13. FluidDynamicsandTurbomachines_Navier-Stokes equation for 2D incompressible flow-w-V1VPtlCJE.txt

    1. శుభోదయం మరియు ద్రవ డైనమిక్స్ మరియు టర్బో మెషీన్లలో ఈ కోర్సు యొక్క 3 వ వారం యొక్క 2 వ ఉపన్యాసంకు స్వాగతం.
    2. మూడవ వారానికి మొదటి ఉపన్యాసంలో మేము అవకలన విశ్లేషణ(differential analysis)తో వ్యవహరిస్తున్నప్పుడు మేము సామూహిక పరిరక్షణ మరియు మొమెంటం పరిరక్షణ సమీకరణాల వ్యుత్పన్నం పరిష్కారంచే సంస్కరణ ద్వారా ఉత్పాదక క్షేత్రాన్ని పొందగల శక్తి మరియు మీరు ఒక సమగ్ర విశ్లేషణ విషయంలో పొందండి ఇది థ్రస్ట్ లేదా టార్క్(Thrust or Torque).
    3. కాబట్టి చివరి ఉపన్యాసం యొక్క చివరికి మేము ఏమి పొందాము అనేది మొమెంటం సమీకరణాల యొక్క ఒక ప్రత్యేక రూపం.
    4. మేము పరిశీలించి త్వరిత వీక్షణను చూస్తాము.
    5. కాబట్టి C మరియు X వేగం కోసం ఇమ్మేంట్ సమీకరణాలు, X మొమెంటం సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తాయి. 
    6. కాబట్టి ఇది ఎడమ చేతివైపు ద్రవం త్వరణం సాంద్రత మరియు కుడి చేతి వైపు మేము ఒత్తిడి ప్రవణత  కలిగి ఉంటాము.
    7. కాబట్టి, 2 రకాల ఒత్తిళ్లు ఇక్కడ కనిపిస్తాయి, కోత ఒత్తిడి మరియు సాధారణ ఒత్తిడిలో.  
    8. కాబట్టి ఇది స్థానిక త్వరణం మరియు సంక్లిష్ట త్వరణం వంటి త్వరణం యొక్క 2 వ భాగం వంటి మొదటి భాగం వలె వ్రాయబడుతుంది.
    9. కాబట్టి మొత్తం త్వరణం 2 భాగాలు కలిగి ఉంది, ఒకటి, ఒక సమయం ఆధారిత వేగం పరిగణలోకి, మరొకటి వేగం యొక్క సంక్లిష్ట భాగం పరిగణలోకి.
    10. కాబట్టి ఒకటి, ఈ కోసం వ్యక్తీకరణ మరియు Y కోసం వేగాన్ని సమీకరణం అదేవిధంగా మేము ఈ వ్యక్తీకరణ వచ్చింది.
    11. ఇక్కడ మళ్ళీ P కి ప్రవణత Y కు సంబంధించి ఉంటుంది, ఎందుకంటే Y లో దిశలో శక్తి సంతులనం లేదా ఊపందుకుంటున్న సమతుల్యతను పరిశీలిస్తున్నాము. 
    12. వై దిశలో మొమెంటం పరిరక్షణ మరియు మేము Y దిశలో ఈ త్వరణాన్ని కలిగి ఉన్నాము.
    13. అదనంగా నియంత్రణ పరిమాణంలో ద్రవం బరువు ఉంటుంది.
    14. కాబట్టి ఇది మొత్తం వ్యక్తీకరణకు పూర్తి ఎక్స్ప్రెషన్ రాయడం ద్వారా వ్యక్తీకరణ.
    15. కాబట్టి మనము నేడు ఏమి చేయబోతున్నామో ఈ సమీకరణాలలోని ప్రత్యేక పద్దతులను చూద్దాం, అది కోత ఒత్తిడి(shear stress) యొక్క ప్రవాహం మరియు సాధారణ ఒత్తిడి యొక్క ప్రవణత.
    16. వేగాన్ని బట్టి ఈ ఒత్తిడిని ఎలా వ్రాయగలం? మొట్టమొదటి ఉపన్యాసంలో, సరళీకృత కేసులో, న్యూటన్ యొక్క ద్రవ పదార్ధాల కోసం న్యూటన్ యొక్క స్నిగ్ధత నియమాన్ని(Newtons law of viscosity) వాడతాము మరియు వైకల్యం యొక్క రేటుతో కోత ఒత్తిడిని మనం చూడవచ్చు.
    17. కానీ మేము తీసుకున్న ఆ వ్యక్తీకరణలు చాలా సాధారణమైనవి కావు మరియు ఇక్కడ నేరుగా దీనిని వర్తించలేము.
    18. సాధారణ ద్వి-మితీయ నియంత్రణ వాల్యూమ్ విషయంలో ఇది ఏ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది అని మేము చూస్తాము.
    19. కాబట్టి మనము ఒత్తిడికి సంబంధము కలిగి ఉండాలి, ఒత్తిడి మరియు వైకల్పిక రేటు మధ్య ఉన్న సంబంధము ఇంకా చెల్లుతుంది కానీ మనము ద్రవ్య మూలకం యొక్క రూపాంతరం కొరకు గణితశాస్త్ర వ్యక్తీకరణ ఏమంటే చూడవలసి ఉంటుంది. ద్వి-మితీయ నియంత్రణ పరిమాణం.
    20. అందువల్ల మనం ఒక సమయాన్ని T భావిస్తాము మరియు మేము దళాలతో వ్యవహరించినప్పుడు మరియు చివరికి మేము చివరి అధ్యాయంలో భావించినట్లుగా 2-D నియంత్రణ పరిమాణాన్ని పరిశీలిద్దాము.
    21. కాబట్టి ఇది ABCD గా ఇవ్వబడుతుంది. 
    22. మరియు ఇప్పుడు ఈ నియంత్రణ వాల్యూమ్ లేదా ద్రవం మూలకం యొక్క పైభాగంలో మరియు దిగువలో ఉన్న ఒత్తిళ్లను ఉందని మేము భావిస్తున్నాము.
    23. కాబట్టి, ఒక సమయంలో, అటువంటి ప్రేరక ఒత్తిళ్లు ఈ మూలకంపై పనిచేస్తుంటే, t + δt సమయంలో ఏమి జరుగుతుంది? కాబట్టి t + δt పోయిన తర్వాత ఈ ప్రత్యేక నియంత్రణ వాల్యూమ్ ఇలా కనిపిస్తుంది.
    24. ఇది మనము మొదటి అధ్యాయంలో చూసినట్లుగానే ఉంది మరియు మనం చేసిన గణనల ఆధారంగా మనకు రూపాంతరం యొక్క వ్యక్తీకరణకు కూడా ఒక వ్యక్తీకరణ వచ్చింది.
    25. కాబట్టి డెల్టా ఆల్ఫా, మొదటి దశ నుంచి రెండవ దశకు, ఏ మార్పులను కింది విధంగా మార్చడం అనేది ప్రాథమికంగా నియంత్రణ ఉపరితలం యొక్క అంచు యొక్క కోణం.
    26. కాబట్టి ఈ మూలకం వాల్యూమ్ నిజానికి ఈ కోత ఒత్తిడి యొక్క అప్లికేషన్ స్థిరంగా ఉంటుంది, అది మార్చదు, నియంత్రణ వాల్యూమ్ (control volume)మార్పులు మాత్రమే ఆకారం.
    27. అంటే, ఈ అంచుల పొడవు నిరంతరం ఉంటుంది, కోణం మాత్రమే ఉంటుంది, కాబట్టి ఈ అంచు నిలువు అక్షంతో ఉన్న కోణం మాత్రమే, ఇది ఇక్కడ చూపిన విధంగా కోత ఒత్తిడికి అనుగుణంగా మారుతుంది.
    28. కాబట్టి ఒక కొత్త స్థానానికి కదలికలు ఒక ప్రధాన మరియు B కదులుతుంది ఒక కొత్త స్థానం B ప్రధాన, ఇప్పుడు మీరు ఈ 2 సార్లు భావిస్తే మరియు మేము రూపాంతరం రేటు కోసం ఒక వ్యక్తీకరణ కనుగొనేందుకు ప్రయత్నించండి. 
    29. మేము సమయం T ప్లస్ డెల్టా టి, ఇది వైకల్యంతో ఉంది మరియు డెల్టా ఆల్ఫా పరంగా వ్రాసిన వైకల్యం మనకు ఉంది.
    30. అందువల్ల ఈ వైకల్యం, ఇది కాలక్రమేణా సంభవించింది మరియు దీనిని మార్పు రేటు లేదా వైకల్య రేటుగా మనం కనుగొనవచ్చు. 
    31. కాబట్టి మనం దీనిని వ్రాయవచ్చు. 

