20 FluidDynamicsandTurbomachines_Differential analysis of boundary layer, Blassius equation-ILVvDUpeYms.txt

    1. శుభోదయము మరియు ద్రవ డైనమిక్స్ మరియు టర్బో ఈ కోర్సు యొక్క 4 వ వారం 2 వ ఉపన్యాసం నకు స్వాగతం, యంత్రాలు  ,జిగట, ప్రవాహ అంశాల పై చర్చిద్దాం.
    2. మునుపటి ఉపన్యాసంలో మేము ఒక ఫ్లాట్ ప్లేట్ మీద ప్రవాహం మరియు వేర్వేరు మొమెంటం లేయర్ వ్యక్తీకరణను నిర్వచించాము మరియు ఫ్లాట్ ప్లేట్ మీద ప్రవాహానికి మొమెంటం సమగ్ర వ్యక్తీకరణను కూడా చూశాము, సరిహద్దు పొర యొక్క మందం కోసం వ్యక్తీకరణను పొందాము. కి, నిబంధనలు అవరోధం మందంలో రేనాల్డ్స్ సంఖ్య.
    3. ఈ ఉపన్యాసంలో మనం అదే సమస్యను చూడబోతున్నాం, ఫ్లాట్ ప్లేట్ మీద ప్రవహిస్తాము కాని అవకలన విశ్లేషణతో ప్రారంభించండి.
    4. గత ఉపన్యాసంలో మేము సమగ్ర విశ్లేషణ నుండి సమస్యను చూశాము, ఈ ఉపన్యాసంలో అవకలన విశ్లేషణలో చూస్తాము.
    5. ఇచ్చిన సమస్యకు సమగ్ర మరియు అవకలన విధానాల వంటి ద్రవ ప్రవాహ విశ్లేషణ యొక్క వివిధ పద్ధతులను మేము ఎలా అన్వయించవచ్చో కూడా ఇది చూపిస్తుంది.
    6. కాబట్టి ఈ రోజు మనం ఫ్లాట్ ప్లేట్ మీద ప్రవహించడానికి అవకలన విధానాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో చూద్దాం.
    7. ప్రాథమికంగా మేము ఈ ప్రవాహానికి అవకలన విధానాన్ని ఒక ఫ్లాట్ ప్లేట్‌లో వర్తింపజేయబోతున్నామని చెప్పినప్పుడు, మేము నేవియర్ - స్టోక్స్ సమీకరణాన్ని సరిహద్దు పొరకు వర్తింపజేయబోతున్నామని అర్థం.
    8. కాబట్టి BL అంటే సరిహద్దు పొర.
    9. ఈ అధ్యాయంలోని చర్చ సమయంలో మనం దాన్ని ఉపయోగించినప్పుడల్లా సరిహద్దు పొర అని అర్థం.
    10. కాబట్టి సామూహిక పరిరక్షణ అనేది సమీకరణం, మనకు బాగా తెలుసు.
    11. వాస్తవానికి ఇది రెండు డైమెన్షనల్ అసంపూర్ణ ప్రవాహం.
    12. ఎక్స్-మొమెంటం సమీకరణం ఈ క్రింది విధంగా ఇవ్వబడింది మరియు మేము మళ్ళీ రెండు డైమెన్షనల్ అసంపూర్తిగా మరియు అస్థిరమైన ప్రవాహాలను తీసుకున్నాము, అస్థిరమైన పదం కూడా ఇక్కడ నుండి తొలగించబడింది ఎందుకంటే ముఖ్యంగా మనం వ్యవహరించేది స్థిరమైన రాష్ట్ర సరిహద్దు పొర.
    13. మీకు అస్థిర సరిహద్దు పొర కూడా ఉండవచ్చు, కానీ మేము ఈ చర్చలో దానితో వ్యవహరించడం లేదు.
    14. కనుక ఇది స్థిరమైన రాష్ట్ర సరిహద్దు పొర, ఇది ప్లేట్ ఉపరితలం వద్ద స్థిరమైన ప్రవాహం మరియు ఇది సరిహద్దు పొరను ఎలా ఏర్పరుస్తుంది.
    15. కాబట్టి ప్రాథమికంగా ఇది దీనికి సమీకరణం, ఇది మొదటి 2 భాగాల త్వరణం యొక్క ఉష్ణప్రసరణ భాగం మరియు మేము ఇక్కడ ఎడమ నుండి took తీసుకొని ఇక్కడే ఉంచాము.
    16. ఇది పీడన శక్తుల నుండి వచ్చే పీడన ప్రవణత మరియు అంతిమ సన్నని స్థానం.
    17. కాబట్టి ప్రాథమికంగా ఇది మా X- మొమెంటం సమీకరణం.
    18. ఇప్పుడు మనం చేసేది తదుపరి స్లైడ్‌లో సరిహద్దు పొర ప్రవాహానికి Y- మొమెంటం సమీకరణాన్ని ఎలా అన్వయించవచ్చో చూద్దాం.
    19. సరిహద్దు పొర ప్రవాహం విషయంలో ఈ X- మొమెంటం సమీకరణాన్ని ఎలా తగ్గించవచ్చో చూద్దాం.
    20. ఈ సందర్భంలో ఈ సమీకరణాన్ని రాయడం చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, వేగం వంటి డైమెన్షనల్ వేరియబుల్స్ వలె కాదు, ఇక్కడ ప్రతి వాల్యూమ్‌కు ఒక పరిమాణం ఉంటుంది, అంటే సెకనుకు U వేగం మీటర్, మీటర్ స్క్వేర్‌కు ప్రెజర్ న్యూటన్ మొదలైనవి.
    21. కాబట్టి మనం పరిష్కరించబోయే అన్ని పరిమాణాలకు ఒక పరిమాణం ఉంది, మేము దానిని డైమెన్షనల్ కాని పరిమాణంగా వ్యక్తపరచాలనుకుంటున్నాము.
