Integral analysis, Control volume, Generalised conservation equation-ERdmuPgExD8

सुप्रभात और द्रव गतिशीलता और टर्बो मशीनों पर इस पाठ्यक्रम के दूसरे सप्ताह में आपका स्वागत है।
 तो, हम पहले मॉड्यूल के भाग बी के साथ शुरू करेंगे, पहला मॉड्यूल द्रव की गतिशीलता पर है।
 यह पाठ्यक्रम मॉड्यूल 1 जो द्रव की गतिशीलता पर है के भाग बी मे द्रव प्रवाह के समाकल विश्लेषण से संबंधित है।
 हमने पहले अध्याय में द्रव प्रवाह के लिए समाकल विश्लेषण और अवकल विश्लेषण पेश किया है।
 मूल रूप से समाकल विश्लेषण परिमित आकार मे एक नियंत्रण मात्रा के साथ संबंधित है, जबकि अवकल विश्लेषण एक अनंत छोटे नियंत्रण मात्रा या एक बहुत छोटे नियंत्रण मात्रा से संबंधित है।
 समाकल विश्लेषण, जिससे नियंत्रण वॉल्यूम पर काम करने वाले बल, टॉर्क, थ्रस्ट आदि जैसे सकल मापदंडों के रूप में आउटपुट मिलता है।
 जबकि अवकल विश्लेषण के मामले में, आउटपुट के रूप में अधिक विस्तृत पैरामीटर प्राप्त होते हैं, उदाहरण के लिए वेग क्षेत्र, दबाव क्षेत्र।
 तो, हम अपने 2 अध्याय को शुरू करते हैं जो कि समाकल विश्लेषण से संबंधित है।
 तो, यह समाकल विश्लेषण पर पहला व्याख्यान है।
 हम इस शब्द की परिभाषा से शुरू करते हैं, निकाय (system) बनाम नियंत्रण की मात्रा (control volume), क्योंकि हम यह विश्लेषण एक कंट्रोल वॉल्यूम के लिए कर रहे हैं और हमने पहले ही कहा था कि समाकल विश्लेषण एक परिमित आकार के कंट्रोल वॉल्यूम (finite size control volume) के साथ काम करता है।
 तो, वास्तव में कंट्रोल वॉल्यूम से हमारा क्या मतलब है? इसके लिए हम सिस्टम को संदर्भ भी लाते हैं।
 आइए देखते हैं कि एक सिस्टम क्या है और एक कंट्रोल वॉल्यूम क्या है।
 अब इसे अलग-अलग पुस्तकों में या तो नियंत्रण द्रव्यमान (control mass) के रूप में परिभाषित किया जाता है, सिस्टम को नियंत्रण द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया जाता है या यह कभी-कभी बंद निकाय (close system) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
 चूंकि कंट्रोल वॉल्यूम को एक खुली निकाय के रूप में परिभाषित किया गया है।
 लेकिन हमारे पाठ्यक्रम में, हम मुख्य रूप से सिस्टम बनाम कंट्रोल वॉल्यूम के रूप में शब्दावली का उपयोग करेंगे।
 तो, हम इसे एक परिभाषा देते हैं।
 अब फिर से हम इस प्रवाह पर विचार करते हैं, जैसे कि हमने अपने पहले अध्याय में शुरू किया था और हम देखते हैं कि प्रवाह प्लेट पर बल थोप रहा है।
 बेशक प्लेट इस दिशा में एक बल का अनुभव करती है और सकारात्मक X दिशा में जो क्षैतिज दिशा (horizontal direction) है जैसा कि स्लाइड में दिखाया गया है और यह चलती रहती है।
 यह प्लेट की पिछली स्थिति है और यह प्लेट की एक नई स्थिति है और फिर यह आगे और आगे बढ़ती रहती है।
 अब, यदि हम इस विशेष भाग को देखें, जैसा कि यहां दिखाया गया है, हम प्लेट पर एक सीमा खींच सकते हैं, तो यह धराशायी रेखा सीमा को दर्शाती है।
 यह अनिवार्य रूप से सिस्टम सीमा (system boundary) है।
 इसे सिस्टम सीमा क्यों कहा जाता है? क्योंकि सिस्टम सीमा ऐसी है, जहाँ सीमा के आर-पार किसी भी पैमाने पर द्रव्यमान आदान प्रदान (mass exchange) की अनुमति नहीं है, यह किसी भी निकाय (system) के लिए सही है।
 सीमा के पार ऊर्जा आदान प्रदान (energy exchange) हो सकता है लेकिन कोई द्रव्यमान आदान प्रदान (mass exchange) नहीं हो सकता है।
 उदाहरण के लिए, इस मामले में, यदि हम प्लेट को एक निकाय मानते हैं, तो प्लेट में कोई द्रव्यमान आदान प्रदान (mass exchange) नहीं होता है, लेकिन ऊर्जा आदान प्रदान होता है।
 यदि हम यहां दिखाए गए प्लेट के प्रक्षेपवक्र को देखें तो हम ऊर्जा आदान प्रदान का परिणाम देख सकते हैं।
 यह मानते हुए कि ये समय के समान अंतराल में लिए गए स्नैपशॉट के रूप में हैं।
 हम देख सकते हैं कि धीरे-धीरे प्लेट में तेजी आती है।
 इसका मतलब है कि प्लेट में प्रवाह द्वारा एक गतिज ऊर्जा (kinetic energy) प्रदान की जाती है।
 प्लेट, जिसे यहां सिस्टम के रूप में परिभाषित किया गया है, वास्तव में प्रवाह से गतिज ऊर्जा प्राप्त कर रहा है और आगे बड़ रहा है।
 सिस्टम सीमा के आर-पार एक ऊर्जा आदान प्रदान है, लेकिन कोई द्रव्यमान आदान प्रदान नहीं है।