    32. మేము దీన్ని మా మొదటి వారం మొదటి ఉపన్యాసంలో చూశాము. 
    33. కాబట్టి ఇప్పుడు మేము ఇదే విధంగా కొనసాగినా మరియు ఇప్పుడు వర్తింపజేస్తే, మేము అదే నియంత్రణ వాల్యూమ్ని మరియు ఇప్పుడు ఒక వై దిశలో మూలకం ABCD యొక్క మూలకంపై ప్రేరక ఒత్తిడిని వర్తింపజేస్తాము.
    34. కాబట్టి కోత ఒత్తిడి యొక్క ఈ దిశగా ఉంటుంది, కాబట్టి ఈ రకమైన కోరింత ఒత్తిడిని ఉపయోగించడం, వస్తువు యొక్క వైకల్పనం లేదా మూల వాల్యూమ్ కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది, కాబట్టి ఇది ఈ రూపం.
    35. ఇప్పుడు called అనే ఈ కోణానికి సంబంధించి మనకు వైకల్యం ఉంది. 

    36. ఇది X దిశలో అనువర్తిత శక్తి (అబ్లేషన్ ఒత్తిడి) కు సంబంధించి వైకల్యం విషయంలో చేసినట్లుగా, ఈ మూలకం యొక్క వైకల్యం రేటును ఇది మారుస్తుంది.
    37. కోత ఒత్తిడి Y దిశలో కూడా వర్తించబడుతుంది. 

    38. వైకల్యం యొక్క మార్పు రేటుకు మేము ఇలాంటి వ్యక్తీకరణను కనుగొనవచ్చు. 