    22. ఈ సమీకరణాన్ని మరింత సరళీకృత రూపానికి తగ్గించడానికి ఇది ఎలా సహాయపడుతుందో మనం చూస్తాము.
    23. కాబట్టి ఇది మరొక మార్గం, ఈ కోర్సు యొక్క తరువాతి భాగంలో నాన్-డైమెన్షనల్, నాన్-డైమెన్షనలైజేషన్ ప్రాసెస్ లేదా డైమెన్షనల్ విశ్లేషణకు మీరు పరిచయం అవుతారని నేను భావిస్తున్నాను, ఈ కోర్సు యొక్క టర్బో మెషీన్లలో ఇది మరింత వర్తించేది.
    24. కానీ అవకలన సమీకరణాలతో వ్యవహరించడానికి ఆ డైమెన్షనల్ విశ్లేషణ యొక్క అనువర్తనం.
    25. కాబట్టి సమీకరణాన్ని నాన్-డైమెన్షనల్గా చేయడానికి, మనం చేయవలసింది ఏమిటంటే, ప్రాథమికంగా మనం పరిష్కరించబోయే ఈ నిబంధనలలో ప్రతిదాన్ని విభజించాలి.
    26. కాబట్టి వేగాన్ని డైమెన్షనల్ కానిదిగా చేయడానికి వేగం ద్వారా విభజించాలి, ఇది స్పష్టంగా ఉంది.
    27. అదేవిధంగా, పొడవు, X లేదా Y ని ఒక వైపు పొడవుతో విభజించాలంటే, ఆ పొడవు ఎంత? మేము డైమెన్షనల్ కానివి చేసేటప్పుడు ఒక విషయం గమనించండి, డైమెన్షనల్ కానివి చేయడానికి తగిన పరిమాణాన్ని ఎంచుకోవడానికి మనం ప్రాథమికంగా ప్రయత్నించాలి.
    28. కాబట్టి మేము U వేగం గురించి మాట్లాడేటప్పుడు, తరువాత U వేగానికి వస్తాము, మొదట X పొడవు కోసం పొడవు స్కేల్ చూస్తాము, వీటి మొత్తాన్ని X పొడవు నాన్-డైమెన్షనల్ గా చేయడానికి ఉపయోగించవచ్చు. ఎందుకంటే L అనేది x దిశలో పొడవు .
    29. అందువల్ల మేము దీనిని x * అని, డైమెన్షనల్ కాని పరిమాణాన్ని x * అని పిలుస్తాము.
    30. అదేవిధంగా మనం డైమెన్షనల్ కాని y * ని నిర్వచించవచ్చు.
    31. కానీ దీని పొడవు L గా ఉండకూడదు ఎందుకంటే మీరు Y దిశలో వెళితే మీరు చూసేది క్లిష్టమైన పొడవు δ, అవరోధం మందం.
    32. అందువల్ల మనం with తో విభజించాలి.
    33. సమీకరణాన్ని నాన్-డైమెన్షనల్ చేసేటప్పుడు మీరు ఉపయోగించాల్సిన ట్రిక్ ఇది మరియు మీరు తగిన పొడవు స్కేల్ మరియు వేగం స్కేల్‌ని ఎంచుకోవాలి.
    34. కాబట్టి ఇది పూర్తయింది, కాబట్టి ఈ సమీకరణంలో y ని y తో భర్తీ చేయాలి, దీన్ని ఎలా చేయాలో చూద్దాం కాని మనం ఇతర ప్రమాణాలను కూడా చూస్తాము.
    35. U వేగం కోసం, మళ్ళీ ఇది సూటిగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ప్లేట్‌కు సమీపించే సజాతీయ వేగం U, కాబట్టి మేము దానిని డైమెన్షన్ చేయని మరియు U తో కలుపుతాము.
    36. ఈ వేగాన్ని నామినేట్ చేద్దాం.
    37. v కొంచెం గమ్మత్తైనది మరియు మేము ఈ పరిమాణాన్ని నిర్వచించాము, అది ఎలా వస్తుంది? ఈ సమీకరణం, సామూహిక పరిరక్షణ సమీకరణం యొక్క స్కేలింగ్‌ను మేము చేయగలమా అని మీరు చూడవచ్చు.
    38. ఇది L అని మీరు చూస్తారు, మీరు ఈ u ని U మరియు ఈ L తో భర్తీ చేస్తారు మరియు దీనితో మేము V మరియు దీనితో ఏదో చెబుతాము.
    39. δ, అప్పుడు మీరు వదిలివేసే వేగం యొక్క స్థాయి జరుగుతుంది.
    40. అందువల్ల డైమెన్షనల్ స్థిరత్వం నుండి పొందిన డైమెన్షనల్ కాని వేగం కోసం ఇది మేము ఉపయోగించాము.
    41. కాబట్టి మేము దీనిని v * గా సూచిస్తాము, ఇప్పుడు ఈ డైమెన్షనల్ కాని వేరియబుల్ పరంగా ఈ సమీకరణాన్ని వ్రాయడానికి మేము సిద్ధంగా ఉన్నామని అనుకుంటున్నాను, అంటే x *, y *, u * మరియు v *.
    42. వాస్తవానికి, మేము P ని పరిష్కరించలేదు, కాబట్టి P ρU2 తో డైమెన్షనల్ కానిదిగా ఉండాలి, స్పష్టంగా, ఇక్కడ ఎటువంటి ఒత్తిడి స్థానాలు కనిపించవు, కాబట్టి అదే డైమెన్షనల్ పరిమాణాన్ని ఉపయోగించుకోండి useU2 కానిది. - డైమెన్షనల్ చేయడానికి.
    43. పి మరియు దీనికి పి * అని పేరు పెట్టండి.
    44. మీరు ఒక సమీకరణాన్ని నాన్-డైమెన్షనలైజ్ చేసినప్పుడు, ప్రతి పరిమాణం డైమెన్షనల్ కానిదిగా ఉండాలి, కాబట్టి ఇది ముఖ్యం.