 यह द्रव्यमान आदान-प्रदान केवल एक सीमा के लिए सही है जो एक ठोस की सीमा बनाता है।
 तरल पदार्थ भी सीमा से बंधे हो सकते हैं और उस सीमा के आर-पार कोई द्रव्यमान आदान प्रदान नहीं होता है।
 हम इस उदाहरण को देखेंगे।
 अब उसी मामले में, यदि हम अब इस लाल धराशायी लाइन के अनुसार एक सीमा पर विचार करते हैं, यह अनिवार्य रूप से सिस्टम से जुड़ी हवा है जो यहाँ प्लेट से चिपके हुए है।
 यदि हम इसे एक सीमा मानते हैं, तो इसके अंदर, यह एक ऐसे क्षेत्र पर प्रतिबंध लगा देता है, जिस मे द्रव्यमान आदान-प्रदान होता है।
 यह मूल रूप से एक नियंत्रण मात्रा (control volume) है।
 तो, नियंत्रित मात्रा, विस्तार (space) मे वो जगह है जहां द्रव्यमान आदान प्रदान हो सकता है, बेशक सीमा के पार ऊर्जा आदान प्रदान हो सकता है।
 अब, यदि हम कंट्रोल वॉल्यूम के इस प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करते हैं, तो हम देखेंगे कि हमारे पास विश्लेषण करने के लिए प्लेट के साथ-साथ नियंत्रित मात्रा भी आगे बड़ रही है।
 अब, इस समाकल विश्लेषण में, हम इस नियंत्रित मात्रा के विश्लेषण से निपटेंगे, न की सिस्टम से।
 हम उस नियंत्रित मात्रा से निपटेंगे जिसमें सीमा के आर-पार द्रव्यमान आदान प्रदान (mass exchange) होता है।
 इस अध्याय का उद्देश्य वास्तव में इस नियंत्रित मात्रा के लिए गवर्निंग समीकरण लिखना है ताकि हम एक नियंत्रण वॉल्यूम के रूप में सिस्टम के लिए ज्ञात समीकरण लिख सकें।
 यह मूल रूप से इस विशेष विश्लेषण का उद्देश्य है।
 उदाहरण के लिए, इस निकाय में शासकीय समीकरण (governing equation) जैसे द्रव्यमान संरक्षण (mass conservation), उस द्रव्यमान को बनाया या नष्ट किया जा सकता है, इसलिए यह समीकरण सर्वविदित है।
 इसलिए, उदाहरण के लिए, हम निकाय/सिस्टम के लिए लिख सकते हैं कि समय के साथ द्रव्यमान के परिवर्तन की दर () निकाय के लिए शून्य है।
 वास्तव में यह एक निकाय की परिभाषा है कि किसी निकाय की सीमाओं के आर-पार द्रव्यमान का आदान प्रदान नहीं होता है।
 जबकि यह एक नियंत्रित मात्रा के लिए सही नहीं है क्योंकि नियंत्रित मात्रा मे द्रव्यमान का आदान प्रदान होता है।
 हमें देखना है कि निकाय के लिए इस समीकरण को कैसे लिखना है, हम इसे एक नियंत्रित मात्रा के लिए कैसे लागू कर सकते हैं।
 एक और प्रसिद्ध समीकरण संवेग संरक्षण (momentum conservation) है।
 उदाहरण के लिए यदि हम इस प्लेट के त्वरण (acceleration) का पता लगाना चाहते हैं, हमें क्या करना है, हमें संवेग संरक्षण समीकरण को हल करना है।
 जो कहता है कि संवेग के परिवर्तन की दर, (वह m× है जो कि सिस्टम के लिए एक सदिश मात्रा है) सिस्टम पर काम करने वाले सभी बलों के योग के बराबर है।
 इसलिए, ऐसा करने से हम यह पता लगा सकते हैं कि प्लेट का त्वरण क्या है, बशर्ते हम प्लेट पर काम करने वाले सभी बलों को जानते हों।
 प्लेट पर कार्य करने वाली ताकतों को वास्तव में 2 प्रकार की शक्तियों में विभाजित किया जा सकता है, एक सतह बल (surface forces) है और अन्य शरीर बल (body forces) है।
 सतह बल मूल रूप से वह बल है जो सिस्टम की सतह पर कार्य करता है, जो सिस्टम की सीमाओं पर लगते है।
 उदाहरण के लिए, दबाव (pressure), दबाव केवल सतह पर कार्य कर सकता है और इस तरह यह प्लेट की सतह पर एक बल या एक सामान्य प्रतिक्रिया क्रिया पैदा करता है।
 FB शरीर का बल है जो न केवल सतह पर बल्कि सिस्टम के विस्तार (bulk) पर कार्य करता है।
 इसलिए, प्रत्येक द्रव क्षेत्र तत्व या विस्तार के भीतर प्रत्येक परमाणु इस बल का अनुभव करते है, उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण बल।
 आप व्यापक रूप से इन बलों को विभाजित कर सकते हैं, सतह के बल और शरीर बल का योग।
 अब फिर से सवाल है कि हम इस तरह के समीकरण को एक कंट्रोल वॉल्यूम के लिए कैसे लिख सकते हैं।
 तो, यह मूल रूप से इस विशेष अध्याय का अध्ययन करने की प्रेरणा है।
 यह वही है जो हमने पहले ही कहा था कि हम यह देखने की कोशिश करते हैं कि कंट्रोल वॉल्यूम के लिए संरक्षण समीकरण कैसे लिखें।
 हम इसे सिस्टम के लिए जानते हैं लेकिन हम यह देखना चाहते हैं कि हम इसे कंट्रोल वॉल्यूम के लिए संरक्षण समीकरण में कैसे बदल सकते हैं।
 दूसरे शब्दों में इसका मतलब है कि कंट्रोल वॉल्यूम के लिए नियंत्रण मात्रा का समय अवकल कैसे लिखना है।