    39. కాబట్టి ఈ పరిస్థితిలో మనం వైకల్య రేటును నిర్వచించవచ్చు.
    40. ఇప్పుడు ఈ 2 కేసులలో ఏ ఒక్కటీ పూర్తిగా రెండు-డైమెన్షనల్ పరిస్థితిని సూచించదు. 
    41. ఎందుకంటే రెండింటిలో కోత ఒత్తిడి X మరియు Y ఆదేశాలు రెండింటిలో పనిచేస్తుంది, ఇది మొదటి మరియు 2 వ కేస్ కలయిక.
    42. కనుక మనం నియంత్రణ పరిమాణాన్ని లేదా సాధారణంగా ఒక ద్రవం మూలకం చూస్తే అది కోరిన ఒత్తిడిని ఈ చిత్రంలో చూపిస్తుంది.
    43. అదే సమయంలో X దర్శకత్వంలో కదిలే ఒత్తిడిని కలిగి ఉన్న సమయంలో అదే సమయంలో Y దర్శకత్వంలో కదిలే ఒత్తిడిని కలిగి ఉంటుంది.
    44. ఇప్పుడు ఏమి జరుగుతుందో, ఈ 2 అబ్లేషన్ ఒత్తిళ్లను వర్తింపజేసిన తరువాత ఈ ద్రవ మూలకానికి ఏమి జరుగుతుందో చూడటం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది. 
    45. వాస్తవానికి 4 కోత ఒత్తిడి రెండు దిశలలో వర్తించబడుతుంది.
    46. కాబట్టి, మనము అలాంటి మూలకాన్ని చూస్తే, అది ఇలాంటి వైకల్పము పొందుతుంది.
    47. కాబట్టి నియంత్రణ వాల్యూమ్ యొక్క ఈ అంచు (బిసి) ఈ సందర్భంలో వలె angle కోణాన్ని చేస్తుంది. 
    48. ఇది AB మరియు Y అక్షంతో పాటు angle కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.
    49. కాబట్టి మీరు ఇది మొదటి కేసు మరియు 2 వ కేస్ కలయికగా పరిగణించవచ్చు.
    50. కాబట్టి ఇది, ఇది ద్వి-మితీయ నియంత్రణ వాల్యూమ్కు మరింత సాధారణీకరించిన పరిస్థితి.  
    51. రెండు అంచులు వాస్తవానికి కోణాన్ని మార్చగలవు. 
    52. కాబట్టి ఇది రెండు దిశల్లోనూ విరూపం చెందుతుంది.
    53. ఇది చాలా సాధారణ పరిస్థితి మరియు మేము సాధారణ సమీకరణ ఊపందుకుంటున్న సమీకరణాన్ని తీసుకున్నప్పుడు, మేము సాధారణ వ్యక్తీకరణను తీసుకోవాలి.
    54. కాబట్టి మేము ఈ 2 ను కలపడం వల్ల  రెండు-డైమెన్షనల్ ఎలిమెంట్ కోసం ఇప్పుడు రూపాంతరం రేటును వ్యక్తీకరణ పొందవచ్చు.
    55. మేము దీనిని వైకల్య రేటుగా వ్రాయవచ్చు, కోత ఒత్తిడి కారణంగా ద్రవం మూలకం యొక్క ఒత్తిడి రేటు కూడా ఉంది.
    56. కాబట్టి ఇది కోత ఒత్తిడి చర్య కింద ఒక ద్రవం మూలకం యొక్క వైకల్పము వ్యక్తం ఎలా చాలా స్పష్టమైన మార్గం ఇస్తుంది.
    57. మేము ఇంకా ముందుగానే ఉత్పన్నమైన మొమెంటం సమీకరణంలో కనిపించిన సాధారణ ఒత్తిడిని మేము ఇంకా గుర్తించలేదని గుర్తుంచుకోండి. ఇది మేము ఇంతకు ముందు పొందిన వ్యక్తీకరణ.
    58. అది కోత ఒత్తిళ్ళ వల్ల వైకల్పికం యొక్క రేటుకు మాత్రమే ఇస్తుందని ఇప్పుడు మనం చూశాము. 
    59. అందుచే ఇప్పుడు న్యూటన్ యొక్క స్నిగ్ధత యొక్క సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, కోత ఒత్తిడి పక్కాగా వైకల్పికం యొక్క రేటు మరియు వైకల్పిక రేటుతో గుణించటంతో ఇది స్నిగ్ధతకు సమానంగా ఉంటుంది.
    60. కాబట్టి ఆ చట్టాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా, న్యూటన్ యొక్క స్నిగ్ధత యొక్క చట్టం మేము ఇప్పుడు కోత ఒత్తిడిని వేగాలుగా చెప్పవచ్చు.
    61. కాబట్టి వైకల్య రేటుకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది, మనం కూడా దీన్ని వ్రాయగలము, వాస్తవానికి దీనికి ఒకే విలువ ఉంది ఎందుకంటే ఈ 2 సుష్టమైనవి. 

    62. ఈ ద్రవ మూలకానికి నికర భ్రమణం లేదు, కాబట్టి, దీనికి సమానం. 

    63. మరియు దీనిని స్నిగ్ధత () గా వికృతీకరణ రేటుతో గుణించవచ్చు. 

    64. కాబట్టి వేగం పరంగా మనం కోత ఒత్తిడిని ఈ విధంగా వ్యక్తం చేస్తాము. 

    65. X- మొమెంటం సమీకరణం కోసం ఇది మా మునుపటి వ్యక్తీకరణలో ఉపయోగించబడుతుంది. 

    66. దీన్ని చేయడానికి ముందు, సాధారణ ఒత్తిడిలో ద్రవ మూలకం యొక్క వైకల్యం ఏమిటో చూద్దాం. 

    67. అందువల్ల సాధారణ ఒత్తిడి పరిస్థితులలో, ఇది సరళంగా అనిపించినప్పటికీ ఇది చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది. 

    68. మేము ముందుకు వెళ్ళేటప్పుడు ఫలితాలను చూస్తాము. 

    69. కాబట్టి సాధారణ ఒత్తిడిలో మనం వైకల్యాన్ని 2 భాగాలుగా విభజించవచ్చు, సరళమైన వైకల్యం ఉంది, ఇది సరళమైన భాగం మరియు ప్రారంభించడానికి ఆ భాగాన్ని పరిశీలిస్తాము. 

    70. మరలా మనం ఒక సమయాన్ని t గా పరిగణిస్తాము మరియు ఈ ABCD యొక్క వాల్యూమ్ మూలకాన్ని మునుపటిలాగా పరిశీలిస్తాము. 

    71. కానీ ఇప్పుడు ఈ ద్రవ మూలకానికి X డైరెక్షనల్ సాధారణ ఒత్తిళ్లు వర్తిస్తాయని మాత్రమే మేము భావిస్తాము. 

    72. ద్రవ మూలకంపై అతివ్యాప్తి ఒత్తిడి లేదు. 