    45. ఇప్పుడు మనం ఈ సమీకరణంలో వేగం, పీడనం మొదలైన పరిమాణం మరియు పొడవు యొక్క సమీకరణాన్ని ఈ డైమెన్షనల్ కాని సమీకరణ వేరియబుల్ తో భర్తీ చేస్తాము.
    46. మనం ఏమి చేయాలో, x ను Lx * గా వ్రాయాలి.
    47. ఈ సమీకరణం కోసం L ఏమీ చేయదు ఎందుకంటే అవి అన్ని స్థిరాంకాలు, అదేవిధంగా, అన్ని ఇతర వేరియబుల్స్.
    48. కాబట్టి మనం ఇలా చేస్తే, ఇప్పుడు మనం ఈ సమీకరణాలను ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు, కాబట్టి ఇక్కడకు వెళ్ళేముందు మనం నిజంగా సామూహిక పరిరక్షణ సమీకరణాన్ని నాన్-డైమెన్షనల్ గా చేసాము, అయితే ఇది అవసరం లేదు ఎందుకంటే ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించడం వల్ల వేగం స్కేల్ మీద వచ్చింది.
    49. కాబట్టి డైమెన్షనల్ పరిమాణాల ఎంపిక కారణంగా డైమెన్షనల్ కాని వేరియబుల్స్ x *, y *, u * మరియు v * పరంగా పరిమాణ సమీకరణం వేగం స్కేల్ వలెనే ఉంటుందని మీరు చూస్తారు.
    50. సరే, కాబట్టి ఇప్పుడు X- మొమెంటం సమీకరణానికి వద్దాం.
    51. కాబట్టి ఇది మీకు లభించే వ్యక్తీకరణ కాని మేము ఈ సమీకరణం కోసం ప్రతి పదానికి వెళ్లి అది ఎలా వ్రాయబడిందో అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తాము.
    52. కాబట్టి u కోసం, మీరు దీన్ని u * U గా మార్చవచ్చు.
    53. కాబట్టి U దాని నుండి బయటకు వస్తుంది, మరియు అది U2 అవుతుంది.
    54. మరియు X కి బదులుగా, మేము X * L చేస్తాము.
    55. కాబట్టి L ను బయటకు తీయవచ్చు, కాబట్టి L ఇక్కడ నుండి బయటకు వస్తుంది, కాబట్టి మీరు పొందుతారు.
    56. అదేవిధంగా మీరు v వేగం కోసం చేస్తే మీరు దాన్ని పొందుతారు మరియు మీ ప్రెజర్ ప్రవణత కాలానికి మీరు అదే పొందుతారు.
    57. చివరి పదాన్ని మీరు అదే పద్ధతిని అన్వయించవచ్చు, మీరు u ను u * తో భర్తీ చేయవచ్చు, ఇది u ద్వారా గుణించబడుతుంది, u బయటకు వస్తుంది, మరియు x x ను x * తో గుణించాలి మరియు అది x * 2 అయినందున అది బయటకు వస్తుంది.
    58. కాబట్టి ఇది ఇక్కడ L2, కాబట్టి ఇప్పుడు మీరు ఈ వేరియబుల్స్ ను క్లబ్ చేయవచ్చు.
    59. కాబట్టి ఎలా, ఈ సమీకరణం వచ్చింది.
    60. ఇప్పుడు ఈ వేరియబుల్స్‌ను క్లబ్ చేయండి, మీరు కొనసాగడానికి ముందు ఒక పని చేయవచ్చు, మీరు ఈ సమీకరణాన్ని జాగ్రత్తగా పరిశీలిస్తే, మీరు దానిని ఇక్కడ ఒక గుణకంగా మరియు మరొక వైపు గుణకంగా కలిగి ఉంటారు.
    61. కాబట్టి మీరు దీన్ని నిజంగా ఎడమ వైపు మరియు ఈ సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున విభజించవచ్చు.
    62. మీరు ఇలా చేస్తే మీకు ఏమి లభిస్తుంది? అసలు నేవియర్ - స్టోక్స్ సమీకరణం లేదా ఎక్స్-మొమెంటం సమీకరణం మాదిరిగానే మీరు ఈ దశకు చేరుకుంటారు.
    63. కనుక ఇది చాలా పోలి ఉంటుంది, ఇక్కడ మీరు కొన్ని విభిన్న స్థానాలను పొందుతారు.
    64. కాబట్టి చూద్దాం, ఇక్కడ మీరు పొందుతారు.
    65. కాబట్టి ఇది అటువంటి వ్యక్తీకరణను పొందడానికి అన్ని నిబంధనలను కలిసి అమర్చడం నుండి మాత్రమే, మరియు ఇది నిజంగా చక్కగా నిర్వహించబడిందని చూడండి.
    66. ఇది ఎందుకు, ఎందుకంటే, ఇది ప్రాథమికంగా రేనాల్డ్స్ సంఖ్య.
    67. ఫ్లాట్ ప్లేట్‌లో ఈ ప్రవాహం కోసం, రేనాల్డ్స్ సంఖ్య ప్రాథమికంగా ఈ అంచున ఉంటుంది.
    68. కాబట్టి మేము ఇక్కడ ఆ వ్యక్తీకరణను పొందుతాము.
    69. కాబట్టి దీని ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు.
    70. ఇప్పుడు బతికినవాడు.
    71. కాబట్టి ఈ పరిమాణానికి రేనాల్డ్స్ సంఖ్య పరంగా మనం ఏదైనా వ్రాయగలమా అని చూద్దాం.
    72. కాబట్టి దానిలోకి వెళ్ళేముందు మనం బాగున్నాము, కాబట్టి మేము ఈ మొత్తం పద్యం ఇక్కడ తీసుకున్నాము, అంటే ఇక్కడ మొత్తం విలువను ఉంచాము, ఈ భాగం ఇక్కడ ఉంది, కాబట్టి ఇది ఇదే.
    73. అది ఏమిటి? మీరు మా చివరి ఉపన్యాసం గుర్తుంచుకుంటే, మాకు వ్యక్తీకరణ ఉంది.
