन द्रव (Newtonian fluid) क्या है लेकिन अभी तत्व की हमारी चर्चा पर वापस आते हैं।
 हमने तत्व द्रव, 2-D द्रव तत्व को पिछली स्लाइड में T + T समय के लिए पेश किया है, जब द्रव तत्व पहले से ही विकृत हो।
 मानते है कि शीर्ष भाग में एक वेग U है और द्रव तत्व का आकार X और Y है, डेल्टा एल विरूपण है, द्रव तत्व का रैखिक (linear) विरूपण।
 अब हम इस भाग को अलग से देखते हैं, यदि आप इसे देखते हैं, तो आप इस कोण को डेल्टा अल्फा () ले सकते हैं, यह द्रव तत्व का प्रारंभिक किनारा है, यह है और रैखिक विरूपण (linear deformation) है।
 तो, आप इन तीन मापदंडों के बीच संबंध लिख सकते हैं बशर्ते डेल्टा अल्फा () छोटा हो।
 तो, आप लिख सकते हैं ।
 यह ke छोटी मात्रा के लिए, यह एक चाप की तरह है, और इस किनारे के बीच का अंतर कम होने के कारण हम इसे छोड़ सकता है।
 आप लिख सकते हैं ।
 विरूपण को के रूप में लिखा जा सकता है, व्यतीत समय है और द्रव तत्व के शीर्ष किनारे का वेग है।
 और इसलिए अब आप इसे लिख सकते हैं।
 विरूपण की दर, वेग से संबंधित हो सकती है।
 तो, को मे भी लिखा जा सकता है तो, हम यह सब क्यों कर रहे हैं? हम विकृति की दर का वेग के संदर्भ में विवरण करना चाहते हैं प्रवाह क्षेत्र के लिए, मुख्य रूप से वेग या उसके उतार-चड़ाव (gradient) का मतलब है।
 इसलिए, हम अंत में तनाव को वेग या उसकी उतार-चड़ाव (gradient) के साथ जोड़ना चाहते हैं।
 इसलिए, तरल पदार्थ के लिए, अपप्रपण के अधीन 2-डी तत्व, हूक्स के नियम (Hook’s law) की तरह है, यह कहता है कि अपप्रपण तनाव वास्तव में विरूपण की दर के आनुपातिक है।
 तो, विरूपण की दर है, इसका मतलब है कि अपप्रपण तनाव वेग ग्राडिएंट (gradient) से संबंधित है के रूप मे।
 और आप इसे एक समीकरण के रूप में लिख सकते हैं एक स्थिर μ को इस्तेमाल करके, यह म्यू () द्रव की श्यानता (viscosity) है।
 तो, यह ठोस के मामले के बहुत समान है, वह गुण जो तनाव ओर खिंचाव से संबंधित था वो इलास्टिक मॉड्यूलस (elastic modulus) था, यहां हमारे पास श्यानता (viscosity) है क्योंकि तरल पदार्थ चिपचिपा होते हैं, जबकि ठोस इसकी लचिलापन (elastic) सीमा के भीतर लचीले होते हैं।
 बेशक इसे डायनेमिक विस्कोसिटी (dynamic viscosity) कहा जाता है और इस नियम को न्यूटन का श्यानता नियम (Newton’s law of viscosity) कहा जाता है, जो तरल पदार्थ पर लागू होने वाले नीयम हूक्स लॉं (Hook’s law) का एक पूरक हिस्सा है।
 श्यानता (viscosity), निश्चित रूप से यह इलास्टिक मॉड्यूलस (elastic modulus) की तुलना में एक अलग इकाई है।
 क्योंकि इलास्टिक मॉड्यूलस (elastic modulus) आप देखते हैं, यह तनाव और खिंचाव से संबंधित है, क्योकि खिंचाव (strain) की कोई इकाई नहीं है, इसलिए इलास्टिक मॉड्यूलस की तनाव (stress) के समान इकाई है, यह पास्कल (pascal) है।
