Tutorial-OtcUQHC0Sr0

सुप्रभात, 2 वें सप्ताह के ट्यूटोरियल सत्र में आपका स्वागत है।
 हम 2 सप्ताह में चर्चा किए गए विषयों को देखने के लिए कुछ समस्याओं को प्रदर्शित करेंगे, जो कि समाकल विश्लेषण पर है।
 तो, पहली समस्या सीमा परत में एक वेग प्रोफ़ाइल से संबंधित है।
 मूल रूप से हमने पहले हफ्ते में भी कुछ अवधारणाओं को प्रदर्शित करने के लिए इस समस्या का उपयोग किया था, जहां हमने यह दर्शाया था कि आप सीमा की स्थिति कैसे लागू कर सकते हैं।
 इस सप्ताह इस ट्यूटोरियल के लिए, हम जो करने की कोशिश करेंगे वह इस प्रकार है।
 हमने एक फ्लैट प्लेट ली है और एक प्रवाह, एक समान प्रवाह (uniform flow) है, इसलिए यह तीर एक वेग U को इंगित करता है और यह इस क्षेत्र का सामना कर रहा है।
 इसलिए यह इस प्लेट के शीर्ष पर घूम रहा है।
 जैसे हि यह प्लेट पास करता है, एक सीमा परत बनती है, जैसा कि हमने परिभाषित किया है कि सीमा परत एक क्षेत्र है जहां श्यानत बल (viscous forces) महत्वपूर्ण है।
 तो, सीमा परत में हमारे पास एक वेग प्रोफ़ाइल है, हमने एक द्विघात प्रोफ़ाइल मान लिया है, आप फिर से यहां देख सकते हैं जैसे कि पहले ट्यूटोरियल में प्रदर्शित समस्या थी यह भी सीमा की स्थिति वेसे ही दी गई है।
 जैसे ही Y, 0 के बराबर है, वेग शून्य है।
 Y, δ के बराबर है, मूल रूप से किसी विशेष बिंदु पर सीमा परत की मोटाई है।
 तो δ, X का एक फ़ंक्शन है, हमें यह नोट करना होगा।
 तो, X और Y निर्देशांक यहां दिखाए गए हैं, इसलिए जब Y, δ के बराबर है तो वेग U के बराबर है और यदि आप एक अवकल लेते हैं, तो आप पाएंगे कि भी शून्य हो जाएगा, Y δ के बराबर होने पर।
 बेशक यह सिर्फ हमारी जाँच के लिए है लेकिन यह वास्तविक समस्या नहीं है जिसे हम यहाँ करने की कोशिश कर रहे हैं।
 इस मामले में हम क्या करना चाहते हैं, हम इसे एक अंसपीड्य प्रवाह के रूप में ले रहे हैं जिसे हम इस नियंत्रण मात्रा पर द्रव्यमान संरक्षण लागू करना चाहते हैं, नियंत्रण मात्रा इस लाल धराशायी लाइन द्वारा चिह्नित आयत है।
 तो, आइए हम इस नियंत्रण मात्रा के लिए द्रव्यमान संरक्षण लागू करें।
 इसलिए हम इस नियंत्रण मात्रा को निकालते हैं और फ्लक्स को देखते हैं या संबंधित मात्राओं को देखते हैं, द्रव्यमान प्रवाह दर जो अंदर आने मे और बाहर जाने में।
 हम इन 4 नियंत्रण सतहों को 1, 2, 3, 4 से परिभाषित करते हैं।
 फिर जैसा कि आप इनलेट में वेग देख सकते हैं, इसका मतलब है कि बाएं नियंत्रण सतह पर वेग, समान वेग (uniform velocity) है।
 इसका मतलब है कि अगर हम सतह के साथ चलते हैं, तो वेग स्थिर है, यह U के समान है।
 दाईं ओर हमारे पास एक वेग है जो इस नियंत्रण सतह के साथ स्थिर नहीं है, जो बदल रहा है।
 इसलिए, हमें यहां समाकल रूप का उपयोग करना होगा।
 हम उस पर गौर करते हैं।
 लेकिन सिर्फ देखने के लिए, इनलेट के सभी वेग एक समान हैं, इस आउटलेट में यह इस समीकरण के अनुसार सीमा परत प्रोफ़ाइल है।
 अब हम द्रव्यमान संरक्षण समीकरण लागू करते हैं।
 इंटीग्रल रूप में द्रव्यमान संरक्षण समीकरण के लिए, यह इस तरह है कि के बराबर होना चाहिए, यह एक सिस्टम के लिए है और इस नियंत्रण मात्रा के लिए, निश्चित रूप से यह असंगत (अंसपीड्य) प्रवाह और स्थिर प्रवाह है।
 इस अंसपीड्य प्रवाह के लिए समय भिन्न (time variant) पद यहाँ दिखाई नहीं दे रहा है।