    74. కాబట్టి ప్రాథమికంగా k కి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
    75. కాబట్టి ఖచ్చితంగా, దీనికి సమానం, ఇక్కడ పొడవు స్కేల్‌కు సంబంధించి Re నిర్వచించబడుతుంది.
    76. కాబట్టి మనం ఇక్కడ వాడవచ్చు.
    77. కాబట్టి ఇది, మరియు వాస్తవానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
    78. కాబట్టి మీరు సంబంధాన్ని ఉపయోగిస్తే, అది 1 అవుతుంది.
    79. కనుక ఇది నిజంగా మనకు చెప్పేది ఏమిటంటే, ఈ వ్యక్తీకరణకు, ఈ మొత్తం వ్యక్తీకరణకు ఇది ఒక మాగ్నిట్యూడ్ విలువను ఆదేశిస్తుంది.
    80. మాగ్నిట్యూడ్ విలువ యొక్క ఆర్డర్, దీని అర్థం ఏమిటంటే ఈ వ్యక్తీకరణ 100 లేదా 101 లేదా 102 వంటిది..
    81. కాబట్టి మేము ఈ పదాన్ని పరిశీలిస్తే, మీకు 5 మాత్రమే ఉన్నందున, మీకు వాన్ కార్మాన్ యొక్క వ్యక్తీకరణలో 5.48 / Re కూడా ఉంటుంది, కనుక ఇది సున్నా క్రమంలో ఉంటుంది.
    82. కాబట్టి పరిమాణం 1 యొక్క క్రమంలో ఉంటుంది.
    83. కాబట్టి మేము ఈ 2 సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు మరియు ఈ సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాయవచ్చు.
    84. కాబట్టి ఇప్పుడు మీరు ఈ సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాస్తే, మనకు లభించేది ఇది మరియు ఇక్కడ ఈ గుణకం 1 యొక్క క్రమం, విలువ 1 యొక్క క్రమం, పరిమాణం యొక్క క్రమం సున్నా.
    85. సరే, ఇప్పుడు అధిక రేనాల్డ్స్ సంఖ్యలకు దీని అర్థం ఏమిటో చూద్దాం.
    86. కాబట్టి సాధారణంగా రేనాల్డ్స్ సంఖ్య ఎక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి పరివర్తన సంభవించే రేనాల్డ్స్ సంఖ్య యొక్క విలువ 300,000 లేదా 3 × 105 అని మీరు గుర్తుంచుకుంటే.
    87. మీరు దానిని వదిలివేసినప్పటికీ, కనీసం మీ లామినార్ ప్రవాహం కోసం మేము 100 యొక్క ఆర్డర్ యొక్క రేనాల్డ్స్ సంఖ్యతో మరియు ఇక్కడ కనిపించే ఈ రేనాల్డ్స్ సంఖ్యతో పనిచేస్తున్నాము, ఒక నిర్దిష్ట ప్రదేశంలో రేనాల్డ్స్ ఒక సంఖ్య కాకపోతే, అది ఒక రేనాల్డ్స్ సంఖ్య ప్లేట్ పొడవు స్కేల్.
    88. కాబట్టి ఇది ప్రాథమికంగా రేనాల్డ్స్ సంఖ్య.
    89. ఇది చాలా చిన్న ప్లేట్ అయితే, ఇది ఒక చిన్న వస్తువు లాగా అవుతుంది, అయితే ఈ సమీకరణం వర్తించదు, కానీ ఏదైనా పరిమిత సైజు ప్లేట్ కోసం, రేనాల్డ్స్ సంఖ్య 100 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉంటుందని మీరు చూస్తారు.
    90. అలా అయితే, ఈ ప్రత్యేక పదం 1/100 తో గుణించబడుతుంది, ఇతర పదాలు 1 తో గుణించబడవు, కాబట్టి ఈ పదం అంతర్గతంగా అతితక్కువ ఎందుకంటే ఇది మరొకటి 1/100. ఇక్కడ కనిపించే పోస్ట్‌లలో.
    91. కనుక ఇది సున్నా కాదు, కానీ ఈ నిర్దిష్ట పదం యొక్క గుణకం కారణంగా ఇది ఇతర పదం కంటే చాలా చిన్నది.
    92. కనుక దీనిని తొలగించవచ్చు మరియు మనం ఈ సమీకరణాన్ని వ్రాయవచ్చు.
    93. ఈ విశ్లేషణ చేయడం ద్వారా మనకు లభించేది ఈ అవకలన సమీకరణం యొక్క చిన్న రూపం.
    94. సరిహద్దు పొర సమస్యకు అవకలన విధానాన్ని వర్తింపజేయడానికి మేము ప్రయత్నిస్తున్నామని చూడండి మరియు దీన్ని చేయడానికి మనం సమీకరణాన్ని సులభంగా పరిష్కరించగలిగే విధంగా తీసివేయాలి.
    95. కాబట్టి ఆ ప్రయత్నంతో మేము ఈ సమీకరణాన్ని డైమెన్షనల్ కానిదిగా చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము మరియు ఈ రూపం యొక్క X- మొమెంటం సమీకరణానికి చేరుకుంటాము.
    96. కాబట్టి ఇప్పుడు మనం Y- మొమెంటం సమీకరణాన్ని పరిశీలిస్తాము.
    97. కాబట్టి దాని సంపూర్ణ రూపంలో 2-D కోసం Y- మొమెంటం సమీకరణం స్థిరమైన అగమ్య ప్రవాహం.
    98. సరే అస్థిర పదం కాదు, ఖచ్చితంగా ఇది స్థిరమైన సరిహద్దు పొర మరియు అగమ్య ప్రవాహం.
    99. కాబట్టి ఇప్పుడు ఇది 2-D అస్థిరమైన ప్రవాహానికి పూర్తి స్థాయి సమీకరణం.
    100. కాబట్టి ఇప్పుడు మనం ఇంతకుముందు చేసినట్లుగా ఈ సమీకరణాన్ని నాన్-డైమెన్షనల్ చేయండి.