 मुख्य रूप से आप यहाँ देखते हैं, समीकरण के बाएँ हाथ की ओर जो द्रव्यमान का एक समय अवकल (time derivative) है या सिस्टम के लिए गति का समय अवकल है।
 अगर हम इस समय अवकल को एक कंट्रोल वॉल्यूम के संदर्भ में सिस्टम के लिए लिख सकते हैं, तब हम एक कंट्रोल वॉल्यूम के लिए इस गवर्निंग समीकरण को फिर से लिख सकते हैं।
 इस विश्लेषण में हम जो देख रहे हैं वह अधिक सटीक है।
 अब, इससे पहले कि हम एक कंट्रोल वॉल्यूम के संदर्भ में एक प्रणाली का समय अवकल लिखने के तरीके को देखने से पहले एक और बात करें।
 आइए हम वेगवर्धक कंट्रोल वॉल्यूम (accelerating control volume) की अवधारणा के साथ अपना परिचय दें।
 उदाहरण के लिए इस विशेष स्थिति में जो यहाँ दिखाई गई है।
 प्लेट में तेजी आ रही है और कंट्रोल वॉल्यूम प्लेट से चिपकी हुई है ओर यह प्लेट के साथ-साथ आगे बड़ रही है।
 हम कंट्रोल वॉल्यूम पर बलों का पता लगाना चाहते हैं, तो यह स्तह के साथ-साथ रहते है।
 इस तरह के कंट्रोल वॉल्यूम के विश्लेषण के लिए हमें एक संदर्भ फ्रेम (reference frame) लेना होगा जो कि कंट्रोल वॉल्यूम पर है।
 हमें कंट्रोल वॉल्यूम पर बैठकर देखना होगा कि क्या हो रहा है, कौन सी ताकतें हैं।
 संदर्भ के ऐसे फ्रेम को एक गैर-जड़ता संदर्भ फ्रेम (non-inertial frame of reference) कहा जाता है।
 यह थोड़ा जटिल विषय है और हम यह समझने के बाद ही इस बारे में चर्चा कर सकते हैं कि कैसे एक निश्चित या एक स्थिर वेग नियंत्रित मात्रा (control volume) से निपटते है।
 और यदि हम एक निश्चित या स्थिर वेग नियंत्रित मात्रा पर संदर्भ फ्रेम (frame of reference) रखते हैं तो संदर्भ के उस फ्रेम को जड़ता संदर्भ फ्रेम (inertial frame of reference) कहा जाता है।
 इसलिए, हम एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के लिए समाकल विश्लेषण से शुरू करते हैं।
 तो, यह चित्र में दिखाया गया है कि हमने प्लेट को आगे बढ़ने से रोक दिया है और अब हमारे पास एक निश्चित नियंत्रित मात्रा है।
 हम इस विश्लेषण को उस स्थिति तक भी बढ़ा सकते हैं जिससे प्लेट स्थिर वेग से आगे बढ़ रही है, यह गतिमान (accelerating) नहीं है।
 अगर इसमें तेजी (accelerates) आती है, तो अतिरिक्त बल की शर्तें आएंगी और हमें अलग से निपटना होगा।
 लेकिन अगर यह वेगवर्धक (accelerating) नहीं है और स्थिर वेग से आगे बढ़ रहा है, फिर एक निश्चित नियंत्रित मात्रा के मामले में, छोटे परिवर्तन करके, हम समाकल विश्लेषण कर सकते हैं।
 हम अगली स्लाइड पर जाते हैं।
 आइए हम नियंत्रित मात्रा के संरक्षण समीकरणों को देखें।
 यह हमारी स्थिर प्लेट है और प्लेट के सामने यह एक नियंत्रित मात्रा है।
 यह समय t पर नियंत्रित मात्रा है, हम इसे एक निकाय (system) के रूप में भी परिभाषित कर सकते हैं।
 इसका मतलब है कि इस सीमा के आर-पार द्रव्यमान का कोई आदान प्रदान नहीं है।
 एक निश्चित समय पर हम इसे एक निकाय के रूप में परिभाषित कर सकते हैं।
 अब, 2 क्षेत्र जिसे काली धराशायी रेखा के साथ एक सीमित सतह द्वारा दिखाया गया है, यह t+δt पर निकाय है।
 t समय की एक छोटी अवधि है।
 इसलिए, यदि हम सिस्टम की सीमा को देखते हैं, तो प्रवाह के कारण क्या हुआ, जो आवरण यहां था, इस क्षेत्र में जो द्रव कण थे वे प्लेट के पास के क्षेत्र में चले गए हैं और कुछ द्रव कण इस क्षेत्र में नियंत्रित मात्रा से बाहर चले गए हैं।
 तो, मूल रूप से यह t+δt पर निकाय है।
 जैसा कि हम यहां देख सकते हैं, जिसका हमने पिछली स्लाइड में भी उल्लेख किया था हम उसे उपयोग कर सकते हैं, हम एक तरल पदार्थ के लिए भी एक निकाय को परिभाषित कर सकते हैं, न केवल एक ठोस के लिए।
 केवल उस क्षेत्र के भीतर द्रव्यमान को स्थिर रखना है और उसे हर समय एक ही द्रव्यमान से निपटना पड़ता है।
 हम इस तरह की स्थिति को परिभाषित करते हैं कि हमारे पास एक नियंत्रित मात्रा है, केवल नियंत्रित मात्रा नही यह एक निश्चित नियंत्रित मात्रा है, यह समय के साथ चलता है लेकिन सिस्टम, बस अपनी परिभाषा रखने के लिए कि सिस्टम के भीतर द्रव्यमान हर समय एक ही रहता है, इसे स्थानांतरित करना होगा।
 लेकिन नियंत्रित मात्रा, समय t+δt पर को फिर से इस लाल धराशायी लाइन द्वारा दिखाया गया है।