 यह एक स्थिर सीमा परत है, इसलिए समय भिन्न पद दिखाई नहीं दे रहा है।
 जो पद यहां दिखाई दे रहा है वह पूरे कंट्रोल वॉल्यूम पर है।
 नियंत्रण सतह अब 4 भागों में लिखा जा सकता है, पहला, दूसरा, तीसरा और चौथा नियंत्रण सतह।
 मूल रूप से यह रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय के द्रव्यमान संरक्षण के रूप में बयान है।
 तो, हम इस विशेष मामले के लिए इसे लागू करते हैं।
 यदि हम 4 को देखते हैं, तो देखें कि यह है, यह सतह पर वेग घटक को लंबवत मानता है, यदि आप 4वें सतह पर विचार करते हैं, तो इस सतह पर कोई लंबवत वेग नहीं है क्योंकि यह एक दीवार है।
 तो, दीवार के लिए लंबवत वेग शून्य है, यह घटक गायब हो जाता है, इसलिए हम इसे यहां दिखाए गए रूप में लिख सकते हैं।
 पहला पद लिखा गया है।
 तो यह माइनस कैसे हो जाता है, यह एक नकारात्मक संकेत के साथ आता है क्योंकि वेग की दिशा सकारात्मक है, वेग का परिमाण (magnitude) समान U है।
 वेग की दिशा सकारात्मक है, जिसका अर्थ है सकारात्मक X दिशा।
 लेकिन क्षेत्र वेक्टर की दिशा सतह 1 के लंबवत है।
 इसलिए, क्षेत्र वेक्टर, वेग वेक्टर के विपरीत निर्देशित है।
 बेशक जो हमेशा एक इनलेट के लिए सच होता है, जैसे हमने रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय के अनुप्रयोग में पहले भी दिखाया था।
 तो, U और क्षेत्र वेक्टर एक दूसरे के साथ 180 डिग्री बनाता है इसलिए यह नकारात्मक संकेत आएगा।
 सीधे इस समीकरण को लागू करने से।
 अब, दूसरे भाग के लिए, जिसका अर्थ है सतह 2, , यह सकारात्मक होगा क्योंकि वेग की दिशा, क्षेत्र वेक्टर की दिशा के समान है जो सतह के लंबवत है।
 तो, यह सकारात्मक बना हुआ है और हमने यहां u लिखा हैं जो यह दर्शाता है कि यह एक वेग प्रोफ़ाइल है, न कि एक स्थिर वेग, जबकि पहले मामले में यह U है जो एक स्थिर है।
 अब, यहाँ नोटिस करने के लिए महत्वपूर्ण हिस्सा सतह 3 है, दी गई जानकारी से हम सीधे यहाँ वेग के लिए एक अभिव्यक्ति नहीं लिख सकते हैं, हम यहाँ वेग को नहीं जानते हैं।
 इसलिए, हम द्रव्यमान संरक्षण को लागू करके यह पता लगा सकते हैं कि तीसरी सीमा में कोई वेग है या नहीं।
 वास्तव में वॉल्यूम प्रवाह दर है, इसलिए यह स्केलर रूप में है, यह क्षेत्र और वेग की गुणा में है।
 तो, यह मूल रूप से वॉल्यूम प्रवाह दर है।
 तो, हम इसे मात्रा प्रवाह दर के रूप में लिखते हैं।
 तो, यह हमारा समीकरण है, आइए देखें कि क्या कोई वॉल्यूम प्रवाह दर या वॉल्यूम द्रव इस तीसरी सीमा के माध्यम से इस नियंत्रण मात्रा में प्रवाह (अंदर या बाहर) कर रहा है।
 इसलिए, यदि आप इसे और सरल बनाते हैं, तो आपको मिलेगा कि यह काफी उपयोगी है क्योंकि यह एक सतह के माध्यम से वॉल्यूम प्रवाह दर का पता लगाने के लिए उपयोगी है, लेकिन वेग स्थिर नहीं है, यह सतह के साथ-साथ बदल रहा है।
 यदि ऐसा है, तो आप सीधे वेग के घटक में प्लग-इन कर सकते हैं और इंटेग्रटे कर सकते हैं।
 अब इंटेग्रटे y के संबंध में है, इसलिए y की लिमिट 0 से δL तक है।
 जिस तरह से कंट्रोल वॉल्यूम लिया गया है, उसमे δL देखें।
 δ वास्तव में किसी भी X पॉइंट पर सीमा परत की मोटाई है ओर δL प्लेट के अंत में सीमा परत की मोटाई है।
 हम इसे 0 से δL के बीच समाकल करते हैं।
 तो चलिए, हम इन 2 पदो को एकीकृत करते हैं और देखते हैं, तो यह यह मूल रूप से अंतिम अभिव्यक्ति है।