    73. కాబట్టి, X దిశలో సాధారణ ఒత్తిడి మాత్రమే ఈ ద్రవ మూలకంపై పనిచేస్తుంది. 

    74. ఇది మొదట సరళ వైకల్యానికి కారణమవుతుంది, కొన్ని పరిస్థితులలో ఇది భిన్నంగా ఉండవచ్చు, ఇది మేము త్వరలో చూస్తాము. 

    75. మేము t + timet సమయానికి మారినప్పుడు, ఇది కొత్త ఆకారాన్ని తీసుకుంటుంది మరియు ఆ ఆకారం ఏమిటి, ఆకారం ఇలా ఉంటుంది. 

    76. దీని అర్థం ద్రవ మూలకం X దిశలో వ్యాపించింది. 

    77. DC ఇప్పుడు క్రొత్త స్థానానికి D 'C' కి తరలించబడింది, ఇప్పుడు మీరు నిజంగా దాని అర్ధాన్ని చూస్తే, మేము X డైరెక్షనల్ సాధారణ ఒత్తిడిని మాత్రమే పరిగణించినప్పుడు, ద్రవ మూలకం t + δt సమయానికి వెళ్ళినప్పుడు వాల్యూమ్ మారుతుందని మేము చూస్తాము. 

    78. ఇంపెజిమెంట్ ఒత్తిడిలో కోణీయ వైకల్యానికి ఇది కారణం కాదు. 

    79. అక్కడ అంచుల కోణం మాత్రమే మారుతుంది కాని వాల్యూమ్‌లో మార్పు లేదు. 

    80. ఇక్కడ వాల్యూమ్ మార్పులు. 

    81. వాల్యూమ్‌లోని ఈ మార్పు ఇప్పుడు వాల్యూమ్‌ను సాంద్రతగా నియంత్రిస్తుందని మీరు ఊహించవచ్చు. 

    82. సాంద్రత స్థిరంగా ఉంటే, దాన్ని పొందడం కష్టం లేదా వాల్యూమ్ యొక్క ఈ మార్పును సాధించడం సాధ్యం కాదు. 

    83. మేము దీన్ని అతి త్వరలో చూస్తాము కాని దీనికి ముందు సరళ వైకల్యం రేటుకు వ్యక్తీకరణ వస్తుంది. 

    84. కాబట్టి సరళ వక్రీకరణ రేటు ఎంత? కోణీయ వైకల్యం విషయంలో మేము చేసినట్లుగా, సరళ వైకల్యం రేటు పొడవు మార్పు, అసలు పొడవు మరియు ప్రాథమిక సమయం ద్వారా విభజించబడింది ఎందుకంటే మనం వికృతీకరణ మార్పు రేటు గురించి మాట్లాడుతున్నాము మరియు శాతం మార్పు మాత్రమే కాదు. 

    85. కాబట్టి ఇది వాస్తవానికి ఈ మూలకం మధ్య X అక్షం యొక్క పొడవు, అంటే AD 'మరియు AD' మధ్య పొడవులో వ్యత్యాసం. 

    86. ΔU గా దీన్ని సులభంగా పొందవచ్చు, (δl = δUδt) వేగం యొక్క వ్యత్యాసం byt తో గుణించబడుతుంది మరియు ఇప్పుడు మనం దానిని వ్రాయవచ్చు, () దీనిని వ్రాయవచ్చు. 

    87. ఇది ప్రాథమికంగా వైకల్యం రేటు, X దిశలో సరళ వైకల్యం రేటు. 

    88. రెండవ సందర్భంలో, AD మరియు BC ఉపరితలానికి లంబంగా Y దిశలో ఒక సాధారణ ఒత్తిడిని పరిశీలిద్దాం. ఇప్పుడు మనం దానిని పరిశీలిస్తే, ఇలాంటిదే జరుగుతుందని మనం చూస్తాము. 

    89. సరళ వైకల్యం Y దిశలో సంభవిస్తుంది, ఇది Y అక్షం వెంట లాగుతుంది, ఎందుకంటే X అక్షం మీద ఎటువంటి ఉద్రిక్తత లేదా శక్తి పనిచేయదు, ఇది అదే విధంగా ఉంటుంది మరియు వాల్యూమ్ మళ్లీ పెరుగుతుంది. 

    90. కాబట్టి మీరు ఇక్కడి నుండి ఇక్కడికి వెళ్ళేటప్పుడు వాల్యూమ్ పెరుగుతుంది, కాబట్టి మనం అంతకుముందు వచ్చినట్లుగా ఇప్పుడు వైకల్యం రేటును మళ్ళీ పొందవచ్చు. . 

    91. 

    92. ఇది ఇప్పటికే నిర్వచించిన దానికంటే భిన్నంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఇది Y దిశలో పొడవులో మార్పు, ఇది గుణించే వేగం వ్యత్యాసం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. 

    93. కనుక దీనిని కోణీయ వైకల్యం విషయంలో కూడా మేము వ్రాసాము. 

    94. కాబట్టి y దిశలో సరళ వైకల్యం రేటు ఇవ్వబడుతుంది. 

    95. ఒక సాధారణ మూలకం X దిశ మరియు Y దిశ రెండింటిలో సాధారణ ఒత్తిడిని అనుభవిస్తుంది (కోత ఒత్తిడి కోసం మునుపటి స్లైడ్‌లో మేము చూసినట్లు), కాబట్టి ఇది ఎలా ఉంటుందో చూద్దాం. 

    96. కనుక ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది. 

    97. కాబట్టి ఇక్కడ టెన్షన్ X దిశలో మరియు Y దిశలో పనిచేస్తుంది, కాబట్టి ఇది X దిశ మరియు Y దిశలో వ్యాపిస్తుంది. 