 हम इसे अधिक मात्रा में ले सकते हैं, इसे एक अधिक सामान्यीकृत नियंत्रित मात्रा में देखें।
 आइए हम इस पर विचार करें कि यह एक प्रवाह है, यह एक मनमाना प्रवाह है और हम इस प्रवाह के भीतर एक नियंत्रित मात्रा को परिभाषित करते हैं।
 यह एक अंडाकार आकार की नियंत्रित मात्रा के समान है, यह किसी भी आकार का हो सकता है।
 अब, यह समय t पर नियंत्रित मात्रा की सीमा है या यह फिर से समय t पर निकाय के रूप में परिभाषित किया गया है।
 अब समय के कुछ अंतराल बाद (δt), समय t+δt है, हम देखते हैं कि सिस्टम वास्तव में एक नई स्थिति में चला गया है क्योंकि इसे उन्ही द्रव कणों को रखना पड़ता है जैसा कि t समय पर थे।
 अब तक इस नई स्थिति में इसे उन्ही कणों के साथ चलना पड़ता है।
 कंट्रोल वॉल्यूम वास्तव में अपनी उसी स्थिति की तुलना में, निश्चित रूप से कंट्रोल वॉल्यूम के गुणों में परिवर्तन होता है।
 उदाहरण के लिए, कंट्रोल वॉल्यूम का द्रव्यमान बदल सकता है।
 अब हम देखते हैं कि यहाँ दिखाए गए इस कंट्रोल वॉल्यूम में मात्राओं का समय अवकल कैसे लिखा जाए।
 तो, यह एक व्यवस्थित t+δt है और t समय पर सिस्टम जो कंट्रोल वॉल्यूम सीमा के समान है।
 अब हम एक वेरीएबल B को भी परिभाषित करते हैं, इसलिए यह एक सामान्य वेरीएबल है ताकि हम इसे किसी भी मात्रा के समय अवकल के लिए लागू कर सकें।
 यह सामान्य चर/वेरीएबल द्रव्यमान गति, कोणीय गति, कुछ भी हो सकता है, लेकिन हम इसे एक सामान्य चर मानते हैं और पता करें कि इस मात्रा B का समय अवकल क्या है या नियंत्रण मात्रा मापदंडों के संदर्भ में एक सिस्टम के लिए B का समय अवकल क्या है।
 अब हम इस पैरामीटर बीटा को भी परिभाषित करते हैं जो B पर यूनिट मास है जिसका अर्थ है कि यह वेरीएबल प्रति इकाई द्रव्यमान है।
 उदाहरण के लिए यदि हम संवेग को परिभाषित करते हैं, तो यह बीटा वेग है।
 यह सवाल है कि एक नियंत्रित मात्रा के लिए सिस्टम के लिए कैसे लिखें।
 हम मूल गणना (basic calculus) से सिस्टम के लिए लिखते हैं, हम जानते हैं कि हम एक अवकल के रूप में लिख सकते हैं, जिसकी लिमिट डेल्टा T से 0 तक है।
 मूल रूप से यह वही है जिसे हम लिख सकते हैं, पहले सिद्धांतों से अवकल की अभिव्यक्ति।
 तो B सीमा के भीतर जो कुछ भी है जब समय t+δt है माइनस B जब समय t है, विभाजित δt जो समय अवकल है।
 अब समय t पर B सिस्टम क्या है यह उसी के समान है जो कंट्रोल वॉल्यूम में भी था जब समय t था।
 क्योंकि सिस्टम और कंट्रोल वॉल्यूम एक समय पर एक हैं।
 अब हम क्या करते हैं B सिस्टम को t+δt के लिए देखें हम इस पूरे क्षेत्र को 3 भाग में विभाजित करते हैं भाग 1,2 और 3, यानी t समय पर सिस्टम और t+δt समय पर सिस्टम और इन दोनों सिस्टम का प्रतिच्छेदन भाग मूल रूप से t समय पर कंट्रोल वॉल्यूम का सब सेट है पर यह t+δt सिस्टम का सब सेट नहीं है इसका मतलब यह सिर्फ वह क्षेत्र है जो कंट्रोल वॉल्यूम का लाल लाइन और काली लाइन द्वारा बनाया गया क्षेत्र है दूसरा भाग वह भाग है जो t+δt और t समय पर सिस्टम का समन्वय क्षेत्र है।
 तो, यह मूल रूप से एक ही सिस्टम के इन 2 पदों का प्रतिच्छेदन है।
 यह इस रेखा, इस काली धराशायी रेखा और नियंत्रण सतह से घिरा है।
 और क्षेत्र 3, t+δt पर सिस्टम का एक सबसेट है, लेकिन नियंत्रण मात्रा का नहीं है।
 यह इस काली धराशायी रेखा और लाल धराशायी रेखा से घिरा क्षेत्र है।
 दूसरे शब्दों में, यह क्षेत्र उस समय की तरह है जो δt के दौरान नियंत्रण मात्रा में आया है।
 यदि बी एक प्रॉपर्टि है, तो बी वह मात्रा है।
 यह एक ऐसा क्षेत्र है जो समय t में नियंत्रण मात्रा में चला गया है।
 और यह तीसरा क्षेत्र है जो अवधि δt के दौरान नियंत्रण मात्रा से बाहर चला गया है।
 क्षेत्र 1 वह है जो अवधि δt के दौरान नियंत्रण मात्रा के भीतर बना हुआ है।
 तो, एक पहला भाग है जो कहीं और से नियंत्रण मात्रा में दर्ज किया गया है और 3 वह क्षेत्र है जो समय t के दौरान नियंत्रण मात्रा से बाहर चला गया है और 2 एक ऐसा क्षेत्र है जो इस अवधि के दौरान नियंत्रण मात्रा के भीतर बना हुआ है।
 हमने इससे 3 भागों में विभाजित किया है, अब यह हमें समय t+δt के सिस्टम के लिए B के मान को परिभाषित करने में आसान बनाता है।
 इसे इस प्रकार दिया गया है, इसलिए t+δt पर सिस्टम के लिए वेरीएबल B का मान, इसलिए t+δt पर इस सिस्टम को वास्तव में इस काले धराशायी लाइन द्वारा दिखाया गया है।