 तो, अंत में हम इसे के रूप में प्राप्त करते हैं।
 इसलिए, यह एक बहुत ही रोचक जानकारी है जो कहती है कि वास्तव में शून्य नहीं है।
 वास्तव में यह UδL का एक तीसरा भाग है, UδL वास्तव में इस कंट्रोल वॉल्यूम में आने वाली वॉल्यूम प्रवाह दर है।
 बेशक, यहां क्षेत्र के लिए अभिव्यक्ति लिखते समय, मैं एक बिंदु से चूक गया हूं, मैंने को dy के रूप में लिखा है।
 हम यहां मानते हैं यह एक दो-आयामी स्थिति है, इसलिए हम dy से 1 को गुणा करते हैं।
 स्लाइड के लिए लंबवत दिशा में लंबाई की इकाई 1 है।
 तो, स्लाइड के लिए लंबवत दिशा में, हम 1 इकाई की लंबाई लेते हैं।
 वास्तव में यदि आप इसे लिखना चाहते हैं, तो आप इसे Udy ×1 या कुछ स्थिर (constant) से गुणा कर सकते हैं।
 हमें चौड़ाई w कहना है, लेकिन यह होगा यह w समाकल से बाहर आ जाता है क्योंकि यह एक स्थिर है।
 तो, यदि आप इस अभिव्यक्ति पर विचार करते हैं जो हमने यहां प्राप्त की है, यह तब लागू होती है अगर आप नियंत्रण की मात्रा के लंबवत, लंबाई इकाई लेते हैं।
 यदि आप लंबाई पर विचार करते हैं, तो हम w को कंट्रोल वॉल्यूम के लंबवत कहते हैं, तो dy को w से गुणा किया जाएगा, यही एकमात्र अंतर है।
 अब, वापस आते हैं, हम देखते हैं कि वास्तव में वॉल्यूम (जो इस नियंत्रण मात्रा में आ रहा है) का 1/3 है ।
 तो, 2/3 प्लेट के दूसरे छोर के माध्यम से बाहर निकलता है, 1/3 वास्तव में प्लेट के इस हिस्से के माध्यम से बाहर निकलता है।
 यह बहुत दिलचस्प है।
 अब जब वेग नियंत्रण सतह 3 के माध्यम से बाहर निकल सकता हैं, तो इसका मतलब है कि सतह के लंबवत वेग घटक है।
 तो, जिसका अर्थ है कि यदि आप एक स्ट्रीमलाइन खींचते हैं, तो यह नीली मोटी रेखा है जो एक प्रतिनिधि स्ट्रीमलाइन है इसलिए, यदि आप इसके माध्यम से एक स्ट्रीमलाइन बनाते हैं, तो यह वास्तव में झुक जाएगा।
 इसे क्यों झुकना है, क्योंकि स्ट्रीमलाइन की परिभाषा से हम जानते हैं कि अगर हम इसे खींचते हैं, तो इसे वेग की दिशा दिखानी चाहिए।
 अब तथ्य यह है कि इस नियंत्रण सतह पर आपके पास वेग का एक V घटक है इसका मतलब है कि स्ट्रीमलाइन को झुकना चाहिए, यह प्लेट के समानांतर नहीं हो सकता है, इसे झुकना चाहिए।
 तो, फ़्री धारा में, यह द्रव्यमान संरक्षण के इस सरल अनुप्रयोग से है जिसे हम देख सकते हैं कि सीमा परत के बाहर फ़्री धारा में, स्ट्रीमलाइन थोड़ा झुकेंगे, नियंत्रण वेग से बाहर मौजूद छोटे वेग के लिए सीमा परत के बाहर थोड़ा सा हिस्सा।
 तो, इस समस्या के माध्यम से सुव्यवस्थित रूप से झुकने को अच्छी तरह से प्रदर्शित किया जाता है।
 लेकिन अगर आप ऊपर जाते हैं तो स्ट्रीमलाइन सीधी होगी क्योंकि वे फ्री स्ट्रीम में एकसमान प्रवाह का प्रतिनिधित्व करेंगे।
 बाउंड्री लेयर के बहुत करीब से सुव्यवस्थित रूप से झुकना होगा, हालांकि पूरा क्षेत्र मूल रूप से इन्विसिड़ (inviscid) है।
 तो, यह पहली समस्या है, यहाँ हम एक फ्लैट प्लेट पर इस प्रवाह के मामले को देखते हैं, द्रव्यमान संरक्षण के अनुप्रयोग।
 दूसरी समस्या पहली समस्या का विस्तार है, यह एक ही समस्या को गति संरक्षण के अनुप्रयोग से संबंधित है।
 हमने पिछली समस्या में द्रव्यमान संरक्षण के अनुप्रयोग को देखा, इस समस्या में हम संवेग संरक्षण के अनुप्रयोग को देखते हैं।