 जबकि विस्कोसिटी/ श्यानता (viscosity) अपप्रपण तनाव (shear stress) के साथ विरूपण (deformation rate) की दर से संबंधित है,।
 तो, की इकाई, = 1/सेकंड है, गतिशील = पास्कल, तो यह पास्कल सेकंड (Pascal seconds) है।
 हमने यहां कुछ परिचित तरल पदार्थों की विस्कोसिटी दिखाई है।
 आइए हम विस्कोसिटी के महत्व पर थोड़ा गौर करें।
 तो, आइए हम 20 डिग्री सेल्सियस पर पानी लेते हैं, पास्कल सेकंड में विस्कोसिटी/ (viscosity) 10 शक्ति -3 (10-3) है, पास्कल वास्तव में मुझे खेद है वास्तव में SI इकाई है, न्यूटन प्रति मीटर वर्ग (N/m2)।
 तो, 20 डिग्री सेल्सियस पर पानी में विस्कोसिटी 10-3 पास्कल सेकंड होती है, आप सीजीएस इकाई (CGS unit) में भी इसका प्रतिनिधित्व कर सकते हैं जो यहां दिखाया गया है।
 20 डिग्री सेल्सियस पर पानी की विस्कोसिटी 1 सेंटी पोइस (centi poise) है, पोइस वास्तव में ड्यने सेकंड/वर्ग सेंटीमीटर है।
 और अगर आप इसे सेंटी पोइस के रूप में लिखते हैं, जो कि 10-2 पोइस है, तो 10-2 डायने सेकेंड प्रति सेंटीमीटर स्क्वायर, तो पानी का मान एक हो जाता है अगर आप इसे सेंटी पॉज़ लिखते हैं।
 तो, यह भी याद रखने की बात है, कि 20 डिग्री सेल्सियस पर पानी 1 सेंटी पॉज़ है, जो कि पास्कल सेकंड में 10-3 है।
 यह हमें सेंटी पॉज़ और पास्कल सेकंड के बीच के रिश्ते को याद रखने में मदद करता है।
 अब हम 90 डिग्री सेल्सियस पर पानी लेते हैं, इसमें विस्कोसिटी (viscosity) कम होती है, तो हम तरल के लिए क्या देखते हैं विस्कोसिटी (viscosity), वह गुण जो हमें तनाव और विरूपण की दर के बीच संबंध से मिली, हम देखते हैं कि यह तापमान का एक कृत्य (function) है, जैसे ही तापमान बढ़ता है, विस्कोसिटी कम हो जाती है।
 लेकिन यह केवल तरल पदार्थों के लिए सच है।
 यदि आप उच्च तापमान पर जाते हैं तो तरल पदार्थों का अंतर आणविक बल (inter molecular force) कम हो जाता है।
 आइए हम 0 ° C पर हवा का उदाहरण लेते हैं, ताकि आप देख सकें कि हवा की इन्विश्चिद (Inviscid) (negligible viscosity) है, निश्चित रूप से हम जानते हैं कि हवा बहुत इन्विश्चिद है, यह पानी का 1/100 है।
 मतलब पानी, हवा से 100 गुना चिपचिपा (viscous) है।
 तो, यह 1.75 ×10-5 पास्कल सेकंड (Pascal seconds) या 0.0175 सेंटी पोइस (centi poise) है।
 लेकिन यहां ध्यान देने वाली एक महत्वपूर्ण बात यह है कि 27 °C पर समान हवा वास्तव में थोड़ी अधिक विस्कोस (viscous) होती है, बहुत अलग नहीं है, लेकिन प्रवृत्ति तरल के लिए इससे अलग होती है।
 यह गैसों की विशेषताएं हैं।
 उनके लिए विस्कोसिटी (viscosity) वास्तव में बढ़ते तापमान के साथ बढ़ता है।
 हमने कुछ अन्य परिचित तरल पदार्थ लिए हैं, हमने 20 डिग्री सेल्सियस पर ग्लिसरॉल (glycerol) का उदाहरण लिया है, आप देख सकते हैं कि यह अत्यधिक चिपचिपा है, यह 1.2 पास्कल सेकंड है।