 तो, B का मान, क्षेत्र 2 में B का मान जो कि नियंत्रण मात्रा के भीतर बना हुआ है जमा क्षेत्र 3 में B का मान जो नियंत्रण मात्रा से बाहर आ गया है।
 उस समय B का मान बनता है, सिस्टम के वेरीएबल B लिए t+δt समय पर मान, B2 + B3 है, बेशक B1 यहां नहीं आएगा क्योंकि B1 कुछ ऐसा है जिसने समय δt के दौरान नियंत्रण मात्रा में प्रवेश किया है।
 तो, यह सिस्टम का हिस्सा नहीं है, सिस्टम में केवल समय के सभी क्षण में समान द्रव कण हो सकते हैं यह हमें हमेशा ध्यान रखना है।
 यह समय के सभी क्षण में एक द्रव्यमान, समान द्रव कणों को रखना पड़ता है।
 तो, B1 इसका हिस्सा नहीं हो सकता।
 तो, यह B2+B3 है, आप B2 को, B नियंत्रण मात्रा के लिए t+δt समय पर माइनस B1 के रूप में लिख सकते हैं।
 तो, आप अप्रत्यक्ष रूप से इसे B1 के संदर्भ में लिख सकते हैं नियंत्रण मात्रा के भीतर B का कुल मान t+δt समय पर, जो समय t पर B के मान से अलग हो सकता है क्योंकि नियंत्रण मात्रा मे, इस चर B का मान द्रव्यमान गति (mass momentum), कोणीय गति (angular momentum), जैसे कुछ भी हो सकता है, इसलिए उस मात्रा का मान t+δt समय के साथ नियंत्रण मात्रा (control volume) के भीतर लगातार बदल जाएगा।
 तो B3 वह है जो कंट्रोल वॉल्यूम से बाहर हो गया है।
 अब इसे इस रूप में लिखकर, अगर हम इन 2 घटकों को पहली समीकरण मे प्लग-इन कर सकते हैं तो हमें क्या मिलेगा? तो, यह हमें कंट्रोल वॉल्यूम के संदर्भ में अभिव्यक्ति लिखने में मदद करता है, अगर हम इन 2 मापदंडों को BCV को समय t+δt और BCV को समय t पर इकठा करते हैं, फिर हम इस तरह से एक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं जो समय अवकल के समान है जैसा हमने यहां दिखाया है।
 तो, यह पहले सिद्धांतों से टाइम डेरीवेटिव है और यह बाकी अभिव्यक्ति है है।
 हम देखेंगे कि इस अभिव्यक्ति के इस 2 भाग से कैसे निपटा जाए लेकिन अभी हम इसे सीधे नियंत्रण मात्रा में B मात्रा का समय के संबंध में आंशिक अवकल (partial derivative) के रूप में लिख सकते हैं।
 B नियंत्रण मात्रा में समय और स्थान पर निर्भर हो सकता है, इसलिए हम इसे एक आंशिक अवकल के रूप में लिखते हैं।
 इस मात्रा के समय के साथ आंशिक अवकल (BCV) + दूसरी मात्रा है।
 आइए देखें कि इस समीकरण का दूसरा भाग अब कैसे लिखें।
 क्योंकि हमने आंशिक रूप से लिखा है, हम सिस्टम के लिए पैरामीटर B का समय अवकल को लिखना है एक नियंत्रण मात्रा के संदर्भ में।
 हम इसमें आंशिक रूप से लिख चुके हैं, आइए देखें कि इस अभिव्यक्ति के दूसरे भाग के साथ कैसे आगे बढ़ें।
 तो हम अगली स्लाइड पर आते हैं, फिर से हमने वही आंकड़ा रखा है जिससे अवकल लाने में मदद मिल सके।
 तो, यह सिस्टम के लिए है, हम पहले से ही इसे प्राप्त कर चुके हैं।
 यह पहले से ही है, लेकिन हम लिख सकते हैं कि BCV वास्तव में, आइये देखते हैं कि BCV का मान क्या है, हम इसे इस रूप में लिख सकते हैं : तो, यह v मूल रूप से वॉल्यूम है, अब अगर हम में देखते हैं तो मूल रूप से नियंत्रण मात्रा के भीतर मौलिक द्रव्यमान (elemental mass) है क्योंकि समाकल (integration) नियंत्रण मात्रा के भीतर किया जाता है और β, B प्रति यूनिट द्रव्यमान है।
 B प्रति यूनिट द्रव्यमान को तात्विक द्रव्यमान से गुणा किया जाता है, यदि यह नियंत्रण मात्रा पर समाकल है, तो यह नियंत्रण मात्रा में B की कुल मात्रा देगा।
 हम इसे कैसे प्राप्त करते हैं, हम इसे यहां प्लग-इन कर सकते हैं और फिर इसे नियंत्रण मात्रा मापदंडों के संदर्भ में अधिक वर्णनात्मक बना सकते हैं।
 अब, 2 पार्ट से कैसे निपटें? दूसरा भाग, दूसरे भाग में पहला शब्द B3 है, निश्चित रूप से δt हर में आता है, इसलिए B3 को इस तरह लिखा जा सकता है, यह एक सर्फ़ेस इंटीग्रल है।
 हमने सीधे इस अभिव्यक्ति को लिखा है, अब हम यह देखने की कोशिश करेंगे कि यह अभिव्यक्ति कैसे प्राप्त होती है।
 अगर हम इस अभिव्यक्ति को देखें, तो यह अभिव्यक्ति फिर से यहाँ के अभिव्यक्ति के समान है।
 तो, यह भी एक वॉल्यूम है।
 वॉल्यूम क्या है, यह वास्तव में क्षेत्र 3 में एक तत्व का वॉल्यूम है।
 हम B3 के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए यह क्षेत्र 3 से संबंधित है, इसलिए यह क्षेत्र 3 में एक तत्व की मात्रा है।