 वेग प्रोफ़ाइल वही है तो, हम क्या ढूंढना चाहते हैं? वह यह है कि प्लेट पर लगाने वाला बल क्या है।
 यह एक प्लेट है, हम यह पता लगाना चाहते हैं कि वह कौन सा बल है जो प्लेट पर कार्य कर रहा है।
 दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि इस प्लेट को स्थिर रखने के लिए आवश्यक बल क्या है।
 जैसे हमने संवेग संरक्षण के पिछले अनुप्रयोग में देखा, प्लेट स्थिर रखने के लिए कौन सा बल आवश्यक है जब प्लेट प्रवाह के लंबवत है, यहाँ हम देखते हैं कि प्लेट को प्रवाह की दिशा में संरेखित किया गया है, तो कितने बल की आवश्यकता है उस प्लेट को स्थिर रखने के लिए।
 इसलिए, हम फिर से पिछली समस्या की तरह ही नियंत्रण वॉल्यूम लेते हैं, फिर इस नियंत्रण मात्रा को लेते हैं और फिर संवेग संरक्षण समीकरण को लागू करते हैं।
 गति संरक्षण समीकरण का सामान्य रूप यह एक स्थिर प्रवाह के लिए है।
 अस्थिर प्रवाह पहले से ही पतित है क्योंकि यह सीमा परत जिसके बारे में हम बात कर रहे हैं वह स्थिर सीमा परत है।
 यह एक स्थिर प्रवाह है, यह समय के साथ अपरिवर्तनीय है।
 आइए हम X दिशा में संवेग संरक्षण लागू करते हैं क्योंकि X दिशा में प्लेट पर कार्य करने वाले बल का पता लगाना चाहते हैं।
 हम इन 2 नियंत्रण सतहों को 1 और 2 नाम देते हैं और फिर इस समीकरण को लागू करने का प्रयास करते हैं, इसलिए यदि आप इस समीकरण को लागू करते हैं, तो आपको जो मिलता है वह मूल रूप से बाहर निकलने वाली सतह के लिए है, इसलिए सतह 2 मूल रूप से बाहर निकलने वाली सतह है।
 इसलिए मूल रूप से यह u हो जाता है क्योंकि हम X दिशा में संवेग संरक्षण के बारे में बात कर रहे हैं और फिर से एक स्केलर मात्रा है और यह है।
 बेशक, इस मामले में भी, हमने नियंत्रण की मात्रा के लंबवत, लंबाई एक इकाई मान ली है।
 हम इसे कुछ अन्य स्थिर मात्रा के रूप में भी ले सकते हैं और इस अभिव्यक्ति को उस मात्रा से गुणा कर सकते हैं।
 यह बाहर निकलने की सतह 2 के लिए है, अंदर आने वाली सतह 1 के लिए भी आप इसके समान अभिव्यक्ति लिख सकते हैं और यह मूल रूप से X दिशा में काम करने वाले सभी बलों का योग है, X दिशा में काम करने वाले सभी सतह बल का योग हैं क्योंकि शरीर बलों को यहां उपेक्षित (neglected) किया जाता है और वे इस मामले में महत्वहीन हैं।
 तो, पहले बाएं हाथ की ओर देखते हैं।
 बाएं हाथ की तरफ पिछले मामले की तरह आपके पास इनलेट में एक समरूप प्रवाह है और बाहर निकलने पर आपके पास इस तरह एक वेग प्रोफ़ाइल है।
 तरल पदार्थ के संवेग जो अंदर आ रहा है या बाहर जा रहा है का पता कैसे लगाया जा सकता है? फिर से हम नियंत्रण सतह को 0 से δL तक एकीकृत करते हैं, δL मूल रूप से प्लेट के बाह्य सीमा परत की मोटाई है, यही वह मात्रा है जिसे आपको इस समस्या को हल करने के लिए जानने की आवश्यकता है, जैसे कि हमने इसका उपयोग पिछली समस्या, द्रव्यमान संरक्षण के मामले में भी किया था।
 वेग प्रोफ़ाइल के मान को पद 1 में प्लग-इन करते है, आप देख सकते हैं कि इस वेग प्रोफ़ाइल का वर्ग, इस वेग प्रोफ़ाइल मे इस मात्रा में आता है।
 यहाँ दूसरा पद स्थिर है क्योंकि यह एक समरूप प्रवाह है।
 अब हम दाईं ओर की बात करते हैं।
 दाहिना-हाथ की तरफ क्या है? तो, हम इसे एक अलग कंट्रोल वॉल्यूम में लेते हैं।
 दाईं ओर के लिए, बाईं सतह पर क्या मात्राएं हैं, आपके पास वायुमंडलीय दबाव काम कर रहा है, इसलिए मूल रूप से यह सभी सतह बल हैं, अनिवार्य रूप से सतह बल दबाव बल और घर्षण बल का गठन करते हैं।