    101. మేము అదే విధానాన్ని తీసుకుంటాము, x పేరు x * L, పేరు y y * δ, u తో U * U, V తో V * మరియు P తో P * ρU2.
    102. కాబట్టి మళ్ళీ x *, y *, u *, P * మరియు v * వంటి డైమెన్షనల్ కాని పారామితుల పరంగా Y- మొమెంటం సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాయడానికి ఈ వ్యక్తీకరణలను ఉపయోగించవచ్చు, కాబట్టి మేము హుహ్.
    103. ఈ సమీకరణంలో మనం చేసేది, యు * యులో యు వ్రాయగల పద్ధతిని మేము ఇప్పటికే ప్రవేశపెట్టాము మరియు మనం ఇలా చేస్తే, మనకు ఏమి లభిస్తుంది, మనకు వ్యక్తీకరణ వస్తుంది.
    104. కాబట్టి మేము u ను u తో భర్తీ చేశామని మీరు చూస్తే మొదటి పదాన్ని చూడండి, ఇది u ద్వారా గుణించబడుతుంది, కాబట్టి ఒక u ఇక్కడ నుండి వస్తుంది మరియు అవకలన v లోపల v * తో భర్తీ చేయబడుతుంది.
    105. ఇది అవుతుంది, ఇది మొదటి పదం యొక్క గుణకం.
    106. మీరు ఆ పద్ధతిని అనుసరిస్తే, రెండవ పదం కూడా అదే గుణకం ఉంటుంది.
    107. కాబట్టి మీరు వీటిని కొనసాగిస్తే, ఈ విధంగా, ఇవి మీకు లభించే వ్యక్తీకరణలు, మళ్ళీ మేము ఎడమ మరియు కుడి చేతిని విభజిస్తాము, మనకు ఈ సమీకరణం లభిస్తుంది.
    108. కాబట్టి మేము ఈ సమీకరణాన్ని పొందిన తర్వాత, ఈ నిబంధనలను ఈ విధంగా అమర్చవచ్చని మనం మళ్ళీ చూస్తాము.
    109. కాబట్టి గుణకం మరియు ఇక్కడ ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది, మనం ఇంతకుముందు కనుగొన్నట్లుగా, పీడన ప్రవణత పదం ఇప్పుడు కూడా వ్యక్తీకరణ.
    110. కనుక ఇది మనం ఇంతకుముందు చేసినట్లుగా, కలిగి ఉన్నట్లుగానే పరిష్కరించవచ్చు మరియు తరువాత 1 ఆర్డర్ యొక్క గుణకం వలె కనిపిస్తుంది.
    111. Re యొక్క క్రమం ఎందుకంటే మీరు చూస్తే, ఇక్కడ కనిపించింది, దీనిని వ్రాయవచ్చు.
    112. అంటే, ఇది తప్పనిసరిగా రీ.
    113. కాబట్టి Re యొక్క క్రమం, కాబట్టి ఇప్పుడు ఈ వ్యక్తీకరణలను మనం ఇక్కడ కనుగొన్న ప్రత్యేక వ్యక్తీకరణలతో భర్తీ చేద్దాం.
    114. ఈ సమీకరణాన్ని మనం తిరిగి వ్రాయవచ్చు, Re ఇక్కడ గుణకం మరియు ఇక్కడ గుణకం.
    115. కాబట్టి మనం చేసేది ఏమిటంటే, మొత్తం సమీకరణాన్ని మళ్ళీ రేతో విభజిస్తాము, మనం ఇలా చేస్తే మనకు లభిస్తుంది.
    116. కాబట్టి ఇప్పుడు అధిక రేనాల్డ్స్ సంఖ్య కోసం చూడండి, ఈ మొత్తం పదం గుణించబడుతుంది.
    117. ప్రతి పదాన్ని గుణించినట్లయితే, వాస్తవానికి మేము ఏమీ చేయలేదు.
    118. కానీ అదృష్టవశాత్తూ ఈ 2 పదాలు మాత్రమే గుణించబడి, ఒక పదంతో చూస్తాము.
    119. కాబట్టి ఈ పదంతో పోల్చితే, సహజంగానే ఈ నిబంధనలు చాలా తక్కువగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే రేనాల్డ్స్ 100 సంఖ్యకు కూడా, ఈ పదాలలో 2 10 యొక్క శక్తితో గుణించబడతాయి, 10 ద్వారా -4 యొక్క శక్తితో గుణించబడతాయి.
    120. కాబట్టి రీ కారకం ద్వారా గుణించని పదాలతో పోలిస్తే ఆ నిబంధనలన్నీ విస్మరించబడతాయి, కాబట్టి ఇది సమీకరణంలో ప్రధాన పదం.
    121. కాబట్టి ఇది ప్రాథమికంగా ఈ డైమెన్షనల్ విశ్లేషణను ఉపయోగించడం లేదా సమీకరణాన్ని నాన్-డైమెన్షనల్ రూపంలో వ్రాయడం.
    122. మీరు ఇలా చేస్తే, సమీకరణంలో ఏ పదాలు మరింత ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తాయో మీరు చూడవచ్చు మరియు మీరు సమీకరణాన్ని మరింత సరళీకృత రూపానికి తగ్గించవచ్చు మరియు మీరు దాన్ని సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు.
    123. కాబట్టి ఈ ప్రత్యేక సందర్భంలో ఉదాహరణకు ఇది చాలా సులభం అని మీరు చూస్తారు.
    124. ఇప్పుడు మీకు ఈ పదం మాత్రమే మిగిలి ఉంది, మేము ఈ మొత్తం సమీకరణంతో ప్రారంభించాము.
    125. ఇది పరిష్కరించదగినది కాదు, పరిష్కరించడం చాలా కష్టం కాని ఈ సమీకరణాన్ని డైమెన్షనలైజ్ చేయకుండా మనకు లభించినది అధిక రీ కోసం ఈ సమీకరణం.