 हमें इसे ओर अधिक विवरण देखें।
 यह विचार करते हुए कि यह क्षेत्र 3 में तात्विक मात्रा (elemental volume) का प्रतिनिधित्व करता है, तो उस तात्विक मात्रा को घनत्व के साथ गुणा करने से आपको मौलिक द्रव्यमान मिलेगा जो कि बीटा (β) प्रति यूनिट द्रव्यमान से गुणा होकर B का मान देगा और यदि यह इस क्षेत्र (CS3) के भीतर हर जगह एकीकृत (integrated) है, तो आपको B3 का मान मिलता है।
 अब देखते हैं कि यह एक वॉल्यूम कैसे है।
 तो, हम इस तरह एक मौलिक मात्रा लेते हैं।
 अब, हम इस वॉल्यूम को निकालते हैं और विभिन्न वेग और क्षेत्रों को देखने के लिए यहां पुन: पेश करते हैं, जो अभिव्यक्ति में दिखाई दे रहे हैं।
 तो, अगर वेग इन स्ट्रीमलाइन का प्रतिनिधित्व करता है, तो इसका स्पर्शरेखा वेग होगा, इसलिए वेग वेक्टर इस तरह उन्मुख होगा और यह आवश्यक रूप से नियंत्रण सतह पर लंबवत उन्मुख नहीं है।
 लाल भाग मूल रूप से नियंत्रण सतह है जिसे यहाँ से बाहर ले जाया गया है और यह आवश्यक रूप से सतह के लिए सामान्य उन्मुख नहीं है।
 तो, सतह के लिए सामान्य उन्मुख क्या है, यह वेक्टर मूल रूप से क्षेत्र वेक्टर है।
 तो यह d है।
 तो, d हमेशा इस सम्मेलन में होता है और कई पुस्तकों में भी आप पाएंगे कि सामान्य सम्मेलन सकारात्मक क्षेत्र है जो बाहरी रूप से उन्मुख है।
 बेशक किसी भी सतह क्षेत्र के क्षेत्र की दिशा सामान्य से सतह की दिशा है और बाहर की ओर उन्मुख है।
 यहाँ बाहर का अर्थ क्या है? बाहर का मतलब है, यह एक नियंत्रण मात्रा से संबंधित है, इसलिए नियंत्रण मात्रा के अंदर का क्षेत्र है।
 क्षेत्र वेक्टर खुद को नियंत्रण मात्रा के अंदर की ओर उन्मुख नहीं करेगा, यह नियंत्रण मात्रा से बाहर की ओर खुद को उन्मुख करेगा।
 उदाहरण के लिए यदि आप साईड में जाते हैं, तो हम जल्द ही यह देखेंगे कि यह साईड, जो यहां दिखाया गया है, उसके विपरीत उन्मुख होगा, यह दूसरी दिशा में होगा, इस दिशा में सामान्य है।
 इसलिए यदि आप अब इस पर विचार करते हैं, तो सामान्य रूप में वेग, सामान्यीकृत रूप में सतह नियंत्रण सतह पर सामान्य के साथ उन्मुख नहीं होता है।
 आइए हम कहते हैं कि इन 2 वैक्टरों के बीच का कोण अल्फा (α) है।
 फिर इस सामान्य के साथ वेग का घटक है और यदि आप उसे समय अवधि δt के साथ गुणा करते हैं, तो आपको जो मिलता है वह त्य की गई दूरी है।
 यह मूल रूप से इस नियंत्रण मात्रा की लंबाई है।
 इसलिए, यदि आप अब इसे दूरी के रूप में देखते हैं और यदि हम वॉल्यूम को देखते हैं इसलिए छायांकित वॉल्यूम को के रूप में दिया जाएगा।
 यदि आप यहां क्षेत्र का मेग्नीट्यूड लेते हैं, तो आपको छायांकित मात्रा मिलती है।
 इस क्षेत्र में दिखाया गया वॉल्यूम इसलिए यह मूल रूप से के संदर्भ में है।
 आप इसे के रूप में लिख सकते हैं, आप इस अभिव्यक्ति को इस तरह प्राप्त करते है।
 और यदि आप इसे घनत्व के साथ गुणा करते हैं, तो आपको मौलिक द्रव्यमान मिलता है जो बीटा (β) के साथ गुणा होता है ओर पूरे क्षेत्र 3 में B का मान देता है।
 और इसे उस जगह पर करना होगा जहाँ इसे समाकल किया जाना है, इसे CS3 पर समाकल किया जाना है।
 CS3 क्या है? CS3 मूल रूप से कंट्रोल वॉल्यूम की नियंत्रण सतह है जिसे क्षेत्र 3 के साथ साझा किया जाता है।
 इस आंकड़े में यह क्षेत्र 3 के साथ साझा की गई नियंत्रण सतह की तरह है।
 हम इस सरल उदाहरण को लेते हैं, हम इन सभी वॉल्यूम को जोड़ते हैं, हमें इस पूरे क्षेत्र 3 का वॉल्यूम मिलेगा।
 हमें ध्यान में रखना है, हालांकि इस आंकड़े में थोड़ा बढ़ा कर दिखाया गया है लेकिन यह विस्थापन वास्तव में बहुत कम है क्योंकि हमने जो समय माना है वह बहुत कम समय δt है।
 यह मूल रूप से हमें दिखाता है कि हमें B3 कैसे मिलता है।
 B3 मूल रूप से तात्विक द्रव्यमान (elemental mass) में बीटा (β) का समाकल मान है, ρ×एलीमेंटल वॉल्यूम, इस क्षेत्र 3 में एलीमेंटल वॉल्यूम है।
 और CS3 मूल रूप से नियंत्रण सतह का हिस्सा है, नियंत्रण सतह का अर्थ है नियंत्रण रेखा CV की सतह का हिस्सा, इस सीधी रेखा द्वारा दिखाया गया है जिसे क्षेत्र 3 के साथ साझा किया गया है जो बाहर निकलने वाले हिस्से के साथ साझा किया गया है या आप कह सकते हैं कि यह मूल रूप से वह मार्ग है जिसके माध्यम से तरल पदार्थ नियंत्रण मात्रा से बाहर निकल रहा है।