 इसलिए, यदि आप पानी लेते हैं, तो यह एक मीली पास्कल सेकंड था, जबकि ग्लिसरॉल 1 पास्कल सेकंड के आसपास होता है, जो पानी से 1000 गुना है।
 इसी तरह यहां यह 1200 सेंटी पोइस (centi poise) है, यदि आप प्रभाव का अध्ययन करना चाहते हैं, तो प्रयोगात्मक रूप से कुछ चीजों पर विस्कोसिटी (viscosity) के प्रभाव का अध्ययन करें।
 तब आप इस संयोजन का उपयोग कर सकते हैं, आप इस प्रक्रिया को ग्लिसरॉल के साथ कुछ अन्य स्थितियों के साथ दोहरा सकते हैं, तब आप देख सकते हैं कि उस विशेष पैरामीटर पर विस्कोसिटी (viscosity) का क्या प्रभाव पड़ता है।
 वास्तव में हम कुछ पैरामीटर को परिभाषित कर सकते हैं, एक और पैरामीटर जिसे सतह तनाव (surface tension) कहा जाता है।
 यह एक प्रयोगात्मक विशेषज्ञ के लिए एक उपयोगी जानकारी है जिसे आप देखते हैं, यदि आप ग्लिसरॉल की सतह तनाव को देखते हैं, तो यह पानी के बहुत करीब है।
 यदि आप सतह को समान रखना चाहते हैं और चिपचिपाहट के प्रभाव का अध्ययन करते हैं, तो आप पानी और ग्लिसरॉल का उपयोग करके एक प्रयोग कर सकते हैं, आपको पता चलेगा कि चिपचिपाहट उनके लिए क्या करती है।
 बेशक यह संदर्भ से थोड़ा बाहर है लेकिन यह जानना उपयोगी है।
 प्रायोगिक तौर पर किसी गुण के प्रभाव को देखने के लिए केवल एक गुण (property) को बदलना बहुत मुश्किल है क्योंकि यदि आप द्रव को बदलते हैं, तो बहुत सारे अन्य गुण भी बदल जाते हैं।
 एक और उदाहरण प्रोपोल (propanol) है, यह एक अन्य हाइड्रोकार्बन (hydrocarbon) है और इसमें पानी के समान चिपचिपाहट होती है, आप यहाँ देख सकते हैं।
 इसलिए, हमने देखा कि तरल पदार्थ मूल रूप से फैलने वाले होते हैं।
 तो, यह हमें दूसरे व्याख्यान के अंत में आते है, इस व्याख्यान में हमने वेग क्षेत्र और विभिन्न प्रकार के मापदंडों को देखा है ताकि एक वेग क्षेत्र को स्ट्रीमलाइन की तरह परिभाषित किया जा सके, जो द्रव प्रवाह की कल्पना करने के लिए उपयोगी है, फिर पथ रेखा (Path Line), टाइमलाइन (Timeline), लहर रेखा (streak line)।
 हमने देखा कि स्थिर प्रवाह की स्थिति में पथ रेखा (Path Line), टाइमलाइन (Timeline), लहर रेखा (streak line) एक समान हो जाती है।
 हमने तनाव क्षेत्र (stress field) को भी देखा, एक द्रव तत्व पर तनाव, हमने तनाव टेंसर को देखा और फिर हमने यह भी बताया कि तनाव द्रव के मामले में विकृति की दर से कैसे संबंधित है, जिसे न्यूटन का श्यानता नियम (Newton’s law of viscosity) के रूप में जाना जाता है और इस नियम को मानने वाले तरल पदार्थ को न्यूटनियन द्रव (Newtonian fluid) कहा जाता है।
 अगले व्याख्यान में हम गैर-न्यूटनियन तरल पदार्थों (non-Newtonian fluids) के साथ शुरू करेंगे जो न्यूटन का श्यानता नियम (Newton’s law of viscosity) का पालन नहीं करते हैं।
 धन्यवाद।