    98. మేము దానిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, ద్రవ మూలకం యొక్క వైకల్యం యొక్క మొత్తం రేటు, వాస్తవానికి, మేము అగమ్య ప్రవాహాన్ని పరిగణించినప్పుడు అది వాస్తవానికి సున్నా అవుతుంది. 

    99. అందువల్ల ఈ ఉత్పన్నం కోసం ఉత్పన్న ప్రవాహం పరిగణించబడుతుంది. కాబట్టి అగమ్య కరెంట్ యొక్క సరళ వక్రీకరణ వాస్తవానికి సున్నా. 

    100. దీని అర్థం, ఈ వైకల్యం ద్రవం మాత్రమే కావచ్చు లేదా ప్రవాహం సంకోచించబడిందని మేము ఇంతకుముందు వివరించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నాము. 
    101. దీని అర్థం, ఒత్తిడి యొక్క అనువర్తనంపై వాల్యూమ్‌లో మార్పు సంభవిస్తే, సాంద్రత మారినప్పుడు మాత్రమే వాల్యూమ్‌లో మొత్తం మార్పు సాధ్యమవుతుంది. 

    102. ఉదాహరణకు మీరు ఇక్కడ నుండి ఇక్కడికి వెళితే, సాంద్రత తగ్గితే, ద్రవ్యరాశిని స్థిరంగా ఉంచేటప్పుడు వాల్యూమ్ పెరుగుతుంది. 

    103. మీరు సంపీడన ప్రవాహాన్ని కలిగి ఉంటే మాత్రమే ఇది ఆమోదయోగ్యమైనది. 

    104. అగమ్య ప్రవాహానికి ఇది సాధ్యం కాదు. 

    105. కాబట్టి మేము ఈ భాగాన్ని ఇబ్బంది పెట్టవలసిన అవసరం లేదు ఎందుకంటే మేము కంప్రెస్డ్ ప్రవాహాన్ని పరిశీలిస్తున్నాము. 

    106. మేము సాధారణ ఒత్తిడిలో కోణీయ వైకల్యాన్ని తీసుకోవాలి. 

    107. ఇప్పుడు ఇది కష్టతరమైన భాగం. 
    108. మేము దీని గురించి మరింత వివరంగా చెప్పలేము. ఎందుకంటే వేరు చేయడం చాలా కష్టం. 

    109. కాబట్టి మనం చెప్పడానికి ప్రయత్నించేది సాధారణ ఉద్రిక్తతలు. 

    110. అయినప్పటికీ సాధారణ ఒత్తిడిలో లేదా X డైరెక్షనల్ నార్మల్ స్ట్రెస్ వంటి సాధారణ పరిస్థితిలో ఊహించటం కష్టం. 

    111. ఈ ఒత్తిడి వాస్తవానికి కోణీయ వైకల్యం యొక్క ఫలితం కావచ్చు ఎందుకంటే మనం ఈ ద్రవ మూలకాన్ని పరిశీలిస్తే, అప్పుడు ఈ ఉపరితలంపై ద్రవ మూలకం సాధారణ ఒత్తిడికి లోబడి ఉంటుంది, కానీ అది ఒక చదరపు మూలకం అయితే, ఈ ద్రవ మూలకాన్ని వికర్ణంగా చేస్తే, తీసుకుంటే, ఇది కోతను అనుభవిస్తుంది. 

    112. కాబట్టి సాధారణ ఒత్తిడి పదార్థాల బలం యొక్క విశ్లేషణకు సంబంధించి మీకు తెలిసిన ద్రవ మూలకంలో పెరుగుదలను ప్రేరేపిస్తుంది. 

    113. మోహర్ సర్కిల్‌ను ఉపయోగించి పదార్థంలో ఒత్తిడి స్థితిని నిర్వచించడానికి మేము ప్రయత్నిస్తాము. 

    114. కాబట్టి ఈ సాధారణ ఒత్తిళ్ల కింద, ఒక మూలకం, ద్రవంతో కూడా దృ, ంగా ఉంటుంది, మూలకంలో ఎవాన్సెంట్ ఒత్తిడిని అభివృద్ధి చేస్తుంది మరియు ఇది కేవలం ఒక చదరపు మూలకాన్ని తీసుకుంటే మరియు అది ఏకదిశాత్మక సాధారణ ఒత్తిడి. 

    115. కాబట్టి సాధారణ ఒత్తిడిని వర్తించే దిశ నుండి 45 డిగ్రీల వద్ద కోత ఒత్తిడి గరిష్టంగా ఉంటుంది. 

    116. ద్రవం విషయంలో మనకు తెలిసినట్లుగా, ద్రవం ఎల్లప్పుడూ అబ్లేషన్ కారణంగా ప్రవహిస్తుంది. 

    117. అందువల్ల ఇది సాధారణ ఒత్తిడిని ప్రేరేపిస్తుంది, కోతను ప్రవహిస్తుంది మరియు అందువల్ల ఈ మూలకం యొక్క కోణీయ వైకల్యం. 

    118. ఇక్కడ మరిన్ని వివరాల్లోకి వెళ్లకుండా, వైకల్యం రేటు యొక్క వ్యక్తీకరణను మనం నేరుగా వ్రాయవచ్చు. 

    119. అబ్లేషన్ ఒత్తిడి యొక్క చర్య కారణంగా కోణీయ వైకల్యాన్ని మేము పరిశీలిస్తే, వైకల్యం రేటుకు వ్యక్తీకరణ చాలా భిన్నంగా లేదు. 

    120. కాబట్టి కోత ఒత్తిడి సాధారణ ఒత్తిడి ఫలితాలను కోణీయ వైకల్యం మరియు వైకల్య రేటుకు ప్రేరేపించింది, దీని యొక్క వ్యక్తీకరణ మునుపటిలా వ్రాయబడుతుంది. 