 यह B3 है, अब इसी तरह से आप B1 का पता लगा सकते हैं क्योंकि यह एक सिस्टम के लिए के लिए पूर्ण अभिव्यक्ति पाने के लिए पाया जाने वाला अगला पैरामीटर है।
 B1 के लिए, इसलिए B3 और B1 के बीच क्या अंतर है, B3 मूल रूप से वह क्षेत्र है जो नियंत्रण मात्रा से निकल रहा है और B1 वह क्षेत्र है जो नियंत्रण मात्रा में प्रवेश कर रहा है, नियंत्रण मात्रा को लाल धराशायी रेखा के रूप में दिखाया जा रहा है।
 तो, B1 वह है जो नियंत्रण मात्रा में प्रवेश कर रहा है।
 इसलिए, अब B1 के लिए हम फिर से एक समान अभिव्यक्ति लिख सकते हैं जैसे कि बीटा के साथ तात्विक द्रव्यमान है, जिसे इस तरह की समान सादृश्य व्याख्या से प्राप्त किया जा सकता है और इसलिए यह यहां एक विशिष्ट तात्विक द्रव्यमान है, क्षमा करें तात्विक वॉल्यूम यहाँ यह तात्विक वॉल्यूम है।
 यहां एक अंतर है, देखें कि यदि आप पिछली अभिव्यक्ति की तुलना में ध्यान दें तो एक ऋणात्मक चिन्ह है।
 इस B3 का कोई ऋणात्मक चिन्ह नहीं है, लेकिन इसका एक ऋणात्मक चिन्ह है, ऐसा क्यों, कहां से यह ऋणात्मक चिन्ह आता है, यह इस तथ्य से आता है कि यदि आप अभी वेग सदिश को देखते हैं, तो वेग सदिश उन्मुख है क्योंकि यह एक इनलेट है, द्रव में आ रहा है, इसलिए यह एक इनलेट है, इसलिए द्रव इस सतह के माध्यम से नियंत्रण मात्रा में आ रहा है।
 ये सभी सतहें हैं जिनके माध्यम से द्रव नियंत्रण की मात्रा में आ रहा है।
 वेग सदिश इस तरह निर्देशित है लेकिन क्षेत्र सदिश दूसरी तरह से निर्देशित है।
 तो यह उन सभी सतहों के लिए सही है जो नियंत्रण सतह के सभी क्षेत्रों के माध्यम से होते हैं जिसके माध्यम से द्रव नियंत्रण मात्रा में आ रहा है।
 यदि आप इन 2 वैक्टरों के बीच करते हैं, तो यह ऋणात्मक होगा क्योंकि कोण 90 डिग्री से अधिक है, इसलिए यह ऋणात्मक होगा।
 उसके लिए क्षतिपूर्ति करने के लिए ऋणात्मक चिन्ह पेश किया जाता है।
 अब हम कर सकते हैं, यदि हम B1 के इस मान और B3 के इस मान को इस अभिव्यक्ति में शामिल करते हैं, तो हमें इस तरह की अभिव्यक्ति मिलती है।
 आप देख सकते हैं कि δt को अंश और हर से रद्द कर दिया जाएगा क्योंकि यह यहाँ दिखाई देता है।
 तो, आप इसे प्राप्त करते हैं और इस ऋणात्मक चिन्ह के कारण, अब इसे लिखा जा सकता है, पहला भाग BCV के मान को प्लग इन करके लिखा गया है, जिसका अर्थ है कि कंट्रोल वॉल्यूम के भीतर वेरिएबल B का मान, उस का एक आंशिक अवकल और दूसरे भाग में ये 2 पद हैं।
 पहला पद B के मान से संबंधित है, B के मान का योग जो बाहर निकलने वाली सतह के माध्यम से नियंत्रण की मात्रा से बाहर होता है, अर्थात CS3 नियंत्रण सतह और यह दूसरा पद वह है जो आने वाली सतह के माध्यम से नियंत्रण की मात्रा में आ रहा है।
 यह वास्तव में एक साथ लिखा जा सकता है क्योंकि CS1, जैसा कि हमने यहां लिखा है, यह इस सतह, जिसके माध्यम से तरल पदार्थ इस नियंत्रण मात्रा में आ रहा है।
 यदि आप देखें, तो यह भाग CS3 वह क्षेत्र है जिसके माध्यम से द्रव नियंत्रण मात्रा से बाहर जा रहा है।
 यह हिस्सा समान है, यह अभिव्यक्ति इन दोनों अभिन्नताओं में समान है, इसलिए आप इन्हें क्लब कर सकते हैं और आप इस नियंत्रण सतह पर एक चक्रीय समाकल कर सकते हैं।
 आप इसे इस के आंशिक अवकल के रूप में लिख सकते हैं और इस मात्रा की नियंत्रण सतह पर एक चक्रीय समाकल कर सकते हैं।
 इसका मतलब है कि आपके पास शुरू करने के लिए, आपके पास सिस्टम के लिए मात्रा B का समय अवकल था, जबकि आपने इसे नियंत्रण मात्रा में समान मात्रा के समय अवकल और नियंत्रण सतह पर समान मात्रा के समय अवकल के रूप में लिखा है, नियंत्रण सतह पर मात्राओं के समाकल के संदर्भ में।
 आइए हम इस अभिव्यक्ति के भौतिक अर्थ के बारे में विचार करें जो हमने प्राप्त किया है।
 पहला पद मूल रूप से नियंत्रण मात्रा में B के परिवर्तन की दर है।
 द्रव्यमान का एक उदाहरण लेते है, यह कल्पना करना आसान है।
 हम कहते हैं कि dm/dt एक सिस्टम के लिए शून्य है क्योंकि द्रव्यमान सिस्टम की सीमा को पार नहीं करता है।
 लेकिन यहां यदि आप इसे देखते हैं, तो उस स्थिति में यह कंट्रोल वॉल्यूम का द्रव्यमान बन जाएगा।
 यह जरूरी नहीं कि यह शून्य हो, भले ही यह हमेशा शून्य हो, अगर हम B को द्रव्यमान के रूप में लेते हैं लेकिन यह जरूरी नहीं कि शून्य हो।