    126. దీనికి సమానం, ఇది మీరు పరిష్కరించాల్సిన సమీకరణం, ఏది పరిష్కరించడానికి చాలా సులభం.
    127. ఇప్పుడు మనం ఇక్కడ నుండి చాలా ముఖ్యమైన నిర్ణయానికి వస్తాము.
    128. కాబట్టి Y- మొమెంటం సమీకరణం సరిహద్దు పొర లక్షణాల గురించి మాకు చాలా ముఖ్యమైన తీర్మానాన్ని ఇస్తుంది మరియు అది ఏమిటి? దీన్ని వివరించడానికి, మేము ప్లేట్ పైభాగంలో 2 పాయింట్లను తీసుకుంటాము.
    129. కాబట్టి మీరు ప్లేట్ పైభాగంలో ఈ పాయింట్ a మరియు పాయింట్ బి కలిగి ఉంటారు.
    130. మనకు తెలిసిన ఈ సమీకరణం నుండి సరిహద్దు పొర లోపలికి సమానం.
    131. కాబట్టి మేము దానిని ఉపయోగిస్తే, మేము వెలుపల ఒక స్ట్రీమ్‌లైన్‌ను సృష్టించి, ఈ పాయింట్లను బాహ్య స్ట్రీమ్‌లైన్‌కు విస్తరిస్తాము, A నుండి C మరియు B నుండి D వరకు పాయింట్లు.
    132. ఇప్పుడు సరిహద్దు పొర లోపల సున్నా ఉంది, సరిహద్దు పొర వెలుపల అది కూడా సున్నా, కాబట్టి దీని అర్థం ఏమిటి? దీని అర్థం మనం ఇలా చేస్తే, పిసి పాకు సమానం, ఎ వద్ద పీడనం సి వద్ద పీడనానికి సమానం మరియు పిబి పిడికి సమానం, బి వద్ద పీడనం డి వద్ద పీడనానికి సమానం ఎందుకంటే మనకు ఇప్పటికే ఫ్లాట్ ఉంది ప్లేట్. పైన ప్రవాహం కోసం చూసింది.
    133. స్ట్రీమ్‌లైన్‌లో సున్నా ఎందుకంటే సున్నా.
    134. మరియు అదృశ్య ప్రవాహం కోసం ఐలర్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించడం, సరిహద్దు పొర వెలుపల ఈ ప్రవాహం అదృశ్య ప్రవాహం, కాబట్టి మీరు ఐలర్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించవచ్చు మరియు అది సున్నా అయితే, అది సున్నా అవుతుంది.
    135. కాబట్టి పిసి పిడికి సమానం అని దీని అర్థం.
    136. కనుక ఇది మరియు మీరు ఈ సమీకరణాలను ఉపయోగించగలిగితే, మీరు పొందేది ప్రాథమికంగా Pa Pb కి సమానం.
    137. సరిహద్దు రేఖలో గీసిన 2 పాయింట్ల సమితి కోసం మీరు దీన్ని చేయవచ్చు.
    138. కాబట్టి ఇది తప్పనిసరిగా సరిహద్దు పొర లోపల ఒక ఫ్లాట్ ప్లేట్ మీద ప్రవాహానికి 0 ఉందని అర్థం.
    139. కాబట్టి ఇది చాలా సాధారణం, సున్నా, ఇది వక్ర ఉపరితలాలపై కూడా ప్రవహించేలా విస్తరించవచ్చు, కాని మేము దానిలోకి వెళ్ళము.
    140. మునుపటి ఉపన్యాసాలలో మనం వాస్తవంగా what హించినదానిని, సరిహద్దు పొర లోపల ఒత్తిడి ప్రవణత సరిహద్దు పొర లోపల విధించబడుతుందని ఇక్కడ చూద్దాం, ఇది వాస్తవానికి సరైనది.
    141. గోడపై గోడకు లంబంగా ఉండే గోడపై వేయడం స్లిప్ పరిస్థితి మరియు వేగానికి లంబంగా ఉండదు.
    142. గోడ నిశ్చలంగా ఉంది, కాబట్టి ఇది సున్నా.
    143. కాబట్టి ఇది ఒక సరిహద్దు స్థితిలో ఒకటి అంచు మరియు మరొక అంచు UX, డెల్టా U కు సమానంగా ఉంటుంది, ఉచిత స్ట్రీమ్ పరిస్థితి.
    144. ఈ పరిస్థితిని అన్వయించడం ద్వారా మేము ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించగలము.
    145. కానీ ఈ ప్రత్యేకమైన సెట్ సమీకరణానికి మనం ఏమి మరింత సులభతరం చేస్తారో చూద్దాము.
    146. మేము ఈ సమీకరణం గురించి కొన్ని కొన్ని పరిశీలనలు చేస్తే అది జరగవచ్చు.
    147. కాబట్టి మాకు ఏ స్టేషన్లో అయినా వేగాన్ని పరిశీలిద్దాం, అందువల్ల ఏ X స్థానమైనా మేము అర్థం చేసుకున్నాము.
    148. మీరు ఏ X స్థానాన్ని కలిగి ఉన్నారో, మీరు వేగాన్ని గురించి ఏమి చెప్పగలను.
    149. కాబట్టి మనము చూస్తున్నది ఏమిటంటే, ఈ 2 సెమాండుల సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ద్వారా ఈ వేగాన్ని చూద్దాం, అది గణితశాస్త్రంగా ఉంటుంది.
    150. కాబట్టి ప్రతి పాయింట్ వద్ద మేము నిజానికి అదే సమీకరణాలను, ఒకే సమీకరణాల సమితిని పరిష్కరించాము.
    151. కాబట్టి ఇది కనిపిస్తుంది మరియు అదే సరిహద్దు పరిస్థితిని సంతృప్తి చేస్తుంది, ప్రతి పాయింట్ వద్ద సరిహద్దు పరిస్థితి కూడా అదే.