 यह वायुमंडल के लिए खुला है, इसलिए आपके पास वायुमंडलीय दबाव है, बाहर निकलने पर भी समान वायुमंडलीय दबाव है।
 वास्तव में आप क्या कर सकते हैं सतह बलों पर विचार करने के लिए, आप हमेशा गेज दबाव के बारे में बात कर सकते हैं, इसका मतलब है कि स्थिर दबाव और वायुमंडलीय दबाव के बीच दबाव अंतर।
 और अगर गेज दबाव की बात करें तो ये दोनों दबाव शून्य होंगे।
 लेकिन इस विशेष समस्या में हमने वायुमंडलीय दबाव को लिया है, इसलिए हमें उसी तरह आगे बढ़ना चाहिए, लेकिन परिणाम समान होंगे।
 इसलिए, हम यहां जो देख रहे हैं, क्षेत्र समान है, दबाव भी समान है, दिशा हमेशा लंबवत होती है और दबाव बल के लिए यह नियंत्रण मात्रा में जा रही है, यही स्थिति हमेशा होती है।
 इन 2 नियंत्रण सतहों के लिए, दबाव बल एक-दूसरे का विरोध करेंगे या एक-दूसरे के साथ 0 हो जाएंगे, इसलिए हमारे पास जो कुछ बचा है वह प्लेट पक्ष से नियंत्रण मात्रा पर काम करने वाला एक बल है, ऊपर की तरफ से X दिशा में कोई बल नहीं है, इसलिए FCV नियंत्रण मात्रा पर प्लेट की तरफ से कार्य करने वाला बल हैं।
 इसलिए, हम इसे FCV से बदल देते हैं क्योंकि दबाव बल एक दूसरे को रद्द कर देता है।
 अब, यदि आप इस पथ को समाकल करते हैं, हालांकि इसे समाकल करना बहुत सरल है।
 आपको मिलेगा यदि आप इसे और सरल करें, आपको क्या मिलता है, आपको , मूल रूप से यह नियंत्रण मात्रा पर कार्य करने वाला बल है।
 तो प्लेट पर कार्य करने वाला बल क्या है ? हम जिस चीज में रुचि रखते हैं वह प्लेट पर कार्य करने वाले बल को ढूंढना है।
 इसलिए, यदि आप इसे ढूंढना चाहते हैं, तो यह कंट्रोल वॉल्यूम पर कार्य करने वाले बल का माइनस होगा FP=-FCV।
 व्यवस्थित रूप से हमने अपप्रपण (shear) के कारण कार्य करने वाले बल का पता लगाया हैं।
 यह बल मूल रूप से सतह पर अपप्रपण के कारण होता है।
 प्लेट इस दिशा में प्रयासों का अनुभव करती है।
 वास्तव में आप इसके बारे में सोच सकते हैं, यह बल के लिए एक मात्रात्मक मूल्य प्राप्त करने के बारे में है लेकिन भोतिक रूप से यदि आप इसे देखते हैं, तो यहां क्या होता है, आइए हम स्थिति को समझते हैं।
 हम देखते हैं कि यह नियंत्रण मात्रा है, इस नियंत्रण मात्रा में द्रव का संवेग है या तरल पदार्थ का संवेग है जो नियंत्रण मात्रा में आ रहा है।
 तो यह इस दिशा में एक बल प्रवाहित करता है और द्रव की गति जो नियंत्रण मात्रा से बाहर निकल रही है, इस विशेष स्थिति में, X दिशा में नियंत्रण मात्रा से बाहर निकलने वाले तरल पदार्थ का संवेग वास्तव में नियंत्रण मात्रा आने वाले तरल पदार्थ के संवेग से कम है।
 नियंत्रण मात्रा मे द्रव का संवेग वास्तव में चिपचिपाहट बलों के कारण कम हो जाता है।
 जेसे हि यह प्लेट के शीर्ष क्षेत्र पर आता है।
 तो जैसा कि द्रव में गिरावट आती है, यह प्लेट से कम संवेग से बाहर निकालता है।
 इसका अर्थ है कि आने वाले द्रव का संवेग गति और बाहर जाने वाले द्रव का संवेग, इसके बीच का अंतर प्लेट में एक बल के रूप में फैलता है।
 इसका मतलब यह भी है कि नियंत्रण मात्रा को पार करते हुए द्रव एक संवेग प्राप्त कर सकता है, तो आप एक प्रेरक बल (propulsive force) प्राप्त कर सकते हैं, एक प्रेरक बल का मतलब है कि वह बल जो प्लेट को स्थानांतरित कर सकता है या शरीर को स्थानांतरित कर सकता है, प्रवाह की दिशा के विपरीत दिशा मे।