 तो, इसका मतलब है कि नियंत्रण मात्रा में द्रव्यमान समय के साथ बदल रहा है और यह पैरामीटर क्या है? यह पैरामीटर मूल रूप से शुद्ध दर है जिस पर B नियंत्रण सतह के माध्यम से नियंत्रण की मात्रा को बाहर निकालता है।
 तो, द्रव्यमान के इस विशिष्ट उदाहरण के लिए, यह शुद्ध दर है जिस पर द्रव्यमान नियंत्रण सतह के माध्यम से नियंत्रण मात्रा से बाहर निकालता है।
 शब्द इनलेट को भी समायोजित करते है क्योंकि इनलेट का मतलब इस पैरामीटर का ऋणात्मक मान होगा।
 अब हमें देखते हैं, अगर यह ऋणात्मक नहीं है, अगर यह धनात्मक है, तो इसका क्या मतलब है कि द्रव्यमान नियंत्रण मात्रा से बाहर निकल रहा है।
 नियंत्रण की मात्रा वास्तव में इस लाल धराशायी लाइन द्वारा दिखाई जाती है और नियंत्रण मात्रा के द्रव्यमान के परिवर्तन की दर जिसे पहले भाग द्वारा दिखाया गया है और दूसरा भाग अनिवार्य रूप से शुद्ध दर है, जिस पर द्रव्यमान नियंत्रण सतह के माध्यम से नियंत्रण मात्रा से बाहर निकालता है।
 इसलिए, यदि यह धनात्मक है, तो इसका मतलब है कि द्रव्यमान के परिवर्तन की दर ऋणात्मक होनी चाहिए क्योंकि यदि यह मात्रा धनात्मक है, तो और इन 2 का योग शून्य है।
 द्रव्यमान के परिवर्तन की दर और शुद्ध दर जिस पर द्रव्यमान नियंत्रण मात्रा से बाहर निकलता है, का योग 0 के बराबर है।
 तो, द्रव्यमान के परिवर्तन की दर ऋणात्मक होगी, जो सच भी है यदि नियंत्रण की मात्रा से बाहर निकलने वाले द्रव्यमान की शुद्ध दर धनात्मक है, तो इसका मतलब है कि शुद्ध प्रवाह यदि आप विचार करते हैं, तो इसके परिणामस्वरूप नियंत्रण मात्रा से द्रव्यमान का नुकसान होता है और नियंत्रण मात्रा का द्रव्यमान समय के साथ घट जाएगा।
 इसी तरह यदि यह मात्रा ऋणात्मक है, तो इसका मतलब है कि नियंत्रण मात्रा का अनिवार्य रूप से dm/dt, यदि हम B को एक पैरामीटर के रूप में मानते हैं जेसे द्रव्यमान, तो नियंत्रण मात्रा के द्रव्यमान के परिवर्तन की दर धनात्मक होगी, क्योंकि यह (दूसरी) एक ऋणात्मक मात्रा है और यह शून्य हो जाएगा।
 तो, इसका मतलब है कि नियंत्रण मात्रा के भीतर द्रव्यमान का शुद्ध इनलेट है, नियंत्रण मात्रा का द्रव्यमान समय के साथ बढ़ जाएगा, तो इस अभिव्यक्ति का कथन बहुत सरल है।
 बेशक इस अभिव्यक्ति को प्राप्त करने के लिए एक गणितीय रूप से जटिल तरीका है इसे बहुत सामान्यीकृत स्थिति पर लागू करने के लिए।
 तो, मूल रूप से इस विशेष अभिव्यक्ति के बयान को वास्तव में रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय कहा जाता है और इस समीकरण को रेनॉल्ड ट्रांसपोर्ट समीकरण कहा जाता है।
 एक बार फिर से दोहराने के लिए, रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट समीकरण सिस्टम के लिए किसी भी मात्रा के समय अवकल को परिवर्तित करता है कंट्रोल वॉल्यूम के लिए समान अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए और किसी सिस्टम के लिए किसी भी मात्रा का समय अवकल।
 नियंत्रण की मात्रा के संदर्भ में 2 विशेष शब्दों के योग के रूप में लिखा जा सकता है।
 पहला नियंत्रण मात्रा में उस मात्रा के परिवर्तन की दर है और दूसरा शुद्ध दर है जिस पर वह मात्रा नियंत्रण मात्रा से बाहर निकल जाती है।
 तो, मूल रूप से वह रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय है।
 इस व्याख्यान में, समाकल विश्लेषण के लिए यह पहला व्याख्यान है, हमने क्या किया है, हमने सिस्टम और कंट्रोल वॉल्यूम की परिभाषा के साथ शुरू किया था और हम जानते हैं कि सिस्टम के लिए सभी गवर्निंग समीकरण अच्छी तरह से ज्ञात हैं, इस विश्लेषण के साथ शुरू करने का कार्य, समान समीकरण लिखना है या किसी सिस्टम के लिए समीकरणों का नियंत्रण वॉल्यूम के रूप में अनुवाद करना है।
 उसके लिए, एक नियंत्रण मात्रा के लिए सिस्टम के लिए किसी भी मात्रा के समय अवकल को लिखना आवश्यक था।
 इसलिए, हमने इसकी व्युत्पत्ति की और हम मूल रूप से अंत में आए, इस व्याख्यान के अंत में हम रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय की अभिव्यक्ति पर आए।
 अगले व्याख्यान में हम रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय को द्रव्यमान और गति के संरक्षण के लिए कुछ विशिष्ट मामलों में लागू करेंगे।
 धन्यवाद।