    152. కాబట్టి సమీకరణం సమీకరణం అదే, ఏ స్టేషన్ వద్ద వేగం కోసం, పాలక సమీకరణ అదే, ఈ, ఈ 2 పరిపాలన సమీకరణాలు, సరిహద్దు పరిస్థితులు కూడా అదే.
    153. అదే సరిహద్దు పరిస్థితులు, అదే పరిపాలన సమీకరణాలు, కాబట్టి పరిష్కారాలు కూడా ఒకే రకంగా ఉండాలి, కానీ అది కాదు.
    154. ఎందుకు కాదు? సరిహద్దు Y వేర్వేరు X స్థానాల్లో డెల్టా శ్రేణులకు సమానంగా ఉంటుంది, డెల్టా వాస్తవానికి బదిలీ అవుతోంది.
    155. మీరు X పైకి వెళ్ళినట్లయితే, డెల్టా విభిన్నంగా ఉంటుంది, అందువల్ల ప్రాథమికంగా సమస్య.
    156. పరిపాలన సమీకరణాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, సరిహద్దు పరిస్థితి ఒకేలా ఉంటుంది కానీ సరిహద్దు బదిలీ అవుతుంది, కాబట్టి ఎలా పరిష్కరించాలి? మేము దీనిని చాలా సులభంగా పరిష్కరించగలము, మనము ఒక చిన్న పరిశీలన చేయగలము.
    157. అది ఏమిటి? కనుక మనం ట్రాన్స్ఫార్మ్ కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థను చూస్తే.
    158. మనం ఎలా రూపాంతరం చేస్తాము అంటే, ఈ సమీకరణం Y కు, మనము వేరే సమన్వయ వ్యవస్థలో డెల్టాకు సమానంగా ఉన్న, ఈ సరిహద్దు స్థిరపడినప్పుడు, అది కాకపోయినా అది వేరే సమన్వయ వ్యవస్థలో వ్రాయడం లేదు.
    159. షిఫ్ట్ కాదు, అది ప్రతి స్థానానికి ఒక కొత్త స్థానానికి మారదు, అది స్థిరంగా ఉంటే, అప్పుడు అన్ని పాయింట్లు అదే పరిష్కారం ఉంటుంది ఎందుకంటే అదే పరిపాలన సమీకరణం, అదే సరిహద్దు పరిస్థితి ఉంది.
    160. సరిహద్దు మాత్రమే పరిష్కరించబడింది.
    161. సో ఈ విధానం అంటారు, ఒక సారూప్యత పరిష్కారం కోరుతూ, ప్రొఫైల్ నిజానికి పోలి ఉంటుంది కానీ అది సరైన రూపంలో రాసిన ఎందుకంటే ఇది ఇలాంటి కనిపించడం లేదు.
    162. మీరు సరైన వేరియబుల్స్ ప్రకారం వ్రాస్తే, అది ఒకే విధంగా ఉంటుంది.
    163. కాబట్టి ఇది వాస్తవానికి ఒకేలా ఉంటుంది కానీ అది ఒకేలా లేదు కాబట్టి అది ఇలాంటిది అంటారు.
    164. కాబట్టి ఈ ప్రాథమికంగా సారూప్యత పరిష్కారం, కాబట్టి ఎలా ఒక పద్ధతిలో ఆ రకమైన చూడటానికి.
    165. 
    166. కాబట్టి పరిష్కారం కూడా ఒకే విధంగా ఉండాలి, కానీ అది కాదు.
    167. అది ఎందుకు కాదు? పరిధి Y కి సమానమైనందున ఇది వేరే X ప్రదేశంలో ఉంటుంది, డెల్టా వాస్తవానికి బదిలీ.
    168. మీరు X తో నడిస్తే, different భిన్నంగా ఉంటుంది, కాబట్టి ఇది ప్రాథమికంగా సమస్య.
    169. పాలక సమీకరణాలు ఒకటే, సరిహద్దు పరిస్థితులు ఒకటే కాని సరిహద్దు మారుతోంది, కాబట్టి దాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి? మేము ఒక చిన్న పరిశీలన చేయగలిగితే దీన్ని చాలా తేలికగా పరిష్కరించవచ్చు.
    170. మేము ఎలా మార్పులు చేస్తామో అంటే, ఈ సమీకరణాన్ని మేము Y పరంగా వ్రాయవలసిన అవసరం లేదు, మేము దానిని వేరే కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థలో వ్రాస్తాము, అక్కడ అది Y to కు సమానం.
    171. కాబట్టి ఈ పరిమితి పరిష్కరించబడింది, ఇది ప్రతి స్థానానికి క్రొత్త స్థానానికి తరలించదు.
    172. ఇది సరిదిద్దబడితే, అన్ని పాయింట్లకు ఒకే పరిష్కారం ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఒకే పాలక సమీకరణం, ఒకే సరిహద్దు పరిస్థితి.
    173. పరిమితిని మాత్రమే సెట్ చేయాలి.
    174. కాబట్టి ఈ విధానం సారూప్యత పరిష్కారం కోసం వెతుకుతోంది, ప్రొఫైల్ వాస్తవానికి ఒకే విధంగా ఉంటుంది కాని ఇది సరైన రూపంలో వ్రాయబడనందున అది ఒకేలా కనిపించదు.
    175. మీరు సరైన వేరియబుల్ సందర్భంలో వ్రాస్తే, అది ఒకే విధంగా ఉంటుంది.
    176. కనుక ఇది సరిగ్గా అదే అవుతుంది కానీ అది ఒకేలా ఉండనందున దీనిని సమానత్వం అంటారు.
    177. కాబట్టి ఇది ప్రాథమికంగా సమానత్వ పరిష్కారం.
    178. ఆ విధమైన విధానాన్ని ఎలా చూడాలి.
    179. ఇప్పుడు మన ముందు ఉన్న ఏకైక పని ఏమిటంటే, ఈ సరిహద్దు స్థిరమైన సరిహద్దుగా మారే విధంగా ఈ సమీకరణాన్ని రూపాంతరం చెందిన వ్యవస్థలో రాయడం.