 मछली के आगे चलाने के मामले में एक महत्वपूर्ण पहलू है, जहां वास्तव में बाहर निकलने वाली सतह पर संवेग विकसित होती है, जो आने वाले संवेग से अधिक होती है, मछली यह अपने पंखों को एक उपयुक्त तरीके से स्थानांतरित करके करती है।
 अगली समस्या में, यह उस समस्या का विस्तार है जिसे हमने पहले प्रदर्शित किया है।
 जो समस्या हमने पहले उठाई थी वह एक प्लेट पर बल का पता लगाना है।
 तो, यह मूल रूप से ऐसा ही कुछ है, लेकिन हमने तल पर रोलर्स जोड़े हैं ताकि यह प्लेट X दिशा में आगे बढ़ सके, यह X दिशा में स्थानांतरित करने के लिए स्वतंत्र है।
 और ये रोलर्स घर्षण रहित हैं, इसलिए यह किसी विशेष वस्तु की गति के लिए किसी भी प्रतिरोध को नहीं बढ़ाता है।
 हम जानते हैं कि जब हम इस वस्तु को स्थिर रखते हैं तो क्या होता है, यह प्लेट पर जोर डालता है।
 अब, हम इस समस्या में देखना चाहते हैं कि क्या होता है प्लेट इस तरह से स्थानांतरित करने के लिए स्वतंत्र है।
 इसलिए, जैसा कि हम कल्पना कर सकते हैं कि बल प्रवाह की दिशा में वस्तु को ले जाएगा और अंत में यह प्रवाह वेग पर आ जाएगा।
 आइए देखें कि क्या हम गणितीय रूप से इस स्थिति का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।
 चूंकि यह ऑब्जेक्ट स्थानांतरित होने के लिए स्वतंत्र है, इसलिए इस दिशा में एक वेग वेक्टर है, आइए हम ऑब्जेक्ट के चारों ओर एक कंट्रोल वॉल्यूम लेते हैं।
 इसलिए इस नियंत्रण की मात्रा को इस तरह से लिया जाता है कि दोनों पक्षों पर हमारा वातावरण हो।
 हमने प्लेट की सतह पर नियंत्रण की मात्रा लेने से परहेज किया क्योंकि वहाँ हमें प्लेट पर विचार करना होगा और फिर से ऑब्जेक्ट का एक फ्री बॉडी आरेख तैयार करना होगा।
 ऐसा करने के बजाय, हमने एक ऐसी वस्तु ली है जिसका वास्तव में दोनों सिरों पर वातावरण है।
 तो, इस मामले और दूसरे मामले के बीच अंतर यह है कि यहां नियंत्रण की मात्रा बढ़ रही है और यह निरंतर वेग से नहीं चल रहा है।
 लिहाजा, इसमें तेजी आ रही है।
 इसलिए, हम अंसपीड्य प्रवाह लेते हैं और हम देखते हैं कि हम एक त्वरित नियंत्रण मात्रा के लिए रैखिक संवेग संरक्षण समीकरण कैसे लागू कर सकते हैं।
 संदर्भ फ्रेम जैसा कि हम बार-बार कह रहे हैं, हमेशा नियंत्रण मात्रा के लिए तय किया जाता है।
 तो, यह एक गैर-जड़ता संदर्भ की समस्या है।
 इसलिए संवेग संरक्षण को इस रूप में लिखा जा सकता है, यह वही है जो हमने व्युत्पन्न किया था जबकि हमने एक गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के मामले में बल के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त की थी, सामान्य रूप में नहीं, बल्कि रैखिक त्वरण के साथ चलते हुए एक नियंत्रण मात्रा के लिए।
 यह अतिरिक्त पद है जो मूल रूप से नियंत्रण मात्रा पर कार्य करने वाली जड़ता बल है जिसे छोड़ा जा सकता है।
 यह v, निश्चित रूप से एक वॉल्यूम का प्रतिनिधि है, वेग का नहीं, हमें इसे ध्यान में रखना होगा।
 अब, हम इस स्थिति को सरल बनाने के लिए क्या करते हैं, हम इस भाग को शून्य के रूप में लेते हैं।
 लेकिन वास्तव में, यह सच नहीं है।
 पिछले मामलों के लिए यह शून्य था क्योंकि वो स्थिर समस्या थी, लेकिन इस मामले में यह वास्तव में शून्य नहीं है लेकिन हम क्या करते हैं, हम CV में तरल के संवेग के परिवर्तन की दर की उपेक्षा करते हैं।