    121. ఇది వర్ణన నుండి పొందవచ్చు, కాని మేము ఉత్పన్నంలోకి వెళ్ళము, కానీ ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క సారూప్యతను వైకల్య ప్రేరిత వైకల్యంతో మేము గమనిస్తాము. 

    122. అందువల్ల, మేము ఉత్పన్న-ప్రేరిత కోణీయ వైకల్యాన్ని పొందినప్పుడు, అది ఇప్పుడు మనం మాట్లాడుకుంటున్నాము, అంటే ఇక్కడ మాత్రమే వర్తించబడుతుంది. 

    123. కాబట్టి వైకల్యం ప్రేరేపిత వైకల్యం రేటు యొక్క వ్యక్తీకరణలో మేము Y ను X మరియు V తో U తో భర్తీ చేస్తే, మనకు ఈ విధమైన వ్యక్తీకరణ లభిస్తుంది. 

    124. కాబట్టి ఇది నిజంగానే. 

    125. ఇప్పుడు దీనిని వైకల్య రేటుగా పరిగణించి, సాధారణ ఒత్తిడిని న్యూటన్ యొక్క స్నిగ్ధత చట్టం అని వ్రాయవచ్చు. 

    126. అందువల్ల కోత ఒత్తిడి మాత్రమే కాకుండా, ద్రవంపై పనిచేసే సాధారణ ఒత్తిడి కూడా వేగం ప్రవణతగా వ్యక్తమవుతుందని మనం చూస్తాము. 

    127. మొమెంటం సమీకరణంలో కనిపించే ఒత్తిడి పదాన్ని మార్చడానికి అవసరమైన 2 వ్యక్తీకరణలు ఇప్పుడు మనకు వచ్చాయి. 

    128. దీని అర్థం వేగం పరంగా కోత ఒత్తిడి కోసం వ్యక్తీకరణ మరియు వేగం పరంగా సాధారణ ఒత్తిడి కోసం వ్యక్తీకరణ. 

    129. మేము ఈ వేగం ప్రవణతను మొమెంటం సమీకరణంలోకి ప్లగ్ చేయవచ్చు మరియు తరువాత వేగం పరంగా సమీకరణాన్ని పూర్తిగా పొందవచ్చు. 

    130. మేము దీన్ని చేస్తాము మరియు తుది సమీకరణం ఎలా ఉంటుందో చూద్దాం. 

    131. కాబట్టి దానిలోకి వెళ్ళే ముందు, అదే రూపంలో వ్రాయగలిగే వాటిని కూడా మనం చూడవచ్చు. 

    132. కాబట్టి ఇప్పుడు కోత ఒత్తిడి కోసం వ్యక్తీకరణను చూస్తే, మనం X- మొమెంటం సమీకరణాన్ని వ్రాయగలము, కాబట్టి ఇది మేము పొందిన X- మొమెంటం సమీకరణం యొక్క రూపం. 

    133. ఇది అవకలన ఒత్తిడితో పాటు సాధారణ ఒత్తిడిని కలిగి ఉంటుంది. 

    134. అందువల్ల మనం ఉదాసీనత ఒత్తిడిని, సాధారణ ఒత్తిడిని వ్రాయవచ్చు. 

    135. ఈ భాగాన్ని ఇప్పుడు వేగం మరియు వేగం ప్రవణత పరంగా వ్యక్తీకరించిన నుండి మార్చవచ్చు. 

    136. కాబట్టి మేము ఈ పోస్ట్‌ను విడిగా తీసుకుంటాము మరియు అది ఎలా ఉంటుందో చూద్దాం. 

    137. ఇండరేషన్ ఒత్తిడి కారణంగా ప్రాథమికంగా కోణీయ వైకల్యం రేటు సమానంగా ఉంటుందని మీరు గుర్తుంచుకుంటే. 

    138. మునుపటి స్లైడ్‌లో మేము బయటకు వచ్చినప్పుడు మరొక వైపు, ఇది కనిపిస్తుంది. 

    139. కాబట్టి ఇప్పుడు మనం ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయవచ్చు. 

    140. మేము మొదటి పదాన్ని వ్రాయగలము, మీరు అవకలన మాత్రమే తీసుకుంటే, మేము దానిని ఇక్కడ స్థిరంగా పరిగణిస్తాము, లేకపోతే మేము దానిని అవకలనగా కూడా వ్రాయవలసి ఉంటుంది. 

    141. వేరియబుల్ పరిమాణం ఉందని మేము If హిస్తే, మేము దానిని ఇంకా పొందవచ్చు. 

    142. కానీ స్నిగ్ధత స్థిరంగా ఉంటుందని మేము ఉత్పన్నం కోసం అనుకుంటాము. 

    143. స్థిరమైన స్నిగ్ధతను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా మనకు మొదటి సమీకరణం లభిస్తుంది. 

    144. కానీ, వాస్తవానికి, ఈ 2 విషయాలను మనం పరస్పరం మార్చుకున్నాము, ఒక నియమాన్ని పాక్షిక అవకలన నియమం వలె వ్రాయడం అనుమతించబడుతుంది. 

    145. మేము దానిని ఒక నిర్దిష్ట కారణంతో మాత్రమే మార్పిడి చేసాము, మేము చాలా త్వరగా చూస్తాము. 

    146. ఇప్పుడు మనం ఈ వ్యక్తీకరణను జాగ్రత్తగా చూడవచ్చు, మీరు ఈ వ్యక్తీకరణను పరిశీలిస్తే, మనకు లభించేది ఇది తప్ప మరొకటి కాదు, ఎందుకంటే మేము 2-D అగమ్య ప్రవాహాన్ని పరిశీలిస్తున్నాము, కనుక ఇది సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి ఉంటుంది. 