    180. కాబట్టి మనం నిర్వచించాము, ఇది కోర్సు యొక్క ప్రాథమికంగా x యొక్క ఫంక్షన్, కాబట్టి ఇది ప్రతి x లో మారుతోంది, కాబట్టి మేము variable అనే కొత్త వేరియబుల్ ను నిర్వచించాము.
    181. ఇది ఏమిటి? k ను k గా నిర్వచించారు, కాబట్టి ఇది y కు సమానమైన ప్రమాణాన్ని సంతృప్తిపరిచే విధంగా నిర్వచించబడింది, పరిమితి పరిష్కరించబడింది, ఎందుకంటే y 0 0 కి సమానంగా ఉన్నప్పుడు z సున్నా అవుతుంది, మీరు ఇక్కడ 0 కి సమానంగా ప్లగ్ చేస్తే , 0 0 అవుతుంది మరియు Y = equal కు సమానం అయితే 1 1 అవుతుంది మరియు ఇది అన్ని డెల్టాలకు, అన్ని X స్థానాలకు వర్తిస్తుంది.
    182. అందువల్ల క్రొత్త వేరియబుల్ పరంగా సమీకరణాన్ని రాయడం η వాస్తవానికి మారుతున్న పరిధిని మారుస్తుంది, అంటే ux కొంతవరకు సమానంగా ఉంటుంది.
    183. కాబట్టి మీరు ఇప్పుడు పొందగలిగేది, మీరు సింగిల్ వేరియబుల్ పరంగా వేగం ప్రొఫైల్‌ను వ్రాయవచ్చు, మీరు ఇకపై x ను తీసుకురావాల్సిన అవసరం లేదు.
    184. అవకలన సమీకరణం కోసం మీకు ఒకే స్వతంత్ర వేరియబుల్ ఉంటే, అది సాధారణ అవకలన సమీకరణం అవుతుంది.
    185. మరియు ఈ ప్రత్యామ్నాయంతో, ఈ సమీకరణం ఇవ్వబడుతుంది, ఇది మూడవ క్రమం యొక్క సాధారణ అవకలన సమీకరణంగా మారుతుంది.
    186. ఈ విధానాన్ని బ్లాసియస్ అభివృద్ధి చేశారు మరియు ఈ పరిష్కారాన్ని బ్లాసియస్ సొల్యూషన్ అంటారు.
    187. ఈ బ్లూసియస్ పరిష్కారాన్ని ఉపయోగించి, ఇప్పుడు ఈ సమీకరణం ఇవ్వబడింది మరియు సరిహద్దు స్థితిని ఈ వేరియబుల్ ఎఫ్ పరంగా వ్రాయవలసి ఉంది, ఇది ఇక్కడ వ్రాయబడలేదు, కానీ దీనిని వ్రాయవచ్చు, మేము చేయాలనుకుంటున్న విధానాన్ని పరిచయం చేస్తున్నాము
    188. మీరు పరిష్కరిస్తే మీరు ఈ సమీకరణానికి విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారం పొందలేరు.
    189. ఈ సాధారణ అవకలన సమీకరణానికి మీరు సంఖ్యా పరిష్కారాన్ని కనుగొనవచ్చు మరియు మీరు దాన్ని ఉపయోగించి δ / x విలువను కనుగొంటే, మీరు పొందుతారు.
    190. వాన్ కార్మాన్ విధానాన్ని ఉపయోగించి మనకు విలువ వచ్చింది, ఇది మనకు లభించిన దానికి చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది.
    191. వేగం ప్రొఫైల్ క్వాడ్రాటిక్ కానందున ఈ వ్యత్యాసం కేవలం వాన్ కార్మాన్ చేత వర్గీకరించబడింది.
    192. కాబట్టి ఇది ఈ కోర్సు యొక్క 4 వ వారం 2 వ ఉపన్యాసం ముగింపుకు మనలను తీసుకువస్తుంది.
    193. ఈ ఉపన్యాసంలో అవకలన విధానాన్ని ఉపయోగించి ఫ్లాట్ ప్లేట్‌లో ప్రవాహాన్ని ఎలా ఎదుర్కోవాలో చూశాము.
    194. దీని అర్థం నావియర్ - స్టోక్స్ సమీకరణంతో ప్రారంభించి, నావియర్ - స్టోక్స్ సమీకరణాన్ని నాన్-డైమెన్షియాలిటీ వేరియబుల్స్ ఉపయోగించి లేదా డైమెన్షనల్ కాని సమీకరణాన్ని ఉపయోగించడం.
    195. కాబట్టి మీరు దానిని వ్రాస్తే, మీరు నిజంగా చాలా నిబంధనలను వదిలివేస్తారు, ఆపై మీరు సమీకరణాన్ని చాలా సరళమైన రీతిలో వ్రాయవచ్చు మరియు ఇంత తక్కువ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం కోసం బ్లాసియస్ ప్రవేశపెట్టిన సమానత్వ పరిష్కారం కూడా మేము నిరూపించాము. .
    196. ఇది రెండవ ఉపన్యాసం చివరికి మనలను నడిపిస్తుంది, సరిహద్దు పొర వెలుపల పీడన ప్రవణత సున్నాగా ఉన్న ప్రవాహాన్ని మేము గుర్తించాము, ఇది తప్పనిసరిగా ఫ్లాట్ ప్లేట్‌లోని ప్రవాహం.
    197. మేము ఇక్కడ ప్రవేశపెట్టినట్లు సరిహద్దు పొర లోపల పీడన ప్రవణత సున్నా అని కూడా దీని అర్థం.
    198. తరువాతి ఉపన్యాసంలో సరిహద్దు రేఖ వెలుపల పీడన ప్రవణత ఉన్న ప్రవాహాన్ని పరిశీలిస్తాము మరియు అందుకే సున్నా కానిది కూడా సరిహద్దు పొర లోపల ఉంది మరియు అక్కడ ఏమి జరుగుతుంది.
    199. ధన్యవాదాలు.