 वास्तव में यह सब तरल वेग या द्रव का वेग अधिक होता है और हम CV में द्रव के संवेग परिवर्तन की उपेक्षा करते हैं।
 इसलिए, यह उपेक्षा करके कि हम इस शब्द को हटा सकते हैं, ताकि हम अधिक सरल स्थिति से निपट सकें।
 और यह नियंत्रण सतह से बाहर निकलने वाले संवेग की शुद्ध दर है।
 तो, अब हम एक्स दिशा में संवेग संरक्षण लिखते हैं।
 अधिक सरल तरीके से, इस रूप में लिखा जा सकता है यह मूल रूप से इस वस्तु का द्रव्यमान है जो इसके त्वरण से गुणा होता है।
 तो, मूल रूप से उस ऑब्जेक्ट का त्वरण है जो द्वारा दिया गया है या आप को प्लेट का वेग कह सकते हैं, तो, यह , संवेग के परिवर्तन की दर होता है।
 M समय के साथ नहीं बदल रहा है।
 रॉकेट समस्या में, यह थोड़ा अधिक जटिल है क्योंकि M भी समय के साथ बदलता था।
 इस समस्या के लिए, एम समय के साथ अपरिवर्तनीय है।
 इस प्लेट का द्रव्यमान समय के साथ नहीं बदल रहा है।
 इसलिए, हमें यह पद मिलता है और फिर दायीं ओर स्थित यह वास्तव में द्रव का संवेग होता है जो कि द्रव के संवेग जो बाहर निकलता है मे से द्रव का संवेग जो अंदर आता है के घटाए जाने पर मिलता है।
 वेग को हमेशा नियंत्रण की मात्रा के संबंध में होना चाहिए और नियंत्रण की मात्रा एक वेग के साथ बढ़ रही है।
 इसलिए, यदि हमें वेग लिखना है, तो इसका मतलब है कि इनलेट वेग X दिशा है, हमें इसे नियंत्रण मात्रा, फ़िक्स्ड कोऑर्डिनेट के संदर्भ में लिखना होगा।
 U1 मूल रूप से ग्राउंड फिक्स्ड कोऑर्डिनेट सिस्टम के संबंध में है, इसलिए =U1-UP होगा, यह एक गैर-त्वरित लेकिन मूविंग कंट्रोल वॉल्यूम के लिए भी सही था।
 शून्य है क्योंकि कंट्रोल वॉल्यूम बढ़ने पर भी, कंट्रोल वॉल्यूम के संबंध में कोई तरल पदार्थ कंट्रोल वॉल्यूम से बाहर नहीं निकल रहा है, X दिशा में कंट्रोल वॉल्यूम से बाहर निकलने वाला कोई तरल पदार्थ नहीं है निश्चित रूप से Y दिशा में यह बाहर निकल रहा है लेकिन यह महत्वपूर्ण नहीं है कि जब हम X दिशा में संवेग संरक्षण देख रहे हैं।
 तो, वी 0 है।
 हम को ρ के रूप में लिख सकते हैं, जो मूल रूप से यहां V.dS है।
 तो, =U1-UP है और हम आगे बढ़ सकते हैं, फिर इन 3 अभिव्यक्तियों को इस समीकरण में प्लग करके हम लिख सकते हैं कि इसलिए, यदि आप यहां देखते हैं, तो बाहर जाने वाला हिस्सा कैंसिल होता है, शून्य है और आने वाले तरल पदार्थ का संवेग से आता है।
 जेट का क्षेत्र है।
 अब आगे जाने के लिए, हिस्सा शून्य है क्योंकि यह तब मौजूद था जब हमें प्लेट पर प्रतिक्रिया का पता चला।
 लेकिन अब प्लेट आगे बढ़ रही है और हमने इसे कंट्रोल वॉल्यूम के रूप में लिया है, प्लेट की जड़ता (inertia) के अलावा कोई बल नहीं है जो प्लेट पर काम कर रहा है।
 तो यह भाग शून्य है, यदि आप इस नियंत्रण की मात्रा को देखते हैं, तो कोई भी बल काम नहीं कर रहा है, निश्चित रूप से हम इस क्षेत्र को कई गुना बढ़ा सकते हैं, वे पिछली समस्या की तरह एक दूसरे को रद्द कर देंगे, इसलिए हमने ऐसा नहीं किया है ।
 इसके अलावा इस नियंत्रण मात्रा के लिए कोई सतह बल मौजूद नहीं है।
 इसलिए, हमारे यहां एक अवकल समीकरण है।
 पिछली समस्या में जब प्लेट निरंतर गति से आगे बढ़ रही थी, UP समय का कृत्य नहीं था, अब यह समय का कृत्य है, इसलिए हमें यह अवकल समीकरण मिलता है, U1 स्थिर है लेकिन UP समय के अनुरूप है।