    147. ఇక్కడ మనం ఈ విలువలను ఉంచాలి, తద్వారా మనం మరింత సరళీకృత సమీకరణాన్ని పొందవచ్చు. 

    148. కాబట్టి ఇది మా తుది వ్యక్తీకరణ, ఇది ఇప్పుడు అసలు X- మొమెంటం సమీకరణంలోకి ప్లగ్ చేయవచ్చు. 

    149. ఏది ఇవ్వబడింది, కాబట్టి ఇది ఇప్పుడు ఈ క్రింది విధంగా ఇవ్వబడుతుంది
    150. కాబట్టి ఇది మొమెంటం సమీకరణం యొక్క మా చివరి రూపం, ఎందుకంటే ఇక్కడ తెలియనివారు ఇప్పుడు వేగం మరియు పీడనం పరంగా ఉన్నారని మీరు చూడవచ్చు. 

    151. అందువల్ల వేగం మరియు పీడనం పరంగా మనకు సమీకరణాలు ఉన్నాయి. 

    152. కాబట్టి మనం ఇప్పుడు వేగం క్షేత్రాన్ని పొందడం గురించి ఆలోచించవచ్చు. 

    153. మేము U వేగం కోసం దీనిని పొందాము. 

    154. అదేవిధంగా, మేము దానిని V వేగం నుండి V మొమెంటం సమీకరణం ద్వారా పొందవచ్చు. 

    155. దయచేసి ఈ సమీకరణంలో V వేగం కూడా కనిపిస్తుంది, ఎందుకంటే U వేగం యొక్క మొత్తం అవకలనంలో ఒక ఉష్ణప్రసరణ పదం V పై ఆధారపడి ఉంటుంది. 

    156. కాబట్టి Y మొమెంటం సమీకరణంలో, మనం ఇప్పుడు ఇలాంటి వ్యక్తీకరణను పొందవచ్చు కాబట్టి ప్రాథమికంగా ఇది 2-D అసంపూర్తిగా ప్రవహించే నావియర్-స్టోక్స్ సమీకరణాన్ని పూర్తి రూపంలో ఇస్తుంది. 

    157. మీరు చూడగలిగినట్లుగా ఈ సమీకరణం వేగం క్షేత్రం మరియు పీడన క్షేత్రం కోసం పరిష్కరించడానికి అనుమతిస్తుంది. 

    158. మనకు ఇక్కడ 2 సమీకరణాలు, ఎక్స్-మొమెంటం సమీకరణం మరియు వై-మొమెంటం సమీకరణం ఉన్నాయి మరియు మనకు 3 తెలియనివి, యు, వి మరియు పీడనం ఉన్నాయి. 

    159. కాబట్టి మూడవ సమీకరణాన్ని వర్తింపజేయవలసిన అవసరం ఉంది, ఇది కొనసాగింపు సమీకరణం. 

    160. ఇది నేరుగా ఒత్తిడి పరంగా కాకపోయినప్పటికీ, ఈ 3 సమీకరణాలు, కొనసాగింపు సమీకరణం లేదా ద్రవ్యరాశి పరిరక్షణ సమీకరణం, X- మొమెంటం సమీకరణం మరియు Y- మొమెంటం సమీకరణం, 3 తెలియని వాటిని పరిష్కరించడానికి ఉద్దేశించినవి. 

    161. సామూహిక పరిరక్షణ మరియు X మరియు Y దిశ మొమెంటం పరిరక్షణ నుండి వచ్చే ఈ 3 స్వతంత్ర సమీకరణాలు, ప్రవాహ క్షేత్రంలోని ప్రతి బిందువు వద్ద వేగం మరియు ప్రవాహ క్షేత్రంలోని ప్రతి బిందువు వద్ద ఒత్తిడి పరంగా సంపూర్ణ ప్రవాహ క్షేత్రాన్ని పరిష్కరించడంలో మాకు సహాయపడతాయి. 

    162. అవకలన విశ్లేషణ కోసం ఇది మా లక్ష్యం మరియు మేము ఆ నిర్దిష్ట దశకు చేరుకున్నాము. 

    163. ఇప్పుడు మీరు ఈ సమీకరణాన్ని పరిశీలిస్తే, మేము ఈ 2 సమీకరణాలను కలిపి వెక్టర్ రూపంలో వ్రాయవచ్చు. 

    164. అనేక కారణాల వల్ల ఈ సమీకరణాలను వెక్టర్ రూపంలో రాయడం చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. 

    165. మొదటి కారణం ఏమిటంటే, ఈ సమీకరణం ఇప్పుడు చాలా సాధారణ సమీకరణం, ఇది స్థిరమైన స్నిగ్ధతతో అగమ్య ప్రవాహానికి వర్తిస్తుంది. 

    166. మీరు 3-D వేగం క్షేత్రాన్ని కూడా పరిశీలిస్తే, ఆ విషయం ఇక్కడ అవ్యక్తంగా ఉంటుంది ఎందుకంటే వేగం రెండు వ్యక్తీకరణలలో వేగం వెక్టర్‌గా ఇక్కడ ప్రవేశిస్తుంది మరియు గురుత్వాకర్షణ కారణంగా త్వరణం ఇక్కడ వెక్టర్ పరిమాణం చేయబడినందున వ్యక్తీకరించబడుతుంది. 

    167. వాస్తవానికి, ఇది g యొక్క పరిమాణం అయిన ఒకే ఒక భాగాన్ని కలిగి ఉంటుంది. 

    168. మేము సాధారణ రూపంలో ఎలా వ్రాయగలం అనేది ప్రాథమికంగా, నబ్లా () ను ప్రవణత అని కూడా పిలుస్తారు, అందువల్ల ఒత్తిడి యొక్క ప్రవణత, వాస్తవానికి ఇది వెక్టర్ ఆపరేటర్, కాబట్టి ఇది వెక్టర్ కాలిక్యులస్‌ను సూచిస్తుంది. మనం వ్యక్తీకరణను ఏమి వ్రాస్తున్నాము. 

    169. కనుక ఇది వెక్టర్ ఆపరేటర్, ఇది గ్రీకు చిహ్నం నాబ్లా మరియు వెక్టర్ కాలిక్యులస్‌లో దీనిని ప్రవణత, స్కేలార్ పరిమాణం యొక్క ప్రవణత అని పిలుస్తారు, పీడనం స్కేలార్ పరిమాణం. 

    170. అందువల్ల దీనిని X దిశలో ఒక యూనిట్ వెక్టర్ అని వ్రాయవచ్చు, కాబట్టి ఇది ఒక ఆపరేటర్, కాబట్టి ఇది ఇక్కడ ఇచ్చిన స్కేలార్ పరిమాణానికి వెక్టర్ ప్రవణతను ఇస్తుంది. 

    171. ఇక్కడ అర్థం మడత కానీ సాధారణ గుణకారం కాదు, ఇది స్కేలార్ గుణకారం. 

    172. కాబట్టి మొదట మరియు వ్యక్తీకరించబడింది. 

    173. కాబట్టి మీరు ఇప్పుడు చూస్తే, మీరు ఈ విషయాలను ఇక్కడ ప్లగ్ చేస్తే, మీకు అదే సమీకరణం లభిస్తుంది. 

    174. ఇప్పుడు గ్రేడ్ లేదా డెల్ స్క్వేర్ కోసం ఈ వ్యక్తీకరణ కార్టేసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ పరంగా వ్రాయబడింది మరియు మీరు ఈ సమీకరణాన్ని వివిధ ఇతర కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థలో వ్రాయవచ్చు. 

    175. ఉదాహరణకు, మీరు ఛానెల్ ద్వారా ప్రవాహాన్ని పరిష్కరిస్తుంటే, ఇది ఉపయోగపడుతుంది, ఇక్కడ చూపిన విధంగా కార్టిసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ వంటి సమన్వయ వ్యవస్థను ఉపయోగించండి. 

    176. మీరు వృత్తాకార పైపు ద్వారా ప్రవాహాన్ని పరిష్కరిస్తుంటే, దానిని స్థూపాకార కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థలో తీసుకోవడం సులభం మరియు ఈ వెక్టర్ రూపంలో సమీకరణాలను రాయడం ద్వారా ఇది సమన్వయ వ్యవస్థను స్వతంత్రంగా చేస్తుంది. 

    177. ఈ సమీకరణంలో మీరు గ్రేడ్ మరియు డెల్ స్క్వేర్ విలువను తగిన విధంగా మార్చినట్లయితే ఈ సమీకరణం వాస్తవానికి ఏదైనా సమన్వయ వ్యవస్థకు అని అర్థం. 

    178. స్థూపాకార లేదా గోళాకార కోఆర్డినేట్‌ల కోసం మరియు వ్యక్తీకరణ భిన్నంగా ఉంటుంది కాని నావియర్ - స్టోక్స్ సమీకరణం ఒకటే. 

    179. కాబట్టి ఇది గణిత సమీకరణాలను సూచించే చాలా కాంపాక్ట్ మార్గం, ఈ ప్రత్యేక సందర్భంలో నేవియర్ - స్టోక్స్ సమీకరణాలు. 

    180. కాబట్టి ఇది రెండవ ఉపన్యాసం చివరికి మనలను తీసుకువస్తుంది. 
    181. రెండవ ఉపన్యాసంలో మేము ఏమి చేసాము, మేము ప్రాథమికంగా ఒత్తిడిపై దృష్టి కేంద్రీకరించాము మరియు ఇది ఒత్తిడి రేటు, డ్రాగ్ రేట్ లేదా వైకల్యానికి ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంది మరియు క్షీణత ఒత్తిడి వైకల్య రేటుకు ఎలా సంబంధం కలిగి ఉందో విడిగా చూశాము. 

    182. సాధారణ ఒత్తిడి వైకల్య రేటుకు ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంది మరియు వేగం క్షేత్రం పరంగా ఈ ఒత్తిళ్ల వ్యక్తీకరణను మేము కనుగొన్నాము. 

    183. మొదటి ఉపన్యాసం చివరిలో పొందిన మొమెంటం సమీకరణాలలో ఉపయోగించబడుతుంది. 

    184. అక్కడ ప్లగ్ చేసిన తరువాత, మనకు మొమెంటం సమీకరణం, ఎక్స్-మొమెంటం సమీకరణం మరియు వై-మొమెంటం సమీకరణం యొక్క పూర్తి రూపం వచ్చింది. 

    185. ఇప్పుడు మనకు పూర్తి సమీకరణాల సమితి ఉంది, అది మనకు ప్రవాహంలో లేదా ద్రవంలో వేగం క్షేత్రాలను ఇవ్వగలదు. 

    186. ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా, సగటు ద్రవ్యరాశి పరిరక్షణ మరియు మొమెంటం పరిరక్షణ సమీకరణం ప్రవాహంలో ఏ సమయంలోనైనా వేగం మరియు ఒత్తిడిని పొందటానికి అనుమతిస్తుంది. 

    187. ఉపన్యాసం చివరలో, సమీకరణాలను కాంపాక్ట్‌లో ఎలా వ్రాయాలో మరియు వెక్టర్ సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి ఉచిత పద్ధతిలో సమన్వయం చేయడాన్ని కూడా ప్రదర్శించాము. 

    188. దీనిపై మేము మా చర్చను కొనసాగిస్తాము మరియు ఈ వారం మూడవ ఉపన్యాసంలో పొందిన సమీకరణం యొక్క ఉపయోగం గురించి మాకు కొంత పని ఉంటుంది. 

    189. ధన్యవాదాలు.
    190.