 ओर दूसरी तरफ ऑब्जेक्ट का द्रव्यमान, तरल का घनत्व, जेट की त्रिज्या जैसे सभी निरंतर गुण हैं, ये सभी स्थिर हैं, इसलिए हम इसे 1/L से बदल सकते हैं, हम इस विशेष रूप को लिख सकते हैं क्योंकि यदि आप इस मात्रा के लिए आयाम (dimensions) पाते हैं, यह लंबाई के पारस्परिक रूप से एक होता है, इसीलिए हम इसे 1/L के रूप में लिखते हैं।
 अब, यह हमारा समीकरण है, यह हमारा अवकल समीकरण है, हम इस समीकरण को इस प्रारंभिक स्थिति के साथ समाकल करते हैं।
 इसका मतलब है कि जब t 0 के बराबर है तो UP 0 के बराबर है, प्लेट आराम में है।
 इसका समाधान जो हमें समाकल करके मिलता है, वह U1 स्थिर है, UP समय के साथ बदलता है, हम इस को t के संबंध में प्लॉट कर सकते हैं, हम देखेंगे कि समय बढ़ने के साथ यहां क्या होता है।
 1 के करीब आता है, इसका मतलब है कि प्लेट में तेजी आती है और यह जेट वेग के करीब आता है।
 तो प्लेट पर कार्य करने वाला बल धीरे-धीरे कम हो जाता है क्योंकि बल के लिए जो महत्वपूर्ण है वह है (U1-UP ) और वह मान घट जाएगा क्योंकि जब UP, U1 के बराबर आता है।
 तो प्लेट आराम से शुरू होती है, इसमें तेजी आती है, जैसे-जैसे यह तेज होता है, इस पर काम करने वाला बल लगातार कम होता जाता है।
 इसलिए जब इस पर कार्य करने वाला बल लगातार कम होता जाता है, तो उसके वेग के परिवर्तन की दर भी कम हो जाती है और अंत में यह स्पर्शोन्मुख (asymptotic) हो जाता है, क्योंकि जैसे-जैसे UP, जेट वेग के करीब आता जाता है, बल बहुत छोटा हो जाता है, इसलिए प्लेट बहुत जल्दी जेट के वेग के समान हो जाती है।
 लेकिन वास्तव में, गणितीय रूप से बात करने के लिए, जेट वेग के बिल्कुल बराबर आने में अनंत समय लगता है।
 तो, यह मूल रूप से एक गैर-जड़ता के संदर्भ के लिए लागू संवेग संरक्षण के विश्लेषण का परिणाम है।
 हम आशा करते हैं कि इन 3 समस्याओं ने इस अध्याय में प्रस्तुत अवधारणाओं का प्रदर्शन किया है।
 इस अध्याय में पेश किए गए समाकल विश्लेषण की अवधारणा के 2 पहलू हैं।
 पहला पहलू रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय को एक समीकरण के रूप में देखना है और फिर इस समीकरण को गणितीय रूप से एक विशेष स्थिति में लागू करना है जो बहुत महत्वपूर्ण है।
 और दूसरा पहलू जो समस्या समाधान के लिए संभवतः अधिक महत्वपूर्ण है।
 इस समीकरण में क्या हो रहा है, इसे भौतिक रूप से समझना है।
 यह संभवतः सातत्य द्रव गतिकी में सबसे महत्वपूर्ण समीकरणों में से एक है।
 यह हमें बताता है कि जब हम किसी भी मात्रा जैसे संवेग या नियमित संवेग या द्रव्यमान को एक नियंत्रण मात्रा में मानते हैं, तो एक परिवर्तन दर पद होता है और एक सतह पद होता है।
 ।
 तो इन 2 का योग बड़े पैमाने पर संरक्षण के लिए 0 के बराबर है या कंट्रोल वॉल्यूम में ट्रांसफर किए गए नेट मोमेंट के बराबर है या संवेग संरक्षण के मामले में नियंत्रण मात्रा पर कार्य करने वाला बल है या कोणीय संवेग संरक्षण के मामले में टॉर्क है।
 तो, यह वही है जो हमें इस विशेष अध्याय से संबंधित समस्याओं को हल करते समय ध्यान में रखना है।
 हम देखेंगे कि यहां प्रस्तुत अवधारणाएं अगले अध्याय में द्रव प्रवाह के अवकल विश्लेषण के लिए वास्तव में व्युत्पन्न समीकरण के लिए उपयोगी होंगी।
 धन्यवाद।